花拉子米_代数学_探源.pdf

广西民族学院学报 自然科学版 第12卷第2期 JOURNAL OF GUANGXI UNIVERSITY FOR NATIONALITIESVol 12 No 2 2006年5月 Natural Science Edition May 2006 花拉子米 代数学 探源 3 刘 琳 1 杜瑞芝 2 1 东北财经大学 津桥商学院 辽宁 大连 116025 2 辽宁师范大学 数学学院 辽宁 大连 116029 摘 要 关于花拉子米 代数学 的来源 历来科学史家都持有不同意见 笔者从 代数学 的形式 内容 修辞及方法等方面与古代东 西方的有关论著作了比较 并对各种不同观点进行对比分析 得到 一些初步认识 代数学 中所讨论的一次和二次方程以及某些运算技巧可能源于巴比伦 花拉 子米对第四种二次方程的讨论 使用的 三率法 对圆周率的计算以及某些术语可以在早期传 入阿拉伯的印度典籍中找到出处 而在这些数学知识中有一些可能是远源于中国的 比如 三率 法 花拉子米讨论一元二次方程时所采用的算术解法与几何论证相结合的方法似乎是受希腊 人推崇几何学的观念的影响 但经过仔细分析 认为他的几何证明本质上区别于欧几里得的 几 何代数 而与中国古代的 出入相补原理 更相像 通过与丢番图 算术 的比较 发现它对 代数 学 没有直接的影响 代数学 中几何篇章的内容完全是古希伯来人的一部 测量准则 的翻版 而后者中又有大量题材来源于海伦的 度量论 一部反映了亚历山大后期希腊数学特点的 著作 我们认为 在 代数学 中比较突出的反映出东西方数学并存 但以东方数学传统的影响更 为突出的特点 事实上 花拉子米可能通晓中东 近东 巴比伦以及古代希腊罗马的科学遗产 他 博采众长 非常明智地吸收了东 西方不同数学源泉中的合理因素 从而创造性地完成了他的代 数学著作 关键词 花拉子米 代数学 婆罗摩历算书 原本 出入相补原理 算术 测量准则 中图分类号 O11 文献标识码 A文章编号 1007 0311 2006 02 0053 06 0 引言 在阿拉伯帝国统治时期 在阿拉伯本土上出现了 一批著名的数学家 他们不仅善于吸收其他民族丰硕 的文化遗产 而且还发挥他们的聪明才智 在数学学 科的很多分支都有所创造 花拉子米 al Khw rizm Ab Ja far Muhammad Ibn M s 就是其中最有名 的数学家之一 花拉子米约公元783年生于波斯北部城市花拉 子模 今乌兹别克境内的希瓦城附近 约公元850年 卒于巴格达 他是拜火教徒的后裔 早年在家乡接受 初等教育 后来到中亚西亚古城莫夫继续深造 并到 过阿富汗 印度等地游学 后来受到哈利发马蒙 al Ma mun 786 833 聘请 在他创建的智慧宫工作直 至去世 花拉子米在数学上有两部著作传世 代数 35 3收稿日期 2005208210 基金项目 吴文俊数学与天文丝路基金资助项目 WSF2003 02 作者简介 刘琳 19812 女 辽宁阜新人 东北财经大学津桥商学院教师 杜瑞芝 19462 女 辽宁师范大学教授 硕士生导 师 1994 2012 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 学 和 印度的计算术 在天文学上完成了一部天文 表 他还写过历史 地理和历法方面的论著 1 代数学 是花拉子米在哈利发马蒙统治时期 813 833 创作的 大约写于公元 820年 它是迄今 为止所发现的保存完整的最早的一部阿拉伯代数学 著作 它由三部分组成 第一部分用十分简单例题系 统讲述了解一元 二元方程的一般原理 首次给出了 一元二次方程的全部解法 并给出了每种方程的几何 证明 第二部分讲实用测量术 最后一部分列举大量 的遗产计算问题 代数学 的阿拉伯文书名是 ilm al jabr w a l muqubalah 直译应为 还原和对消 的科学 一般认为 现在西文 algebra 一词是由 代 数学 阿拉伯文书名中的 al jabr 还原 演变而来 代数学 问世后 在伊斯兰世界被广泛使用 1100年左右 由于欧洲工业 手工业的发展 人们间 的交往越来越频繁 新的思潮开始影响西欧的学术 界 通过贸易 旅游和翻译运动 欧洲人逐渐接触到了 阿拉伯 印度 希腊的珍贵的文化遗产 代数学 于 12世纪曾先后被克雷莫拉的杰拉德 Gerhard of Cremona 约1114 1187 和切斯特的罗伯特 Rob2 ert of Chester 12世纪 译成拉丁文 由于书中出现 的例题和解题方法都很初等 而且逻辑严密 联系实 际 让人一目了然 非常容易接受 所以在欧洲几个 世纪以来都将它作为标准教科书 从这种意义上说 有些学者称他为 代数学之父 2 科学史家萨顿 G Sarton 1888 1956 称切斯特的罗伯特的译文 标志着欧洲代数学的兴起 3 现在牛津大学图书馆保存着抄录于1342年的 代数学 的阿拉伯文手稿 后由罗森 F Rosen 译成 英文 于1831年在伦敦出版了它的阿 英对照本 书 名是The A lgebra ofMohammed ben Musa 2003 年 它作为英国皇家亚洲协会伊斯兰经典丛书 Royal Asiatic Society Classics of Islam 的第一卷 重新出版 4 对于这样一部重要的数学著作 挖掘它的来源是 非常必要的 然而目前在国内这方面的探讨还很少 见 笔者从 代数学 的形式 内容 方法等方面与古代 印度 希腊乃至古叙利亚 波斯的有关著作进行了比 较 又对各种不同观点进行对比分析 形成下面的一 些初步认识 1 古巴比伦的影响 代数学 中所讨论的一次和二次方程问题 可以 追溯到古巴比伦时代 比如 早期巴比伦代数的一个 基本问题 是求出一个数 使它与它的倒数之和等于 已知数 由此可以得出一个二次方程 在 代数学 中 也有类似的问题 如 把十分为两部分 使得第一部分 除以第二部分的商加上第二部分除以第一部分的商 等于二又六分之一 5 6 用现代的符号表示 即 10 x x x 10 x 2 1 6 由此可得到二次方程24 x 2 10 x 当然花拉子米讨论的问题比巴比伦人更系统 方 法更具有一般性 花拉子米的一些运算技巧也来源于 巴比伦 根据美国数学史家诺伊格鲍尔 O Neuge2 bauer 1899 1990 对巴比伦数学史的研究 发现在 古巴比伦时期不仅有平方 平方根 立方 立方根表 还有倒数表 而在花拉子米 代数学 中 在解方程的 时候 为将未知数x的系数化为1 倒数经常被用到 很有可能他求倒数的方法很可能就是借鉴古巴比伦 数学中的方法 另一方面 巴比伦数学中的除法计算 和分配问题似乎也是花拉子米 代数学 中第三部分 遗产计算问题 的起源 7 2 印度数学的影响 在回历154年 公元771年 另一说773年 一 个印度使团拜谒哈利法曼苏尔 Ab Jafcar al Mans r 约712 775 使团中有一位精通天文和数 学知识的人 他带来了婆罗摩笈多 Brahmagu pta 约 598 665以后 的 婆罗摩历算书 曼苏尔让这个印 度人与阿拉伯学者合作 很快就将这部著作译成阿拉 伯文 印度的天文学和数学知识最早就是从这部著作 传入伊斯兰世界的 后来 印度的数学知识不断地传 入伊斯兰各国 众所周知 花拉子米的算术书和天文表都可以在 印度的著作中找到出处 他的代数学也同样受到印度 数学的影响 数学史家M 克莱因甚至说 Al Khowarizmi的代数是根据Brahmagpta的著作写 的 婆罗摩历算书 中的第十二章和第十八章专论 数学问题 给出了二次方程的详细讨论 特别给出了 关于ax 2 bx c的一般解法 而这正是花拉子米给 出的一元二次方程中的第四类方程 8 在花 拉 子 米 代 数 学 中 有 一 章 商 业 交 易 mercantile transaction 这一章主要应用简单 的 三率法 来解决实际问题 3 他举过这样一个例 45 广西民族学院学报 自然科学版 2006年5月 第12卷 1994 2012 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 子 一个人被雇佣到葡萄园干活 30天付10便士 如果他工作六天 那么应该付给他多少钱呢 而 三 率法 早在印度的婆罗摩笈多的著作中就出现过 书 中是这样叙述的 在三率法中 宗项 Argument 果 项 Fruit 徽项 Reguisition 是一些项的名称 第一 项和最后一项必须是同类的事物 徽项乘以果项并除 以宗项是产项 9 而且婆罗摩笈多还应用 三率法 解答了商业交易中的算术问题 很可能花拉子米在阅 读印度的天文学和算术著作时接触到了印度的 三率 法 但是 我们没有在希腊著作中寻找到 三率法 的 痕迹 根据中国数学史家的研究 印度的 三率法 很 可能源于中国 在 代数学 关于实用测量术那一部分中 还可以 发现来自印度数学的影响 在下文中将详细讨论 另外 花拉子米在给出圆的弓形的计算公式的时 候 称弧为 月牙 bow 弓形的高为 箭 arrow 这正和印度人的叫法一致 6 虽然 代数学 受到印度数学 特别是 婆罗摩历 算书 的一些影响 但二者还是有许多不同之处的 首 先 婆罗摩笈多没有将二次方程区分成第四 五 六种 类型 同时在代数解法后没有几何证明 而这在花拉 子米看来是非常必要的 其次 婆罗摩笈多引进了负 数及其运算法则 同时意识到具有实解的二次方程有 两种形式的根 花拉子米却有意避开负数 将二次方 程分成六种类型 而且只取方程的正根 最后 婆罗摩 笈多已经采用缩写文字和一些记号来描述运算 根据 内塞尔曼 10 G H F Nesselmann 1811 1881 对 代数符号的演变的分法 他的代数已经属于较高级的 简字代数阶段 而 代数学 中使用的全是修辞化的语 言 没有使用字母或缩写符号 属于低等的文辞代数 阶段 3 代数学 与欧几里得 欧几里得 原本 的阿拉伯文首译本出现在哈利 发赖世德 H r n ar Rashid 765 809 统治时期 786 809 大约827年 二译本由与花拉子米同时 代 且同在 智慧宫 工作的的翻译家伊本 麦台尔 Ibn Matar al Hajjaj ibn Y suf 活跃于786 833年间 完成 因此 花拉子米应该了解 原本 的内 容 关于 代数学 是否受到欧几里得的影响 数学史 界持不同看法 数学史家甘兹认为 7 在 代数学 中 没有采用欧几里得的公理化演绎体系 找不到欧几里 得式的定义 定理 公设和例子 正如在序言中花拉子 米所说 写此书的目的是为了满足人们的实际需要 而不是像希腊数学出于对理论的研究 他甚至认为花 拉子米还是希腊演绎数学的反对者 是本地的实用数 学的代表 范德瓦尔登 Van der Waerden 1903 也同意甘兹的说法 11 康托尔 M B Cantor 1829 1920 通过比较 代 数学 和 原本 发现花拉子米给出的数量中字母 w w和iotta被省略 恰好这种情况也出现在 原本 中 从这个角度上说 他认为花拉子米受到 原本 的 影响 赞同这种看法的还有G J Toomer 12 对于上 面提到的康托尔的论据 甘兹给予了反驳 甘兹认为 不能仅由这两部著作中表示数量的字母w w和 iotta都被省略 而得出 代数学 受到 原本 影响的 结论 他经过仔细研究 发现在另一位阿拉伯数学家 Al Kar b s 的著作 关于圆环面的测量 中 有很多 内容是直接引自 原本 的 但是w w和iotta在文中 却经常被用到 7 所以 这不足以说明 代数学 是受 到 原本 的影响的 代数学 中在分别给出六种类型的二次方程的 代数解法后 紧接着给出了它们的几何证明 这似乎 是受希腊人推崇几何学的观念的影响 好像只有这样 方程的解法才能确认 M 克莱因 M Kline 1908 认为 代数学 中方程x 2 10 x 39的几何证明的第 一种方法是依据 原本 第 卷命题4而来的 Karen Hunger Parshall认为它的第二种证明方法与 原本 中第 篇命题6的证明思路是相同的 粗略的看 这 些几何证明好像是欧几里得的几何代数法的翻版 但 仔细分析一下就会发现 原本 中虽然提供了多种形 式的 本质上相当于 二次方程的几何解法 但都是纯 粹几何形式的 它没有给出任何形式的代数方程 方 程都隐含于特定的几何问题之中 而其代数意义则是 后人揭示出来的 事实上 希腊人出于对无理数的困 惑 把解方程纳入了几何系统 从而放弃了真正意义 上的代数 我国有学者认为 代数学 几何证明中的方法与 希腊的几何代数法不同 而与中国古代数学的 出入 相补原理 相近 特别与刘徽的思想和赵爽 勾股圆方 图注 等所体现的方法相似 13 所以 花拉子米也可 能受到中国传统数学思想的影响 现举一例来说明其 中的思想方法 花拉子米关于x 2 10 x 39的第一 种几何证明如下 见图1 55 2006年第2期 刘 琳 杜瑞芝 花拉子米 代数学 探源 1994 2012 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 图1 几何图 在边长为x的正方形的四个边上向外做边长为 x和 5 2 的矩形 再把它补充成一个边长为x 5的大 正方形 大正方形是由四周的四个小正方形和中间的 正方形以及四个相同的矩形组成的 通过分别表示它 们的面积 我们得到大正方形的面积为x 2 10 x 25 即39 25 64 因为x 2 10 x 39 所以大正 方形边长为x 5 8 得到x 3 从上面的解法我们可以看到 花拉子米完全是从 方程本身出发作出相关的几何图形 作图的每一个步 骤都与解方程的步骤相同 小正方形以及矩形在图形 中多次出现 各出现4次 而且图形之间具有简单的 相等关系 没有欧几里得几何代数法中繁琐的逻辑推 导 直观性较强 而这些正体现了中国古代 出入相补 原理 的精髓 由此可以推测 花拉子米也可能受到中 国传统数学思想的影响 有多种文献指出 在花拉子 米时代 中国古代的一些著名算法已传入阿拉伯 代数学 全书自始至终没有提及 原本 这不是 偶然的 稍晚于花拉子米的艾布 卡米勒也著有一本 代数书 他就直接引用 原本 第 卷中的命题5 命题6和第 卷中的命题28 命题29来证明二次方 程的求根法则 数学史界对于这个问题看法的分歧是很正常的 一方面 由于看问题的角度不同而导致观点不同 另 一方面 这也正说明对事物的认识过程是漫长的 在 这个过程中 不可避免要出现各种不同看法 但是 通 过史料的进一步挖掘 以及更深入细致地分析 必将 得到事物的本貌 4 代数学 与丢番图 丢番图的 算术 代表着希腊代数学发展的顶峰 那么花拉子米是否受到丢番图的影响呢 我们从形 式和内容等方面对花拉子米 代数学 和丢番图的 算 术 进行了比较 从形式上看 丢番图的 算术 是一部 问题集 而花拉子米的 代数学 是一本系统讲解的通 俗算书 从内容上看 前者涉及一次 二次方程的确定 问题以及二次以上方程的不确定问题 后者主要讲述 现代意义下的初等代数 一次及二次方程以及相关 的各种实用算术问题 二者的内容虽然有一部分相 同 但具体的看却又不同 花拉子米已认识到二次方 程有两个根 并允许无理根的存在 而丢番图只给出 二次方程的一个正根 从方法上看 丢番图的 算术 在解题的过程中 没有提供一般原理 即使对一次和 二次方程 而是对每个问题使用特定方法 因而表现 出作者所具有的 特别是关于不定分析方面的 高超 技巧 花拉子米在 代数学 中用十分简单的例题讲述 了解一次和二次方程的一般方法 建立了 还原 与 对消 这两种解方程的基本方法 还指出了方程有解 的条件 现在称之为判别式的必须非负 实际上他已 经把代数作为一门解方程的学问来研究 只是形式与 现代的不同 从代数符号的角度来看 丢番图创设了 一些符号 如未知数的符号及其各次方幂的缩写表 示 还特别给出了减法的符号等 事实上 他迈出了从 文辞代数向符号代数过渡的重要步骤 而花拉子米 代数书 完全不使用符号 全书都是用语言文字叙 述 还处于文辞代数阶段 显然比丢番图落后了一步 此外 丢番图还使算术问题的求解完全脱离了几何形 式 这与欧几里得时代的希腊经典大相径庭 而花拉 子米的 代数学 却没有摆脱几何学的束缚 综上 我 们认为 丢番图的 算术 对花拉子米的 代数学 没有 直接的影响 仔细研究发现 在伊斯兰世界 丢番图 算术 的 首译者是著名的翻译家古斯塔 伊本 路加 Qust ibn L qa 关于他的生平 我们只知道他卒于922 年 由此年代推断 在花拉子米所处的年代根本还没 有出现丢番图 算术 的译本 第一位受到丢番图影 响的阿拉伯数学家是凯拉吉 al karaj 卒于1019 1029年间 他所处的年代比花拉子米晚近200年 他的著名代数著作是 发赫里 F 韦普克 F Wo2 epcke 1826 1864 于1853年在巴黎用法语出版 在这部书中可以发现作者大量引用了丢番图 算术 中的内容 5 代数学 中的实用测量术 代数学 中的第二部分讨论如何用二次方程解 决与实用测量有关几何问题 其中汇集了许多计算图 形面积和体积的方法及图形变换的法则 给出了一系 65 广西民族学院学报 自然科学版 2006年5月 第12卷 1994 2012 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 列准确的或近似的计算公式 关于这部分内容 数学 史家尤什克维奇 A P Yushkevich 1906 指出有 许多来自海伦 Heron of Alexandria 约公元62年 的 度量论 因为可以在 度量论 中找到这部分中的 一些题目 甚至连给出的数据都一样 如下列三个问 题 计算边长为10的等边三角形的面积 计算边长为 13 14 15的锐角三角形的面积 已知一个等腰三角 形的腰长为10码 底边长为12码 求这个等腰三角 形的内接正方形的边长 6 我们给出上述最后一个问题的解法 来分析比较 在这两部著作中方法的异同 见图2 图2 几何图 代数学 中是这样解的 4 根据毕达哥拉斯定 理 可以得到这个三角形的高为8码 那么由计算知 这个三角形的面积是48码 如果称所求正方形的边 为 根 thing 他指出 根的平方等于从大三角形 中减去在大三角形内而在正方形外的三个小三角形 的图形的面积 而下面的两个小直角三角形的面积的 和是6减去 根 的一半再乘以 根 上面的小三角形 的面积是8减去 根 再乘以 根 的一半 所以不难算 出 正方形的边长是4 4 5 码 这道题同样出现在海伦 的著作中 它们的唯一区别就是海伦用单分子分数之 和的形式表示最后结果 即写成4 1 2 1 5 1 10的形式 2 同时我们还发现 在 代数学 有关几何学章节中 里 计算圆的周长的三种算法 见下文 中的第一种方 法和海伦在 度量论 中给出的方法一样 11 同时 其 中三角形的面积计算公式 海伦公式 以及求弓形面 积的近似公式也和海伦的如出一辙 在 代数学 的几何篇章中 还有一些来自印度 的算法 在计算圆的面积的时候 如果令s表示圆的 面积 p表示圆的周长 d表示圆的直径 那么花拉子 米给出圆的面积公式是s d 2 p 2 这是一个正确的 公式 接着他又给出三种计算圆周长的方法 4 分别 是 1 p 3 1 7 d 2 p 10d 2 3 p 62832 20000 d 婆罗摩历算书 的第七章中就有和第二种方法一样 的算法 8 关于第三种方法花拉子米本人称来自印度 的天文学家 经分析 认为他所指的天文学家是阿耶 波多 ryabhata I 476 550 因为在他所著的 阿耶波多历数书 中有这么一段话 4加上100 再 乘以8 再加上62000 所得结果就是直径为20000的 圆的周长 而这恰好与花拉子米给出的方法 3 相 同 11 可见 花拉子米是熟悉与海伦著作密切相关的文 献以及印度的几何学的 在花拉子米的时代 他是可 以接触到印度的几何学的 但是 海伦 度量论 的阿 拉伯语首译本是与丢番图的 算术 同时被古斯塔 伊本 路加译过来的 因此 花拉子米不可能接触到 海伦的原著 那么 他是如何间接了解到海伦的思想 的呢 或是说哪部著作中蕴涵的海伦的思想被花拉 子米继承了呢 尤什克维奇和甘兹都发现 代数学 中有关几何 学的 章 节 的 大 部 分 内 容 直 接 来 自 测 量 准 则 Mishnat ha Middot 它们的内容非常相似 甚至可以根据其中一篇来纠正另一篇文章中语法误 用的地方 6 下面简要介绍一下 测量准则 一书 测量准则 是犹太教的一部关于几何测量准则 的书 是 法律汇编 Mishna 第一版的一部分 大 约在公元200年 由于其中内容触犯了 圣经 中的内 容 在 法律汇编 的新版中被删除 法律汇编 在希 伯来人心目中的地位仅仅在 圣经 之下 测量准则 是由Rabbi Nehemiah 生卒年不详 大约于公元150 年编写的 他曾经是讲授 法律汇编 的一位教师 在花拉子米的另一部著作 希伯来历法 一书中 他提到认识犹太教的作者 6 这一事实表明 他可能 与犹太学者有着交往 并从他们那里得到 测量准则 的波斯 亚述语版本 由于 测量准则 是在公元200年完成的 而海伦 生活在公元100年左右 从年代上看 很可能 测量准 则 中许多内容来自海伦的 度量论 那么 当然花拉 子米在学习 测量准则 的时候 自然也受到了海伦的 75 2006年第2期 刘 琳 杜瑞芝 花拉子米 代数学 探源 1994 2012 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 影响 还应指出 上述花拉子米关于圆面积的公式正是 中国 九章算术 中的说法 半周半径相乘得积步 当 然与阿基米德 圆的度量 中的命题也完全一样 6 初步结论 综上所述 我们认为在 代数学 中比较突出的反 映出东西方数学并存 但以东方数学传统的影响更为 突出的特点 事实上 花拉子米可能通晓中东 近东 巴比伦以及古代希腊罗马的科学遗产 他博采众长 非常明智地吸收了东 西方不同数学源泉中的合理因 素 从而创造性地完成了他的代数学著作 二次方程 是整个古代数学的主要研究对象之一 古希腊人出于 对无理数的困惑 把解方程纳入了几何系统 欧几里 得的几何代数法并不是真正意义上的代数 丢番图的 算术 形式上是代数的 但其内容却属于初等数论 印度人虽然大胆地采用代数方法处理二次方程而无 视无理数的困惑 特别还引入了未知数符号并认识了 负数 但是他们的方法和结果还缺乏一般性和严密 性 花拉子米通过算术解法与几何证明相结合的方式 对一般二次方程进行了系统的讨论 并引入 还原 现在的 移项 和 对消 现在的 合并同类项 这 两种解方程的基本方法 通过花拉子米这些具有独创 性的工作 方程理论的代数意义才开始明朗化 而他 的 代数学 阿拉伯文书名中的 al jabr 也演变成 为现在西文中的 algebra 花拉子米的这些独创性 在任何古代典籍中都找不到原型 参 考 文 献 1 杜瑞芝 数学史辞典 M 济南 山东教育出版社 2000 2 C B Boyer A history of mathematics M 11964 256 262 3 L C Karpinski Robert of Chester s Latin Translation of the al2 gebra of al Khowarizmi M New York 1915 34 39 125 4 The Algebra of Mohammed Ben Musa Frederick Rosen J Theol2 ogy Ethics and Metaphysics Royal Asiatic Society Classics of Is2 lam Volume 5 Sarton Introduction to the history of science M 176 6 M 1961 204 207 7 Solomon Gandz The sources of al Khowarizmi s algebra M 8 H T Colebrooke Algebra with Arithmetic from the Sanskrit of Brahmegupta and Bhascara M 11973 308 309 346 9 G H F Nesselmann Die Algebra der Griechen M 1842 301 303 10 H 伊夫斯 数学史概论 M 1 太原 山西人民出版社 226 227 11 B L van der Waerden A history of algebra M 1980 6 7 13 15 12 G J Toomer Dictionary of scientific biography V M 1360 13 包芳勋 阿拉伯代数方程求解几何方法的比较研究 J 1 自然科学 史研究 1997 16 2 责任编辑 黄祖宾 责任校对 苏 琴 The Preliminary Discussion about the Source of Al Khw rizm s Algebra LIU Lin 1 DU Rui2zhi 2 1 Kingbridge B usiness Dongbei University ofFinance Economics Dalian116025 China 2 College of Mathematics L iaoning N ormal University Dalian116029 China Abstract On the source of al Khwarizmi s Algebra mathematicians always have held different opin2 ions We make comparisons with ancient east and western relevant treatises in form content rhetoric method of Algebra compare and analyze all kinds of views finally get some preliminary cognition Simple and quadratic equation and some skills of operation in Algebra may come from Babylon The discussion of the fourth kind of quadratic equation the use of rule of three the calculation of number and some terms in Algebra can be found in Indian classics introduced to Arab and some of these mathematical knowledge maybe comes from China such as rule of three The method for solving quadratic equation which combined arith2 metic solution and geometry demonstration together by al Khwarizmi probably is influenced by Greek who praised highly geometry but through analyzing carefully his geometry seems different from geometrical algebra of Euclid in essence 下转第86页 85 广西民族学院学报 自然科学版 2006年5月 第12卷 1994 2012 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 5 结语 通过比较分析及仿真实验 证明了蚁群算法可以 弥补蚂蚁算法自身存在的不足 提高负载平衡 有效 地解决网格资源分配问题 是一种快速而有效的启发 式调度算法 但同时不足之处在于获得信息素调整时 的动态信息也需要一定的通信开销 另外 还没有结 合Qos的需求 这都是需要进一步研究的问题 参 考 文 献 1 M Dorigo V Maniezzo A Colorni Positive feedback as a search strategy M Technical Report 91 016 Dipartimento di Elettro2 nica Politecnico di Milano Italy 1991 2 L M Gambardella M Dorigo Solving symmetric and asymmet2 ric TSPs by ant colonies M 1In Proceedings of the IEEE Confer2 ence on Evolutionary Computation ICEC 96 IEEE Press New York 1996 622 627 3 许智宏 孙济洲 基于蚂蚁算法的网格计算任务调度方法设计 J 天津大学学报2004 37 5 4 李星 许智宏 沈雪勤 网格环境中基于蚂蚁算法的任务调度策略 的改进 J 1 河北工业大学学报2004 33 1 5 李士勇等 蚁群算法及其应用 M 1 哈尔滨 哈尔滨工业大学出版 社 2004 责任编辑 苏 琴 责任校对 黄祖宾 Ant Colony Algorithm Based Resource Allocation and Task Scheduling of Grid QI Xu2guang LIAN G Zheng2you College of Computer and Electronic Inf ormation Guang Xi University N anning530004 China Abstract Resource allocation and task scheduling of Grid is an NP hard problem Ant algorithm has proved to be a kind of effective algorithm to solve this kind of problems In this paper an improved ant colo2 ny algorithm was presented It adopted the pseudo random proportional rul