第五章习题几个典型的代数系统.doc

第五章习题几个典型的代数系统5.1.设A=0,1,试给出半群的运算表,其中为函数的复合运算。5.2.设G=a+bi|a,bZ,i为虚数单位,即i2=-1.验证G关于复数加法构成群。5.3.设Z为整数集合,在Z上定义二元运算如下：x,yZ,xy=x+y-2 问Z关于运算能否构成群？为什么？ 5.4.设A=x|xRx0,1.在A上定义六个函数如下：f1(x)=x, f2(x)=x-1, f3(x)=1-x,f4(x)=(1-x)-1, f5(x)=(x-1)x-1, f6(x)=x(x-1)-1 令F为这六个函数构成的集合,运算为函数的复合运算。(1) 给出运算的运算表。(2) 验证是一个群。5.5.设G为群,且存在aG,使得 G=ak|kZ, 证明G是交换群。5.6.证明群中运算满足消去律. 5.7.设G为群,若xG有x2=e,证明G为交换群。5.8.设G为群,证明e为G中唯一的幂等元。5.9.证明4阶群必含2阶元。5.10设A=a+bi|a,bZ,i2=-1,证明A关于复数的加法和乘法构成环,称为高斯整数环。5.12.(1) 设R1,R2是环,证明R1与R2的直积R1R2也是环。(2) 若R1和R2为交换环和含幺环,证明R1R2也是交换环和含幺环。5.13. 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,如果不能构成,说明理由。(1) A=a+bi|a,bZ,其中i2=-1,运算为复数的加法和乘法。(2) A=-1,0,1,运算为普通加法和乘法。(3) A=M2(Z),2阶整数矩阵的集合，运算为矩阵加法和乘法。(4) A是非零有理数集合Q*,运算为普通加法和乘法。5.14.设G是非阿贝尔群,证明G中存在元素a和b,ab,且ab=ba. 5.15.设H是群G的子群,xG,令xHx-1=xhx-1|hH, 证明xHx-1是G的子群,称为H的共轭子群。5.16.设 (1) G上的二元运算为矩阵乘法,给出G的运算表(2) 试找出G的所有子群(3) 证明G的所有子群都是正规子群。5.17.设G是有限群，K是G的子群，H是K的子群,证明G:H=G:KK:H. 5.18.令G=Z,+是整数加群。求商群Z/4Z,Z/12Z和4Z/12Z. 5.19.对以下各小题给定的群G1和G2以及f:G1G2,说明f是否为群G1到G2的同态。如果是,说明G是否为单同态,满同态和同构,并求同态像f(G1)和同态核kerf.(1) G1=,G2=,其中R*为非零实数的集合,+和分别表示数的加法和乘法。f:ZR*,f(x)=(2) G1=,G2=,其中+和分别表示数的加法和乘法A=x|xC|x|=1,其中C为复数集合。f:ZA,f(x)=cosx+i sinx(3) G1=,G2=,+和以及A的定义同(2).f:RA,f(x)=cosx+i sinx 5.20.设f是群G1到G2的同构,证明f-1是G2到G1的同构。5.21.图中给出六个偏序集的哈斯图。判断其中哪些是格。如果不是格,说明理由。5.22.下列各集合对于整除关系都构成偏序集,判断哪些偏序集是格。(1) L=1,2,3,4,5(2) L=1,2,3,6,12(3) L=1,2,3,4,6,9,12,18,36(4) L=1,2,22,.,2n,nZ+ 5.23.(1)画出Klein四元群的子群格。(2)画出模12的整数群Z12的子群格。(3)画出3元对称群S3的子群格。 5.24.设L是格,求以下公式的对偶式:(1) a(ab)a(2) a(bc)(ab)(ac)(3) b(ca)(bc)a 5.25.设L是格,a,b,cL,且abc,证明 ab=bc5.26.针对图13.10中的格L1,L2和L3,求出他们的所有子格。 图13.105.27.针对图13.9中的每个格,如果格中的元素存在补元,则求出这些补元。5.28.说明图13.9中的每个格是否为分配格、有补格和布尔格,并说明理由。5.29.对以下各小题给定的集合和运算判断它们是哪一类代数系统(半群,独异点,群,环,域,格,布尔代数),并说明理由。(1) S1=0，1,-1，运算为普通加法和乘法。(2) S2=a1,a2,.,an,ai,ajS2,ai*aj=ai.这里的n是给定的正整数,且n2.(3) S3=0,1,*为普通乘法。(4) S4=1,2,5,7,10,14,35,70,和*分别表示求最小公倍数和最大公约数运算。(5) S5=0,1,2,*为模3加法,为模3乘法。5.30.设B是布尔代数,B中的表达式f是 (ab)(abc)(bc) (1)化简f.(2)求f的对偶式f* 。5.31.设是布尔代数，在B中化简以下表达式：上定义二元运算*，a,bB, （1）(ab)(ab)(ab) （2）(ab)(a（bc)c 5.32.对于n=1,.,5,给出所有不同构的n元格,并说明哪些是分配格、有补格和布尔格。5.33.设是布尔代数,在B上定义二元运算,x,yB有xy=(xy)(xy)问能否构成代数系统？如果能,指出是哪一种代数系统。为什么？ 5.34.设G1为循环群,f是群G1到G2的同态,证明f(G1)也是循环群。5.35.设G=是15阶循环群。(1) 求出G的所有的生成元。(2) 求出G的所有子群。5.36.设,是5元置换,且 (1) 计算,-1,-1,-1(2) 将,-1,-1表成不交的轮换之积。(3) 将(2)中的置换表示成