高三数学 3二面角的计算试题.doc

3二面角的计算 【例1】 （2014安徽高考）如图, 四棱柱abcd a1b1c1d1中，a1a底面abcd，四边形abcd为梯形，adbc，且ad2bc. 过a1，c，d三点的平面记为，bb1与的交点为q, 若aa14，cd2，梯形abcd的面积为6，则平面与底面abcd所成二面角的大小为 【解析】如图所示，在adc中，作aedc，垂足为e，连接a1e.又deaa1，且aa1aea，所以de平面aea1，所以dea1e.所以aea1为平面与底面abcd所成二面角的平面角因为bcad，ad2bc，所以sadc2sbca.又因为梯形abcd的面积为6，dc2，所以sadc4，ae4.于是tanaea11，aea1.故平面与底面abcd所成二面角的大小为.【评注】 定义法做二面角的平面角，要注意题设特殊性和系列题的特点，合理选择棱上的点，且过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是平面角. 【变式1】三棱锥中取特殊点定义法作二面角的平面角四面体abcd中，abac2，dbdc2，bc2ad4，则二面角abcd的大小是()a30 b45c60 d1351.45. 【解析】如图，取bc的中点e，连接ae，de，根据二面角的平面角的定义，aed即为所求二面角的平面角，各个线段的长度如图，则aed45.【例2】（2014湖南高考）如图所示，四棱柱abcd a1b1c1d1的所有棱长都相等，acbdo，a1c1b1d1o1，四边形acc1a1和四边形bdd1b1均为矩形若cba60，则二面角c1ob1d的余弦值为 【解析】如图 因为四边形acc1a1为矩形，所以cc1ac.同理dd1bd.因为cc1dd1，所以cc1bd.而acbdo，因此cc1底面abcd.由题设知，o1oc1c.故o1o底面abcd.过o1作o1hob1于h，连接hc1.由o1o底面abcd，所以o1o底面a1b1c1d1，于是o1oa1c1.又因为四棱柱abcd a1b1c1d1的所有棱长都相等，所以四边形a1b1c1d1是菱形，因此a1c1b1d1，从而a1c1平面bdd1b1，所以a1c1ob1，于是ob1平面o1hc1.进而ob1c1h.故c1ho1是二面角c1ob1d的平面角不妨设ab2.因为cba60，所以ob，oc1，ob1.在rtoo1b1中，易知o1h2.,而o1c11，于是c1h.故cosc1ho1. 即二面角c1ob1d的余弦值为.【评注】自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角，简称做棱的垂面法，其中面面垂直的性质定理和三垂线定理的应用是求解的关键.【变式1】三棱柱中作棱的垂面法找二面角的平面角（2014高考全国卷）如图所示，三棱柱abc a1b1c1中，点a1在平面abc内的射影d在ac上，acb90，bc1，accc12.设直线aa1与平面bcc1b1的距离为，则二面角a1 ab c的正切值为 1. 【解析】 连接a1c，因为侧面aa1c1c为菱形，故ac1a1c.由三垂线定理得ac1a1b. bc平面aa1c1c，bc平面bcc1b1，故平面aa1c1c平面bcc1b1.作a1ecc1，e为垂足，则a1e平面bcc1b1.又直线aa1平面bcc1b1，因而a1e为直线aa1与平面bcc1b1的距离，即a1e.因为a1c为acc1的平分线，故a1da1e.作dfab，f为垂足，连接a1f.由三垂线定理得a1fab，故a1fd为二面角a1 ab c的平面角由ad1，得d为ac中点，所以df，tana1fd【例3】图10dacbefb1d1ogm 如图已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，ab =，af = 1，m是线段ef的中点. 则二面角a df b的大小为 【解析】将原几何体补成长方体abcd fb1ed1，如图 由正方体的性质知，ba面add1f，过a作agdf连bg，则bgdf，agb为所求二面角的平面角，在rtagb中，易求agb = 60.【评注】某些特殊几何体通过补形法，构造常见的长方体 正方体 正四面体等模型，使抽象问题简单化，易找到二面角的平面角. 互相垂直的两两长（正）方形补成长（正）方体易求二面角和体积。【变式1】四棱锥补成长（正）方体作平面角图8abda1c1b1sc 如图8，四棱锥s abcd的底面是边长为1的正方形，sd垂直于底面abcd，sb =，则面asd与面bsc所成二面角的大小为 1. 45【解析】ab = bc = 1，sd = 1，故可把原四棱锥补成正方体abcd a1b1c1s，连a1b，则面asd与面bsc所成的二面角，即为面adsa1与bcsa1所成的二面角.a1ssd，a1ssc，csd为所求二面角的平面角，cad = 45，故所求二面角为45.【变式2】四棱锥补成三棱锥作平面角在底面是直角梯形的四棱锥s abcd中，abc = 90，sa面abcd，sa = ab = bc = 1，ad =，则面scd与面sab所成二面角的正切值为 图13abecds2. 【解析】 如图13，延长ba、cd交于e，连结se. ad =bc，且adbc，ea = ab = sa = 1，sesb。又sa面abcd，面seb面abcd，bceb，bc面seb，bcse，se面sbc，sesc，bsc是所求二面角的平面角，又sb =，bc = 1，tanbsc =.【例4】 如图，在正方体中，e为的中点，则平面与底面所成的二面角的余弦值为 .【解析】 在正方体中，底面 a为点e在底面上的射影。abd是eb1d在底面上的射影三角形。设正方体的棱长为1，则在eb1d中，过e作egb1d于g，则，设平面与底面所成的二面角为则.【评注】射影面积法求二面角 ; 斜面面积和射影面积的关系公式：(为原斜面面积,为射影面积,为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立. 【变式1】直三棱柱中射影面积法求二面角（0