180Ⅰ第十二课基础通关进重点试题详解.pdf

基础通关进重点基础通关进重点基础通关进重点基础通关进重点详解详解详解详解 12121212 1 一个五位数4 7 5x y是 275 的倍数 求这个五位数 解 解 解 解 275 25 11 因为这个五位数是 25 的倍数 因此2y 或7y 又由于此数是 11 的倍数 因此 4 7 5 xy 11 的倍数 当2y 时 有21611x 可知3x 当7y 时 有716x 可知9x 所求的五位数是 43725 或 49775 2 已知1993xy能 45 整除 求所有满足条件的六位数1993xy 解 因为 45 5 9 所以 1993xy既能被 5 整除 也能 9 整除 所以 y 可取 0 或 5 当 y 0 时 根据 9 号家族可知 x 5 当 y 5 时 根据 9 号家族可知 x 9 所以满足条件的六位数是 519930 或 919935 3 李老师为学校一共买了 28 支价格相同的钢笔 共付人民币 9 2 元 已知 处数字相同 请问每支 钢笔多少元 解 因为 9 2 元 9 2 分 28 4 7 所以 4 和 7 均可能整除 9 2 2 整除 4 可知 处只能填 0 或 4 或 8 因为 7 不能整除 9020 7 不能整除 9424 所以 处不能填 0 和 4 因为 9828 能整除 7 所以 处应该填 8 又因为 9828 分 98 28 元 所以 98 28 28 3 51 元 所以每支钢笔 3 51 元 4 已知整数 1 2 3 4 5a a a a a能被 11 整除 求所有满足这个条件的整数 解 11 1 2 3 4 5a a a a a 根据能被 11 整除的数的特征可知 1 2 3 4 5 的和与 5a 之差应是 11 的倍数 即 11 15 5a 或 11 5a 15 但是 15 5a 5 3 a 5a 15 5 a 3 又 5 11 1 因此 11 3 a 或 11 a 3 又 a 是数位上的数字 a 只能取 0 9 所以只有 a 3 才能 11 3 a 或 11 a 3 即当 a 3 时 11 15 5a 符合题意的整数只有 1323334353 5 在 865 后面被上三个数字 组成一个六位数 使它能分别被 3 4 5 整除 且使这个数值尽可能的小 解 设补上数字后的六位数是 865abc 因为这个六位数能分别被 3 4 5 整除 所以它应该满足以 下三个条件 第一 数字和 8 6 5 a b c 是 3 的倍数 第二 末两位数字组成的两位数 bc是 4 的倍数 第三 末位数字 c 是 0 或 5 因为能被 4 整除的数的个位数字不可能是 5 所以 c 只能取 0 因而 b 只能取自 0 2 4 6 8 中之 一 又因为 3 8650ab 且 8 6 5 除以 3 余 1 所以 a b 除以 3 余 2 为满足题意 数值尽可能小 只需取 a 0 b 2 所以 要求的六位数是 865020 6 判断七位数 1839673 能否被 11 整除 解 奇数位上的数字之和为 1 3 6 3 13 偶数位上的数字之和为 8 9 7 24 因为 24 13 11 能被 11 整除 所以 1839673 能被 11 整除 根据能被 11 整除的数的特征 也能求出一个数除以 11 的余数 一个数除以 11 的余数 与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以 11 的 余数相同 如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和 那么应在奇数位上的数字之和上再增加 11 的整数倍 使其大于偶数位上的数字之和 7 求下列各数除以 11 的余数 1 41873 2 296738185 解 1 4 8 3 1 7 11 7 11 0 7 所以 41873 除以 11 的余数是 7 2 奇数位之和为 2 6 3 1 5 17 偶数位之和为 9 7 8 8 32 因为 17 32 所以应给 17 增加 11 的整数倍 使其大于 32 17 11 2 32 7 所以 296738185 除以 11 的余数是 7 需要说明的是 当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时 为了计算方便 也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和 再除以 11 所得余数与 11 的差 即为所求 如上题 2 中 32 17 11 1 4 所求余数是 11 4 7 8 求 10019 191919191 个 除以 11 的余数 解 奇数位是 101 个 1 偶数位是 100 个 9 9 100 1 101 11 799 11 72 7 11 7 4 所求余数是 4 还有其它简捷解法 例如每个 19 奇偶数位上的数字相差 9 1 8 奇数位上的数字和与偶数 位上的数字和相差 8 99 8 9 11 能被 11 整除 9 用 3 3 7 7 四个数码能排出哪些能被 11 整除的四位数 解 只要奇数位和偶数位上各有一个 3 和一个 7 即可 有 3377 3773 7337 7733 10 用 1 9 九个数码组成能被 11 整除的没有重复数字的最大九位数 解 最大的没有重复数字的九位数是 987654321 由 9 7 5 3 1 8 6 4 2 5 知 987654321 不能被 11 整除 为了保证这个数尽可能大 我们尽量调整低位数字 只要使奇数位的数字和增加 3 偶数位的数 字和自然就减少 3 奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差就变为 5 3 2 11 这个数就能被 11 整 除 调整 4321 只要 4 调到奇数位 1 调到偶数位 奇数位就比原来增大 3 就可达到目的 此时 4 3 在奇数位 2 1 在偶数位 后四位最大是 2413 所求数为 987652413 11 六位数2875AB能被 99 整除 求 A 和 B 解 由 99 9 11 且 9 与 11 互质 所以六位数既能被 9 整除又能被 11 整除 因为六位数能被 9 整除 所以 A 2 8 7 5 B 22 A B 应能被 9 整除 由此推知 A B 5 或 14 又因为六位数能被 11 整除 所以 A 8 5 2 7 B A B 4 应能被 11 整除 即 A B 4 0 或 A B 4 11 化简得 B A 4 或 A B 7 因为 A B 与 A B 同奇同偶 所以有 在 1 中 A 5 与 A 7 不能同时满足 所以无解 在 2 中 上 下两式相加 得 B A B A 14 4 2B 18 B 9 将 B 9 代入 A B 14 得 A 5 所以 A 5 B 9 12 求能被 26 整除的六位数 1991xy 解 因为 2 1991xy 所以 y 可能取 0 2 4 5 6 8 又因为 13 1991xy 所以 13 能整除1991xy与的差 当 y 0 时 由于 13 910 而 13 又要整除19x与 910 之差 所以 13 19x 又因为19x 100 x 19 7 13 9 x 19 7 13x 9x 13 6 所以 根据整除 性质 1 有 13 9x 6 经试验可知只有当 x 8 时 13 9x 6 所以 当 y 0 时 符合题意的六位数是 819910 当 y 2 时 因为 13 19912x 所以 13 整除19x与 910 2 之差 也即 13 整除19x与 2 之差 与 前相仿 19x 7 13x 13 9x 6 所以 13 整除 9x 6 2 即 13 9x 4 经试验可知只有当 x 1 时 13 9x 4 所以 当 y 2 时 符合题意的六位数是 119912 同理 当 y 4 时 13 9x 6 4 即 13 9x 2 经试验可知当 x 7 时 13 9x 2 所以 当 y 4 时 符合题意的六位数是 719914 同理 当 y 6 时 13 9x 6 6 即 13 9x 经试验可知 x 无解 因为 x 是1991xy的最高位数码 x 0 所以 当 y 6 时 找不到符合题意的六位数 同理 当 y 8 时 13 9x 6 8 即 13 9x 2 经试验只有当 x 6 时 13 9x 2 所以 当 y 8 时 符合题意的六位数是 619918 所以满足本题条件的六位数共有 819910 119912 719914 和 619918 四个 13 把三位数3ab接连重复地写下去 共写 1993 个3ab 所得的数 19933 33 3 ab ab abab 个 恰是 91 的倍数 求ab 选做 解 91 7 13 且 7 13 1 7 能整除33 3ab abab 13 能整除33 3ab abab 根据一个数能被 7 或 13 整除的特征可知 原数33 3ab abab能被 7 以及 13 整除 当且仅当3 3abab 1992 组3ab 3ab能被 7 以及 13 整除 也就是3 3000abab 1991 组 能被 7 以及 13 整除 因为 7 10 1 13 10 1 所以 7 能整除3 3000abab 1991 组 13 能整