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特征值与特征向量复习题特征值与特征向量复习题 一 思考题 1 n 阶方阵 A B 有不同的特征值时 能否有相同的特征向量 2 有相同特征值的 n 阶不同矩阵 A B 能否有相同的特征向量 3 设 A 为三阶矩阵 已知 E A 3E A E A 都不可逆 问 A 是否相似于对 角阵 4 若方阵A 0 但Ak 0 问A能否相似于对角阵 5 设 A 和 B 都是 n 阶实对称阵 并且相同的特征值 则可以得到 A 和 B 相 似 问一般矩阵有相同的特征值是否一定相似 二 选择题 1 设 则以下向量中是 A 的特征向量的是 496 375 254 A A B C D T 1 1 1 T 3 1 1 T 0 1 1 T 3 0 1 2 设 A B 为 n 阶矩阵 且 A 与 B 相似 则 A BEAE B A 与 B 有相同的特征值与特征向量 C A 与 B 都相似于一个对角阵 D 对于任意 t BtEAtE 与相似 3 设A是n阶实对称矩阵 P是n阶可逆矩阵 已知n维列向量 是A的属于特征值 的特征向量 则矩阵 P 1AP T的属于特征值 的特征向量是 A P 1 B PT C P D P 1 T 4 设 A 为 n 阶方阵 以下结论中 成立 A 若A可逆 则矩阵A的属于特征值 的特征向量也是矩阵A 1的属于特征 值 1 的特征向量 B A 的特征向量即为方程0 XAE 的全部解 C A 的特征向量的线性组合仍为特征向量 D A与AT有相同的特征向量 5 如果n阶矩阵A任意一行的n个元素之和都是a 那么A有一个特征值 A a B a C 0 D a 1 6 若 n 阶矩阵 A 的特征值0 21 n L 则不正确的结论是 A A 0 B tr A 0 C r A 0 D n AE 7 已知 000 XAX X0为非零向量 P为可逆矩阵 则 A P 1AP的特征值为 0 1 其对应的特征向量为 0 PX B APP 1 的特征值为 0 其对应的特征向量为 0 PX C APP 1 的特征值为 0 1 其对应的特征向量为 0 1X P D APP 1 的特征值为 0 其对应的特征向量为 0 1X P 8 设 且 A 的特征值为 533 42 111 aA6 1 2 32 则 a 的值为 A 2 B 2 C 4 D 4 9 设 是可逆矩阵 A 的一个特征值 则矩阵 12 3 1 A有一个特征值等于 A 3 4 B 4 3 C 2 1 D 4 1 10 设矩阵 A 与 B 相似 且 a A 33 242 111 则 b B 00 020 002 A a 5 b 0 B a 5 b 6 C a 6 b 5 D a 0 b 5 三 计算题 1 已知三阶矩阵 试求A 266 157 113 A 1的特征值与特征向量 2 设三阶矩阵有一个特征向量 求 a b 之值 21 35 212 b aA T 1 1 1 3 设有三个线性无关的特征向量 求 x 和 y 应满足的条件 001 11 00 y x A 4 已知矩阵与 相似 113 22 002 aA b00 020 001 1 求 a b 之值 2 求一个可逆矩阵 P 使 APP 1 3 求A100 5 设 三 阶 矩 阵 A 满 足 3 2 1 iiA ii 其 中 列 向 量 试求 A 2 2 1 1 T T 1 2 2 2 T 2 1 2 3 6 设向量都是非零向量 且满足条件 记 n 阶矩阵 求 T n T n bbbaaa 2121 LL 0 TT A 1 A2 2 矩阵 A 的特征值和特征向量 7 设 4 阶方阵A满足条件 求方阵A的伴随矩 阵A 0 2 0 3 AEAAAE T 的一个特征值 8 设矩阵 求B 2E的特征值与特 征向量 其中A 322 232 223 A 100 101 010 PPAPB 1 为A的伴随矩阵 E为 3 阶单位矩阵 9 设矩阵的特征方程有一个二重根 求 a 的值 并讨论 A 是 否可相似对角阵 51 341 321 a A 10 某试验性生产线每年 1 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计 然后将 6 1 熟 练工支援其它生产部门 其缺额由招收新的非熟练工补齐 新 老非熟练工经过 培养及实践至年终考核有 3 2 成为熟练工 设第 n 年1月份统计的熟练工和非熟练 工所占百分比分别为 记成向量 nn yx 和 n n y x 1 求与的关系式并写成矩阵形式 1 1 n n y x n n y x n n n n y x A y x 1 1 2 验证 是 A 的两个线性无关的特征向量 并求出相 应的特征值 1 4 1 1 1 2 3 当 2 1 2 1 1 1 y x 时 求 1 1 n n y x 11 设三阶实对称矩阵 A 的秩为2 6 21 是 A 的二重特征值 若 都是 A 的属于特征值6的特征向量 0 1 1 1 T TT 3 2 1 1 1 2 32 1 求 A 的另一特征值和对应的特征向量 2 求矩阵 A 四 证明题 1 设 A 为正交矩阵 若 A 1 试证 A 一定有特征值 1 2 设 A