知识点214 二次函数的三种形式(解答).doc

解答题（共25小题）1（2007滨州）（1）把二次函数y=x2+x+代成y=a（xh）2+k的形式；（2）写出抛物线y=x2+x+的顶点坐标和对称轴，并说明该抛物线是由哪一条形如y=ax2的抛物线经过怎样的变换得到的；（3）如果抛物线y=x2+x+中，x的取值范围是0x3，请画出图象，并试着给该抛物线编一个具有实际意义的情境（如喷水、掷物、投篮等）考点：二次函数的三种形式；二次函数图象与几何变换；二次函数的应用。分析：（1）利用配方法时注意要先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，可把一般式转化为顶点式；（2）直接利用顶点式的特点写出顶点坐标即可利用图形变换的特点直接求得是由抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的；（3）根据范围画图，切合实际意义的题目即可解答：解：（1）y=x2+x+=（x22x）+=（x22x+11）+=（x1）2+3；（2）由上式可知抛物线的顶点坐标为（1，3），其对称轴为直线x=1，该抛物线是由抛物线y=x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位（或向上平移3个单位，再向右平移1个单位）得到的；（3）抛物线与x轴交于（3，0），与y轴交于（0，），顶点为（1，3），把这三个点用平滑的曲线连接起来就得到抛物线在0x3的图象（如图所示）情境示例：小明在平台上，从离地面2.25米处抛出一物体，落在离平台底部水平距离为3米的地面上，物体离地面的最大高度为3米（学生叙述的情境只要符合所画出的抛物线即可）点评：主要考查了二次函数一般式和顶点式之间的转换，要掌握函数图象平移的规律和实际运用的中作图要注意自变量的范围结合实际意义准确的阐述关系2（2006遂宁）已知二次函数y=x2+4x（1）用配方法把该函数化为y=a（xh）2+k（其中a、h、k都是常数且a0）的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）函数图象与x轴的交点坐标考点：二次函数的三种形式。专题：配方法。分析：（1）利用配方法时注意要先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，可把一般式转化为顶点式；（2）当y=0时求出来的是与x轴的交点横坐标解答：解：（1）y=x2+4x=（x2+4x+4）4=（x+2）24，对称轴为：x=2，顶点坐标：（2，4）；（2）y=0时，有x2+4x=0，x（x+4）=0，x1=0，x2=4图象与x轴的交点坐标为：（0，0）与（4，0）点评：二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（xh）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（xx1）（xx2）；求函数图象与x轴的交点坐标通常是令y=0，解关于x的一元二次方程3（2005乌兰察布）已知抛物线y=x22x3，将y=x22x3用配方法化为y=a（xh）2+k的形式，并指出对称轴、顶点坐标及图象与x轴、y轴的交点坐标考点：二次函数的三种形式。专题：配方法。分析：利用配方法把函数从一般式转化为顶点式然后再确定对称轴、顶点坐标及图象与x轴、y轴的交点坐标解答：解：y=x22x3=x22x+113=（x1）24，对称轴是x=1，顶点坐标是（1，4），当x=0时，y=3，所以y轴的交点坐标为（0，3），当y=0时，x=3或x=1即与x轴的交点坐标为（3，0），（1，0）点评：二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（xh）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（xx1）（xx2）顶点式可直接的判断出顶点坐标和对称轴公式4（2004佛山）将二次函数y=x26x+5配成y=（xh）2+k的形式，并写出函数图象的顶点坐标和对称轴考点：二次函数的三种形式；二次函数的性质。分析：用配方法二次函数y=x26x+5可化为y=x26x+94，即y=（x3）24，h=3，k=4，可直接得出结论解答：解：二次函数y=x26x+5配成顶点式为y=（x3）24，故函数图象的顶点坐标为（3，4）；对称轴为x=3点评：解答此题的关键是熟知二次函数的解析式的三种形式5（1999西安）已知抛物线y=3x2+3x（1）通过配方，将抛物线的表达式写成y=a（x+h）2+k的形式（要求写出配方过程）；（2）求出抛物线的对称轴和顶点坐标考点：二次函数的三种形式；二次函数的性质。分析：（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，即可把一般式转化为顶点式；（2）根据顶点式直接得出抛物线的对称轴和顶点坐标解答：解：（1）y=3x2+2x=3（x2+x+）3=3（x+）2；（2）对称轴是x=，顶点坐标（，）点评：二次函数的解析式的三种形式及利用顶点式求对称轴和顶点坐标6填表并解答下列问题：x 1 0 1 2 y1=2x+3 y2=x2 （1）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（2）当x从1开始增大时，预测哪一个函数的值先到达16；（3）请你编出一个二次项系数是1的二次函数，使得当x=4时，函数值为16编出的函数是y3=（x4）2+16考点：二次函数的三种形式。分析：（1）实质就是求代数式的值；（2）根据图象的变化趋势作出判断，注意检验；（3）答案不唯一解答：解：（1）如图所示 x 1 0 1 2 y1=2x+3 1 3 5 7 y2=x2 1 0 1 4 （2）由于在第一象限内，两个函数都是y随x的增大而增大，当y=16时，函数y1=2x+3中的x=6.5，函数y2=x2中的x=4，故函数y2=x2值先到达16；（3）如：y3=（x4）2+16点评：列表、描点、成图是运用图象法表示函数关系式的基本过程，要认真仔细7用配方法或公式法求二次函数的对称轴、顶点坐标和最值考点：二次函数的三种形式。专题：配方法。分析：利用配方法把y=x2+3x2从一般式转化为顶点式，直接利用顶点式的特点求解解答：解：y=x2+3x2=（x26x+9）+2=（x3）2+，对称轴为直线x=3，顶点坐标是（3，），当x=3时，y有最大值点评：顶点式可直接的判断出顶点坐标和对称轴公式8已知二次函数（1）用配方法将函数解析式化为y=a（xh）2+k的形式；（2）当x为何值时，函数值y=0；（3）在所给坐标系中画出该函数的图象；（4）观察图象，指出使函数值y时自变量x的取值范围、考点：二次函数的三种形式；二次函数的图象。分析：（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，可把一般式转化为顶点式；（2）当函数值y=0时，解对应的一元二次方程，即可求出x的值；（3）根据二次函数的解析式，可画出该函数的图象；（4）观察图象，发现当y=时，对应的x=0或2，那么函数图象在直线y=上方的部分所对应的x的取值范围即为所求解答：解：（1）=（x22x+1）+=（x1）2+2；（2）当函数值y=0时，解方程（x1）2+2=0，得（x1）2=4，x1=2，x=3或x=1；（3）图象如右所示：（4）由图象可知，当0x2时，函数值y点评：本题主要考查了二次函数的一般式转化为顶点式的方法、二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的图象性质9用配方法求出下列二次函数y=x22x3图象的顶点坐标和对称轴考点：二次函数的三种形式。专题：配方法。分析：利用配方法把二次函数y=x22x3从一般式转化为顶点式，直接利用顶点式的特点求解解答：解：y=x22x3=（x22x+1）13=（x1）24，顶点坐标为（1，4），对称轴为x=1点评：考查二次函数的解析式的三种形式及顶点式直接的判断出顶点坐标和对称轴公式10已知二次函数y=x2+4x（1）将此函数式写成y=a（xh）2+k的形式，并写出a，h，k的值；（2）求这个函数图象的顶点坐标及对称轴方程考点：二次函数的三种形式；二次函数的性质。分析：（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，进而可写出a，h，k的值；（2）根据二次函数y=a（xh）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴方程为x=h，求出结果解答：解：（1）y=（x24x+4）+4=（x2）2+4，a=1，h=2，k=4；（2）y=x2+4x=（x2）2+4，其图象的顶点坐标为（2，4），对称轴方程为x=2点评：本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式的方法，利用顶点式求顶点坐标公式及对称轴11抛物线y=2x2+8x6（1）用配方法求顶点坐标，对称轴；（2）x取何值时，y随x的增大而减小？（3）x取何值时，y=0；x取何值时，y0；x取何值时，y0考点：二次函数的三种形式；二次函数的性质。分析：（1）根据配方法的步骤要求，将抛物线解析式的一般式转化为顶点式，可确定顶点坐标和对称轴；（2）由对称轴x=2，抛物线开口向下，结合图象，可确定函数的增减性；（3）判断函数值的符号，可以令y=0，解一元二次方程求x，再根据抛物线的开口方向，确定函数值的符号与x的取值范围的对应关系解答：解：（1）y=2x2+8x6=2（x2）2+2，顶点坐标为（2，2），对称轴为直线x=2；（2）a=20，抛物线开口向下，对称轴为直线x=2，当x2时，y随x的增大而减小；（3）令y=0，即2x2+8x6=0，解得x=1或3，抛物线开口向下，当x=1或x=3时，y=0；当1x3时，y0；当x1或x3时，y0点评：本题考查了抛物线的顶点坐标，与x轴的交点坐标的求法及其运用，必须熟练掌握12已知二次函数y=2x24x+5，（1）将二次函数的解析式化为y=a（xh）2+k的形式；（2）将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得二次函数图象的顶点为A，请你直接写出点A的坐标；（3）若反比例函数y=的图象过点A，求反比例函数的解析式考点：二次函数的三种形式；待定系数法求反比例函数解析式；二次函数图象与几何变换。分析：（1）通过配方，把一般式转化为顶点式；（2）按照题意写出顶点式后，得出点A的坐标；（3）函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式（k0）即可求得k的值解答：解：（1）y=2x24x+5=2（x22x+）=2（x1）2+3；（2）由题意得：移动后的函数变为y=2（x3）2+2，A（3，2）（3）反比例函数的图象经过点A（3，2），m=6反比例函数的解析式是点评：（1）本题考查了二次函数的解析式的三种形式；（2）考查了用待定系数法确定反比例函数的解析式13已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（1，4），C（0，3）（1）求出此二次函数的解析式，并把它化成y=a（xh）2+k的形式；（2）请在坐标系内画出这个函数的图象，并根据图象写出函数值y为负数时，自变量x的取值范围考点：二次函数的三种形式；二次函数的图象。分析：（1）设函数解析式为y=ax2+bx+c，将A（1，0），B（1，4），C（0，3）分别代入解析式，得到三元一次方程组，求解即可的二次函数的一般式；再用配方法得到顶点式；（2）求出顶点坐标、图象与x轴、y轴的交点，连接各点，即可得到函数的图象解答：解：（1）设函数解析式为y=ax2+bx+c，将A（1，0），B（1，4），C（0，3）分别代入解析式得，解得，则函数解析式为y=x2+2x+3即y=（x22x3）=（x22x+14）=（x1）2+4；（2）根据y=（x1）2+4可知，其顶点坐标为（1，4），又当y=0时，x2+2x+3=0，x1=1，x2=3则图象与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）当x=0时，y=3故函数图象与y轴的交点为（0，3）故可得函数图象为：点评：此题考查了二次函数的一般形式和顶点式，解题的关键是用待定系数法求函数解析式和根据函数关键点画函数图象14已知抛物线y=x22x8（1）用配方法把y=x22x8化为y=（xh）2+k形式；（2）并指出：抛物线的顶点坐标是（1，9），抛物线的对称轴方程是x=1，抛物线与x轴交点坐标是（2，0），（4，0），当x1时，y随x的增大而增大考点：二次函数的三种形式；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点。分析：（1）利用配方法，将抛物线的一般式方程转化为顶点式方程；（2）根据（1）中的顶点式方程找出该抛物线的顶点坐标、对称轴方程；等y=0时，求抛物线与x轴的交点坐标；由抛物线的性质来解答y随x的增大而增大时x的取值范围解答：解：（1）y=x22x8=x22x+118=（x1）29（3分）（2）由（1）知，抛物线的解析式为：y=（x1）29，抛物线的顶点坐标是（1，9）抛物线的对称轴方程是x=1 （4分）当y=0时，（x1）29=0，解得x=2或x=4，抛物线与x轴交点坐标是（2，0），（4，0）；该抛物线的开口向上，对称轴方程是x=1，当x1时，y随x的增大而增大（5分）故答案是：（2）（1，9）；（2，0），（4，0）；x=1；1点评：本题考查了二次函数的性质、抛物线与x轴的交点、二次函数的三种形式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（xh）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（xx1）（xx2）15把函数y=34x2x2写成y=a（x+m）2+k的形式，并写出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴考点：二次函数的三种形式；二次函数的性质。专题：函数思想。分析：利用配方法将函数y=34x2x2写成y=a（x+m）2+k的形式，根据a的符号判断函数图象的开口方向，顶点坐标是（m，k），对称轴是x=m解答：解：由y=34x2x2，得y=2（x+1）2+5（3分）因为20，所以开口向下（1分）顶点坐标为（1，5）（2分）对称轴方程为x=1（2分）点评：本题考查了二次函数的性质、二次函数的三种形式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（xh）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（xx1）（xx2）16已知二次函数y=x2+4x+3（1）用配方法将y=x2+4x+3化成y=a（xh）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）写出当x为何值时，y0考点：二次函数的三种形式；二次函数的图象。专题：应用题。分析：（1）根据配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式（2）画图象的步骤：列表、描点、连线；（3）当y0时，即图象在x轴上方的部分，再写出x的取值范围解答：解：（1）y=x2+4x+3，y=x2+4x+44+3，y=x2+4x+41，y=（x+2）21；（2）列表： x43 2 1 0 y 3 01 03 图象见图（3）由图象可知，当x3或x1时，y0点评：本题考查了二次函数的解析式的形式及抛物线的画法，注意：二次函数的解析式的三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（xh）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（xx1）（xx2）17已知二次函数y=x2+4x（1）用配方法或公式法把该函数化为y=a（x+m）2+k（其中a、m、k都是常数且a0）的形式，并指出函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；（2）当x满足什么条件时，函数值随着自变量的增大而减小？考点：二次函数的三种形式；二次函数的图象；二次函数的性质。专题：配方法。分析：（1）根据配方法的解题步骤，将一般式转化为顶点式，再根据顶点式确定对称轴及顶点坐标；（2）根据二次函数图象性质，由对称轴及开口方向确定自变量x的取值范围解答：解：（1）y=（x24x），=（x24x+4）+4，=（x2）2+4，对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，4）；（2）y=（x2）2+4，a0，对称轴为直线x=2，当x2时，函数值y随着自变量x的增大而减小点评：本题考查了用配方法将抛物线一般式转化为顶点式的方法，顶点式与对称轴、顶点坐标的关系以及二次函数的增减性18二次函数y=x2+6x5，用配方法化为顶点式考点：二次函数的三种形式。专题：计算题。分析：化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式解答：解：y=x2+6x5=（x26x+9）+4=（x3）2+4，故答案是y=（x3）2+4点评：二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（xh）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（xx1）（xx2）19将函数y=（x2）（3x）配方成顶点式，写出顶点坐标对称轴方程及最值考点：二次函数的三种形式。分析：化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式解答：解：y=（x2）（3x）=x2+5x6=（x25x+）+6=（x）2+，则该抛物线的顶点是（，），对称轴是x=，其最大值是点评：二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（xh）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（xx1）（xx2）20将二次函数y=3x22x+1化为y=a（xh）2+k的形式，并在横线上写出顶点坐标和对称轴顶点坐标是（，）；对称轴是直线x=考点：二次函数的三种形式；二次函数的性质。专题：计算题。分析：化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式解答：解：y=3x22x+1=3（x2x+）+=3（x）2+，故答案是（，）；x=点评：二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（xh）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（xx1）（xx2）21已知二次函数y=x24x+5（1）将y=x24x+5化成y=a （xh）2+k的形式；（2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？考点：二次函数的三种形式；二次函数的性质。专题：计算题；函数思想。分析：（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；（2）利用（1）的解析式求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）根据二次函数的图象的单调性解答解答：解：（1）y=x24x+44+5=（x2）2+1，即y=（x2）2+1；（2）根据（1）的函数解析式知，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，1）；（3）根据（1）、（2）的结论画出二次函数的大致图象（如图所示），从图象中可知，当x2时，y随x的增大而增大点评：此题主要考查了二次函数顶点坐标的求法，二次函数图象的性质二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（xh）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（xx1）（xx2）22已知函数y=x2+2x+3（1）把它化成y=a（x+h）2+k的形式； （2）写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴考点：二次函数的三种形式；二次函数的性质。专题：常规题型。分析：（1）根据完全平方式进行配方即可得到顶点式解析式；（2）根据二次函数的顶点式系数确定开口方向，顶点坐标，以及对称轴即可解答：解：（1）y=x2+2x+3=（x22x+1）+1+3=（x1）2+4；（2）a=10，开口方向向下，顶点坐标为（1，4），对称轴为：直线x=1点评：本题考查了二次函数解析式的三种形式的转化，以及开口方向，顶点坐标，对称轴的确定，把一般形式利用配方转化为顶点式是解题的关键23已知二次函数y=x2+2x3，解答下列问题：（1）用配方法将该函数解析式化为y=a（x+m）2+k的形式；（2）指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴，以及它的变化情况考点：二次函数的三种形式；二次函数的性质。专题：计算题；数形结合。分析：（1）将3化为14，然后利用配方法将二次函数y=x2+2x3化为y=a（x+m）2+k的形式；（2）根据二次函数的二次项系数判断该函数图象的开口方向，由二次函数的顶点式关系式找出其顶点坐标、对称轴，由二次函数的单调性来判断它的变化情况解答：解：（1）y=x2+2x+14=（x+1）24；（2）a=10，m=1，k=4，该函数图象的开口向上；顶点坐标是（1，4）；对称轴是直线x=1；图象在直线x=1左侧部分是下降的，右侧的部分是上升的点评：本题主要考查的是二次函数的一般形式的关系式与顶点式关系式的转化方法，及二次函数的性质24已知二次函数y=x24x+3（1）用配方法将y=x24x+3化成y=a（xh）2+k的形式；（2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）根据图象回答：当自变量x的取值范围满足什么条件时，y0？考点：二次函数