第三节 数学思想方法及其教学.doc

第三节 数学思想方法及其教学一、数学思想方法的含义“数学思想方法”一词无论在数学、数学教育范围内，还是在其它科学中，也被广为使用。中学数学课程标准（教学大纲）已将数学思想方法列为数学目标之一。但是，什么是数学思想？数学方法？数学事项方法？却不象数学中概念那样可以明确给出定义，只能给出一种解释或界定。数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识中锻炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。例如，字母代数思想、化归思想、极限思想、分类思想等。数学方法是指在数学地提出问题，解决问题（包括数学内部问题和实际问题）过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。如，变化数学形式、笛卡尔模式、递推模式、一般化、特殊化等。数学思想与数学方法是紧密联系的， 思想指导方法， 方法体现思想。“同一数学成就，当用它去解决别的问题时，就称之为方法，当评价它在数学体系中的自身价值和意义时，称之为思想。”当强调指导思想，解题策略时，称之为数学思想；强调操作时，称为数学方法，往往不加区别，泛称数学思想方法。例如，化归思想方法是研究数学问题的一种基本思想方法。我在处理和解决数学问题时，总的指导思想是把问题转化为能够解决的问题，这就是化归思想。而实现这种化归，就是将问题不断的变换形式，通过不同的途径实现化归，这就是化归方法，具体的划归方法有多种，如恒等变换、解析法、复数法、三角法、变量替换、数形结合、几何变换等。二、中学数学思想数学思想是数学教学的重要内容之一。 重视与加强中学数学思想的教学，这对于抓好双基、培养能力以及提高学生的数学素质都具有十分重要的作用。为此，下面择要探讨有关中学数学思想的问题。（一）用字母、符号、图象表示数学内容的思想数学学科与其它学科的一个显著区别，在于数学中充满了字母、符号、图形和图象， 它们按照一定的规则表达数学的内容。 这些字母、符号、图象、图形就是数学语言。数学发展史表明，数学的发展与数学语言的创造和运用密切相关。 前苏联A.A.斯托利亚尔在数学教育学里指出： 数学中“符号和公式等人工语言的制订是最伟大的科学成就，它在很大程度上决定了数学的进一步发展。今天越来越明显，数学不仅是事实和方法的总和，而且是（也许甚至首先是）用来描述各门科学和实际活动领域的事实和方法的语言。”数学语言可分为两种：一种是抽象的符号语言；另一种是较直观的图象（图形）语言，通过它们表达概念、判断、推理、证明等思维活动。用数学符号（数字、字母、运算符号或关系符号）表示数学内容，比用自然语言表示要简短得多。例如，余弦定理用自然语言表述是“三角形的任一边的平方，等于其它两边的平方和， 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍”，如果用数学语言表达， 则是。两者比较，数学语言可大大缩短语言表达的“长度”。运用数学语言可以使数学的叙述、计算和推理简单明了，才能大大简化和加速思维进程，使数学成为充满活力的运行系统。数学符号的使用极大地推动了数学的发展。有人把十七世纪叫做数学的天才时期，把十八世纪叫做数学的发展时期，这两个世纪数学之所以取得较大的成就，原因之一是大量创造并使用数学符号。数学符号简化的记法，常常是深奥理论的源泉。数学语言的功能可按符号和图象在数学中的作用，归纳为以下几方面：（）表示数的字母或几何图形的符号，具有确定的符号意义的功能。用字母表示数。法国数学家韦达于 1591 年在代数中建立了抽象的符号，他和笛卡尔先后用拉丁定母表示已知数， 用表示未知数。瑞士数学家欧拉于1736年首先用表示自然对数的底，而恰是他名字的第一个字母，沿用下来具有纪念意义。英国数学家琼斯于 1706 年首先用 表示圆周率，这符号源于希腊文（圆周）。欧拉于1777年首先用法文imkginaaire（虚的）第一个字母表示虚数单位。用字母和符号表示几何图形。如用表三角形的三边，用相应的大写字母分别表示所对的角，这是欧拉首先倡导的。此外，在几何中用表示角，用表示三角形，用表示平行四边形，用表示圆，用表示平行等，这些是数学中的象形符号。（）数学符号具有形成数与数、数与式、式与式之间关系的功能。符号“”表示相等，这是1557年英国列科尔德引入，后经德国莱布尼兹倡议把它作为相等关系的符号。符号“”、“”分别表示大于、小于，这是十七世纪哈里奥特创造的。符号“”，“”，“” 分别表示集合论中元素与集合间属于关系，集合与集合之间的包含关系、包含于关系。这是1889年意大利皮亚诺首先使用的。符号“”、“”分别表示几何图形的相似与全等关系，这是莱布尼兹首先创用的。（）数学符号具有按照某种规定进行运算的功能。符号“+”、“-”分别表示数（式）的加、减运算，是15世纪德国韦德曼首先采用的， “”表示乘法运算， 是17世纪英国数学家欧德莱最先使用，“”表示除法运算，则是瑞士人创造的。符号“”是微积分的重要符号，其中是拉格朗日创造的，dx是莱布尼兹创造的，则是富里埃创造的。（）为了简明地表示某个特定的式子或某种特定的涵义而引入某些数学符号。例如：“”表示一元二次方程 的根的判别式。符号“”、“”分别表示极大值和极小值。 类似的约定符号还有很多。如等。到目前为止，数学中常见的符号有两百多种，中学数学中常见的符号也有一百多种。 这些符号有机地结合， 构成了内涵深刻、丰富简明的数学语言。（）随着电子计算机的发展，数学语言的直观功能越来越明显。人们在电子计算机的终端显示屏上可看到各种数字、数学图表、图像，它们作为信息传递的一种形式具有同符号语言相同的功能，而且比符号语言更直观。这里所讲的“图形”，不仅包括“几何图形”，而且还包括“一般图形”，如集合论中的文氏图、示意图、表格、模型图和思路分析框架图等。（二）转化的思想数学中充满矛盾，对立面无不在一定条件下互相转化。已知与未知，异与同，多与少，一般与特殊等等在一定条件下都可以互相转化。这是唯物辩证法在数学思想方法上的体现，转化的方向一般是把未知的问题朝向已知方向转化，把难的问题朝较易的方向转化，把繁杂的问题朝简单的方向转化，把生疏的问题朝熟悉的方向转化。化归，即转化与归结的意思，把有待解决的未解决的问题，通过转化过程，归结为已熟悉的规范性问题或已解决过的问题，从而求得问题解决的思想。人们在研究运用数学的过程中， 获得了大量的成果， 积累了丰富的经验，许多问题的解决已形成了固定的模式、方法和步骤，人们把这种已有相对确定的解决方法和程序的问题，叫做规范问题，而把一个未知的或复杂的问题转化为规范问题的方法，称为问题的化归。例如中学数学教材里对于一元一次方程和一元二次方程，已经有了固定的求解方法、步骤和求根公式，因此，求解一元一次方程和一元二次方程的问题属于规范问题。而一元高次方程在中学数学解法的基本思想就是降次通过因式分解或换元等方法转化成解一元一次方程或一元二次方程。中数教材里对二元一次方程组着重介绍了代入消元法和加减消元法，其基本思想是通过消元，把二元一次方程组问题转化为一元一次方程问题。那么，在中数里解二元二次方程组，就有两种基本思想，一是消元，转化成一元方程；另一种是降次，转化成一次方程组。至于先用哪一种方法，则要观察题目的特点来决定。在消元降次这个思想方法中又含有更高层次的思想方法，即把新问题转化成已经解决的问题来解决。消元，降次就是把多元高次方程组转变成一元一次方程来解决。换元法也是从转化这个思想方法中产生出来的。几何中把复杂的图形转变为较简单的基本图形来研究，也是运用这种思想方法。为了实现“化归”，数学中常常借助于变换，例如代数中有解析式的恒等变换， 方程、不等式的同解变换； 几何中合同变换、相似变换、射影变换、等积变换、拓朴变换；解析几何中有坐标变换、图形变换等等。变换是手段，揭示其中不变的东西才是目的，为了不变的目的去寻找变换的手段就形成解决数学问题的思路和技巧。在利用变换的方法时，既可变换问题的条件，也可变换问题的结论；既可变换问题的内部组织结构，也可变换问题的外部表现形式；既可从局部量的方面入手，也可从整体质的方面进行。变换与化归有密切联系，但变换比化归应用范围更广阔。例：设是边长为1的正方形所在平面上的动点，求在什么位置时，取得最小值。解：这是较复杂的几何问题，先考虑用解析法把问题转化为代数问题。如图所示，建立直角坐标系，设，则求的最小值仍较复杂，再考虑用复数法把问题转化为复数模的问题。设 则上式当且仅当 时取等号， 因此， 当且仅当为正方形的中心时，取最小值。转化或化归、变换的思想方法不仅用之于数学，而且是一般分析问题和解决问题的十分重要的基本思想方法。但是这种转化变换的思想往往是渗透在数学的教学过程中，渗透在运用知识分析解决问题里。这就要靠教师在整个教学过程中，使学生能够领悟并逐步学会运用这些思想方法去解决问题。（三）数形结合的思想从广义上来看，数学研究的主要对象是：现实世界的空间形式与数量关系，形与数以及它们之间的关系始终是数学的基本内容。与此同时，数形结合又是学习与研究数学的重要思想方法。形与数是互相联系，也是可以相互转化的。把问题的数量关系转化为图形性质问题，或者将图形的性质问题转化为数量关系问题，是数学活动中一种十分重要的思想方法，统称为数形结合的思想方法。数学发展的历史表明，形与数的结合不仅使几何问题获得了有力的现代工具， 而且也使许多代数问题获得了明显的直观的几何解释， 从而开拓出新的研究方向。 例如， 笛卡尔创立的解析几何就是运用形数结合这一思想方法的典范，通过建立适当的坐标系，形成了点与有序实数组以及曲线与方程之间的对应关系，从而把几何问题转化为代数问题，把代数与几何结合起来，开创了数学发展的新纪元。 又如， 在现代数学人们把函数看成一个个“点”， 把一类函数的全体看作一个“空间”， 由此引出无穷维空间的概念，这也是成功地运用数形结合的思想方法的结果。从表面上看，中学数学的内容可分为形与数两大部分，代数是研究数与数量关系的主要学科。然而事实上，在中学数学各分科教学中都渗透了数形结合的内容与思想。例如，研究实数与数轴相结合，研究复数与复平面上点的坐标结合，研究函数与其图象相结合，研究平面上的直线与二元一次方程结合， 研究圆锥曲线与二元二次方程相结合， 研究集合与韦恩图相结合等等。数形结合的思想方法在数学教学中具有十分重要的意义，运用这种思想方法去解决数学问题，常常可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化。作为数形结合的具体方法，主要有解析法、复数法、三角法、图解法等等。一般说来，把几何问题转化为代数问题，常用解析法、复数法、三角法等；而把数量关系问题转化为图形性质问题，则常用图解法、解析法、几何法等。例：已知正数满足方程组：求的值（第18届全苏中学生数学竞赛题）分析：原方程组较复杂，若想通过解方程组求出的值，进而求出是较困难的。通过认真分析原方程组中的每个方程，发现它们都有具体的几何意义，即原方程组可化为：利用上述三个式子，就可构造出如图所示的直角三角形， 从而易知另一方面：这样，通过发现原方程组三个方程所体现出来的几何意义，构造出三角形，把代数问题转化为几何问题来解决，从面化难为易，这是数形结合的数学思想方法的具体运用。（四）分解组合思想有些数学问题较复杂，不能一下子以统一的形式解决，这时可考虑先把整个研究范围分解为若干个局部问题，分别加以研究，然后再通过组合各个局部的解答而得到整个问题的解答，这种思想就是分解组合思想，其方法称为分类讨论法。在中数里，研究含字母的绝对值问题，一元二次方程根的讨论，解不等式，函数单调性的研究，圆周角与对同弧的圆心角关系定理，弦切角定理，正弦定理，三角函数诱导公式的推导，二次曲线的讨论，排列组合问题以及各种含参数的问题的研究等等，无不体现了分解组合的思想。对于复杂的数学题，特别是一些综合题，运用分解组合的思想方法去处理，可以帮助人们进行全面严谨的思考和分析，从而获得合理有效的解题途径。运用分解组合思想解决数学问题，必须进行科学的划分，应注意遵循划分的规则：划分应按同一标准进行；划分所得的各类应是互斥的（不重复）；划分所得的各类之总和应等于被分的对象（不遗漏）。如何进行划分呢？大体上可考虑以下几个方面：对题中的变量或参数取值范围，作分段处理；对解题的关键，分成几个要点来讨论；对题设条件或结论，可能出现的各种情况，分别讨论，使用完全归纳法。如研究有关三角形的问题时，可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形来讨论，也可分为等腰三角形、不等边三角形来讨论；研究自然数的问题时，可分为偶数与奇数，也可分为质数、 合数与1来讨论等等。这些都要看具体题目而定。运用分解组合的思想，能使问题难点分散，便于各个击破，也常常能暴露出问题的本质，有助于我们对问题的思考。例：已知满足,求关于的方程的解的取值范围分析：解此方程，首先要从已知条件中，求出的取值范围，再于此范围内，对的取值进行分段，以便脱掉绝对值符号。解：由已知条件，得 解得 即当时，原方程变为：结合函数图象，可知当时，的最大值为，当时，的最小值是2。时，有当时，原方程可写成：即 当在区间中变化时，x是单调递增，且在区间中变化，当时，有故原方程的解集是：（五）集合对应思想集合与对应是现代数学最基本最原始的概念之一，我们不能用其它更基本的概念给它们下定义，所以也把它们叫做不定义概念或原始概念。对于这些不定义概念， 我们只能作描述性的说明。 中数教材从学生已有的知识出发，分别用数、点、图式、整式以及物体等实例引入集合的概念，这样既便于学生接受，也让学生体会到集合的概念如同其它数学概念一样，都是从现实世界中抽象出来的。整个数学的许多分支如近世代数、实变函数、泛函分析、拓扑学、概率统计等等几乎都是建立在满足各种不同条件的集合之上，都可以在集合论的范围内形式地加以定义。集合论的许多基本思想方法、符号、定理已广泛地渗透到数学的各个领域，许多涉及数学基础的根本性问题都可归结为关于集合论的问题，因此法国的布尔巴基学派把集合论称为“数学的基础结构”。此外，集合思想还广泛地渗透到自然科学的许多领域，集合术语在科技文章和科普读物中比比皆是，让中学生掌握集合的初步知识，可以使学生对初等数学中的一些基本概念理解得更深刻，表达得更明确，同时也可为以后学习一般科技知识和近代数学准备必要的条件。集合论作为数学语言， 具有特别简洁明了的特点， 它有一个基本关系词：“属于”，用符号“”表示，据此可定义：“不属于”（）、“包含于”（）、“相等”（）等概念。从这些概念出发，再加上一些逻辑语言，如 “或” 和 “且” ，就可以定义集合之间的“并”运算（）和“交”运算（），还可定义差运算和余运算。于是，集合论的基本运算便建立起来了，并形成一种代数结构。这样，就能用简明的数学符号语言来表达数学内容和公式了。例如，可用集合来表示方程或方程组的解集，不等式（组）的解集，也可用集合来表示满足某种条件的点的轨迹，高中立几课本中还借用集合的符合来表示点、直线、平面之间的关系。点在平面上，可记为；直线在平面上， 可记为；平面与平面相交，可记为，（其中表示交线）,注意平面与平面相交，不能表示为 ，因为若 ， 则表示与没有任何公共点，即。用集合论的思想方法研究数学问题，更有利于学生理解和掌握。例如，三角方程的解的表达形式不唯一，但可通过解集相等来理解。例：解。解（一）：用和差化积公式把原方程化为：,得或原方程的解集为解（二）：用倍角公式把原方程化为：得 或原方程的解集为两种解在形式上并不一样，但如果用集合的观点看解的集合，则较容易理解两种解集实质上是相等的。因为的周期为，分别求出解与在区间内所有不同的值， 可看出二者在内所有不同的值都是所以实质上与是相同的集合。当然还可用其它的方法证明解集与是相等的，在此就不多述了。对应是集合论的又一个基本概念，在中学数学里，对应也是不定义的原始概念，高中数学教材是通过学生较熟悉的例子，如实数与数轴上的点之间的对应，坐标平面内的点和有序实数对之间的对应，采用举例说明的方法，让学生领会“对应”这概念，又不致使学生感到突然。接着用图示的直观方法引入三种不同的对应（一对多，一对一，多对一）作为实例，然后从后两个对应引入映射的定义，进而在映射的基础建立起函数的近代定义。可见集合与对应的思想是中学数学重要内容函数的基础，而对应的特例变换在中学数学里应用更广。因式分解是一种恒等变换，解方程（组）与解不等式（组）也是一种变换，而排列、组合、参数方程、充要条件等许多内容用集合对应的观点去阐述与理解就更清楚得多，深刻得多，这样既有利于学生对这些知识的掌握，也有利于知识的灵活运用。例如，判断图形全等的关键是通过对应。若两个几何图形（可看成点集）甲和乙之间存在一一对应。对应的两组任意点 满足：，则称这两个图形是全等的。（六）方程函数思想方程与函数是中学数学的重点内容，占了相当多的份量，其中某些内容既是重点又是难点，例如，列方程（组）解应用题，函数的定义和性质，反函数的概念，平面解几里曲线的方程，方程的曲线的概念等等。方程的思想和函数的思想是处理常量数学与变量数学的重要思想，在解决一般数学问题中具有重大的方法论意义。在中学数学里，对各类代数方程和初等超越方程都作了较为系统的研究。 对一个较为复杂的问题， 常常先通过分析等量关系，列出一个或几个方程或函数关系式，再解方程（组）或研究这函数的性质，就能很好地解决问题。 例如算术中较为复杂的四则应用题， 利用方程（组）去解就变得非常容易；在几何中求异面直线之间的距离问题，利用函数极值的方法也往往显得简便。“什么是方程？”这是中学数学教学里有所争论的一个问题。一种观点认为：恒等式是对于其中的字母的一切允许值都成立的等式，方程是对于其字母的部分值成立的等式，从而把两者加以区别。 若持这种观点，则在尚未弄清对于未知数的一切允许值等式是否成立之前，就难以回答“”是什么（方程还是恒等式）。例如求解关于的方程，根据这一观点，当时，这是方程，而当时，就是恒等式了。另一种观点，是将恒等式看成方程的特殊情况，并把方程看成是两个函数值的等式。但是若持这种观点，那么对于未知数的任何允许值，等式都不成立，例如，当时，方程本身还存在吗？第三种观点，从形式上看，“含有未知数的等式叫做方程”，而不管这等式是恒等式，还是条件等式，或者是矛盾式，这样，方程就把恒等方程、矛盾方程也包括在内了，在数学上进行讨论就比较方便，也不必去改动方程的定义。前苏联数学教育家斯托利亚尔认为：“如果跳出对数学对象的古典理解的框子，并且用现代逻辑的概念，特别是逻辑函数（谓词）的概念来解释方程的一般概念，这些困难就会消除。”此外，不等式与等式也有许多类似的性质，用函数的观点，且可将数、式、方程三者统一起来，这是近代数学的主要基础。由于函数充分体现了集合，对应、映射等基本数学思想，因而就使中学数学能接近现代数学的科学水平，并且使学生从中获得基本的、深刻的、有用的高等数学思想方法。例：求证：分析：可把不等式的两端看作函数的两个不同的值且，要证明所给不等成立，只要证明函数在上是增函数就行了。证明：令，则，在上是增函数,即原不等式成立。三、中学数学方法中学数学的具体方法丰富多彩， 例如类比法、 归纳法、演绎法、观察法、实验法、分析法、综合法、比较法、分类法、抽象和概括、联想法、具体化、特殊化、系统化、变换法、构造法、 RMI方法、交集法、递推法、特征法、待定系数法、解析法、参数法、图解法、三角法、代数法、几何法、复数法、面积法、数学归纳法、数形结合法、反证法、同一法、配方法、非标准化法等等。深入地分析这些方法，我们可以发现：方法本身具有层次性。例如：比较法又有比差法和比商法等；反证法有归谬法和穷举法；构造法有构造算式法、构造函数法、构造图形法等；变换法有代数变换法、几何变换法、三角变换法等，而几何变换法又有合同变换法、相似变换法、仿射变换法、 射影变换法、 拓扑变换法、反演变换法等，其中合同变换法又分为平移变换法、旋转变换法、对称变换法等等。方法在应用上具有综合性。例如，在进行因式分解时，往往需要提取公因式法、十字相乘法、公式法、拆补项法等同时应用；在应用分析和综合法时， 又往往需要研究其它几种方法。 至于对某个问题的解法称为某某解法，通常是指在解题中所用的一种主要方法，或者是针对某种特定问题或特定场合而言的。方法往往具有各自不同的适用性。例如，分析法、综合法、联想法、转化法等可适用于一切问题的研究；而割补法、面积法、体积法等仅适用于某种某些几何问题的研究；分域法、待定系数法、消去法、代入法、配方法等常适用于某些数或式的研究等。方法本身也在不断完善之中，具有发展性。 例如RMI方法、复数法、构造法、三角法等就是近一、二十年来，有的甚至是近年来才完善发展起来的。随着数学的发展，中学数学教学改革的深入以及数学方法论的建立，人们对数学方法的认识必将进一步提高。前面提到的一些重要的思维方法和数学方法， 如分析法、 综合法、类比、归纳、演绎、分类、数学归纳法等，限于篇幅这里就不再赘述。下面仅择要对其它的数学方法作一些简介，其余留给大家自行研究。（一）观察法观察就是以人们的感知为基础，有目的有选择的认识事物的本质和规律的一种方法。数学观察则是人们对数学问题在客观情境下考察其数量关系及图形性质的方法。观察是思维的窗口，观察与思考是紧密结合在一起的。在中学数学教学里，应引导学生掌握正确的观察方法，揭示数学的本质、特点和规律。例：通过观察下列等式，总结出一般规律，并证明所得的结论。1=11-4= -31-4+9=61-4+9-16= -101-4+9-16+25=15题目给出前五个等式，分别观察这五个等式的左右两边，可知每个等式的右边只有一项整数，从上到下观察这五个等式的右边，符号正负相间，绝对值依次为1，3，6，10，15，可构成二阶等差数列。即有：3=1+2，6=3+3=1+2+3，10=6+4=1+2+3+4，15=10+5=1+2+3+4+5，从而可归纳出第n个等式的右边这项的绝对值为,符号为，即此项为再看这五个等式左边，可知第个等式左边是由项整数组成的代数和，从左到右看，各项符号正负相间，绝对值依次为，从而可归纳出第个等式的左边为于是总结出一般规律，即可写出第个等式为： （*）以上是通过观察特点， 用不完全归纳法总结规律，得出猜想（*），这结论正确与否，还应通过严格证明，此题可用数学归纳法加以证明。证明：当时，左=1，右=1，左=右。假设当时，命题成立，即则当时， 即时，命题成立由及归纳原理，知原命题（*）对一切自然数n都成立。例：解方程通过观察，发现，即与互为倒数，于是可考虑用换元法解此方程。解：则代入原方程，得解得：或 经检验：均为原方程的解。（二）实验法实验， 是人们根据一定的研究目的， 运用一定的手段（或工具、设备等），在人为控制或模拟的条件下，排除干扰，突出主要因素，从而有利于进行观察、研究、探索客观事物的本质及其规律的一种科学研究方法。实验作为一种科学方法，是观察、思维、实验技术、仪器使用等方面的综合。显然，实验与观察、思维是紧密相联的，观察是实验的前提，实验是观察的证实与发展。而思维活动则贯穿实验的始终，无论是实验的选题，设计，还是实验中的分析、综合以及实验结果的总结分析，都离不开思维。因此，应把实验与观察、思维结合起来。在中学数学里，实验的方法也有重要应用，例如，对于三角形内角和定理、勾股定理、圆锥体积公式的教学，往往先借助于观察与实验的方法进行启发，然后再予以理论证明。著名的数学教育家汉斯.弗赖登塔尔在其著作 作为教育任务的数学中指出，作为几何的入门教学应使用 “具体材料， 如折纸、剪纸、粘合、画图、油漆、测量、铺路以及镶嵌等，都可以组织成几何的活动”，以重复实验几何学中概念、性质的发现过程。在几何教学里，特别在立几教学中，让学生动手制作一些简单的几何模型，或利用铁线、纸板等简易材料作些实验，不但有利于培养空间想象能力。而且更有利于培养他们从实验中发现数学规律（如三垂线定理等）的创新精神。（三）比较比较，就是把研究对象的个别部分或个别特征分出来，以确定它们的相同点和不同点的思维方法。比较可在同类对象中进行，也可在不同类对象中进行，或在同一对象的不同方面、不同部分之间进行。为了进行比较，先要把研究对象的某一整体分解为部分，区别其特征，这就是分析；同时又要把它们相应的部分联系起来，确定其异同，这就是综合。因此，比较过程中既有分析，又有综合。“有比较才有鉴别”；“在比较中认识一切”。比较是分类、类比等方法的基础，也是数学教学和研究的一种重要方法，加强比较的教学，有利于学生掌握概念、法则，启迪思维，发现规律，突破教学中的难点。例如：在引进等差数列的概念时，可先让学生比较下列数列：由比较可发现，数列、具有相同的性质：从第二项起，数列中每一项等于这数列的前一项加上常数，即(为常数)，并且这种数列具有性质：。而数列、则不具有这些性质。中学数学里，可以把全等三角形与相似三角形从定义、性质、判定各方面作比较； 把等差数列与等比数列从定义、通项公式、前n项和公式等方面作比较；在立几中，把空间里直线与直线之间，直线与平面之间、平面与平面之间的相互位置关系进行比较；在解几中，把双曲线与椭圆从定义、标准方程、图形性质等方面比较，比较可简化相似问题的研究，在不同的对象中探求相同点， 或在相同的对象中探求相异点， 以利于对所论问题的研究。比较的类型有相同点的比较，相异点的比较，综合性的比较。运用比较应注意以下几点：比较应是有意义的，即作比较的对象彼此之间应有一定的关系；比较必须在同一关系下，按一定的步骤进行；对数学对象的同一性质所作的比较，应是完整、彻底的。比较法也常运用于解决数学问题， 如不等式研究中的比差法、 比商法等。例：，试比较与大小。（解一）：比差法： （*）又已知得，代入（*）式，知（解二）：比商法：又已知 ， ， 且， 代入（*）式得1，又（解三）比对数法：要比较与的大小，只要去比较与的大小。事实上，且 例：求证：证明（比差法）（四）抽象和概括. 抽象，是人们在感性认识的基础上，透过现象，深入里层，抽取出事物的本质特征、内部联系和规律，从而达到理性认识的思维方法。抽象的过程离不开比较、归纳、分析、综合，要经过“去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里”的加工制作过程，排除那些无关的或非本质的次要因素，抽取出研究对象的重要特征、本质因素、普遍规律与因果关系加以认识，从而为解答问题提供某种科学依据或一般原理。例：欧拉关于“七桥问题”的研究。18世纪，东普鲁士哥尼斯堡有条河，河中有两个岛，有七座桥把这两个岛以及河两岸连接起来（如图1），人们在游览过程中，就产生了一个问题：能否从某地出发，一次性不重复地经过这七座桥，然后返回出发地？人们试了很久，都无法解决这问题，于是有人就去请教当时著名的大数学家欧拉。1736年欧拉利用数学抽象的方法，出色地解答了这个问题。欧拉觉察到， 两岸的陆地与两个岛的大小、 具体形状、桥的宽度与长度等均对本问题是无关紧要的，因此可考虑把两岸陆地与两个岛缩成四个点；而七座桥作为两岸与两岛之间的连接作用， 对本问题却是至关重要的，因此欧拉保持桥连接两地（两个点）的本质特征，但也可简化成连接两点之间的一段弧。于是，就将图1抽象成图2，并且将原来提出的实际问题，抽象成能否一笔画出图2的问题。欧拉研究了一笔画的更一般问题，认为，一个连通图如果可以一笔画成，则除了起点和终点外，其余顶点处的连线总是一进一出成双成对的，必有偶数条（这样的点称为偶点），因此至多只有两个点（起点与终点）有可能与奇数条线连接(这样的点称为奇点)；若最后要返回到起点，即起点与终点重合，则所有的点都必为偶点。但图中，四个点都为奇点，所以不可能一笔画成图2，从而要一次性不重复地经过哥尼斯堡七座桥是不可能的。欧拉运用了数学抽象的方法，成功地解决了这个问题，并由此产生了数学一个新的分支图论最早的论文。抽象大致有两种类型： 经验性抽象，是指从可观察的事物为直接起点的一种初始抽象，它是对物体所表现出来的特征的抽象。理论性抽象，是指在经验型抽象的基础上形成的一种深层的抽象，它所把握的是事物的因果性和规律性的联系，这种抽象的成果就是定律、定理等。运用抽象应注意以下原则：科学的抽象必须具有普遍性；高层次的抽象必须能演绎出低层次的抽象。 . 概括，即把抽象出来的若干事物的共同属性归结出来进行考察的思维方法。概括是人们追求普遍性的认识方式，是一种由个别到一般的思维方法。概括是以抽象为基础，抽象度愈高，则概括性愈强，高度的概括对事物的理解更具有一般性，则获得的理论或方法就有更普遍的指导性。抽象和概括是密不可分的。抽象可以仅涉及一个对象，而概括则涉及一类对象。从不同角度考察同一事物会得到不同性质的抽象，即不同的属性。而概括则必须从多个对象的考察中寻找共同相通的性质。数学思维侧重于分析、提练、概括思维则侧重于归纳、综合。数学中的每一个概念都是对一类事物的多个对象通过观察和分析，抽象出每个对象的各种属性， 再通过归纳、 概括出各个对象的共同属性而形成的。在解决数学问题方面，得出数学的模型、模式，总结出解题的规律和方法，都是通过分析、比较、抽象、归纳等思维环节，最后进行理论概括的结果。概括的前提是将对象和现象彼此加以比较。 概括是科学发现的重要工作，从科学逻辑的角度，概括的主要类型有：外推型概括：指把某个特定领域推广到其它领域去，有不完全归纳概括，平行式概括两种形式。上升性概括：指由对单一的某个事物的认识直接地上升为一种具有普遍规律认识的概括。复合性概括：就是把前两种类型的概括相互结合、渗透而形成的一种概括，既有横向的外推，又有纵向的上升，最后形成一种极为普遍的基本原理。运用概括应注意以下几点：概括必须与比较相结合；概括必须与分析、综合相结合；概括必须与归纳、演绎相结合。例：在同一直角坐标系中作出函数：； ； ； 的图形，讨论指数函数的一般性质。本题通常在讲授新课时采用。若正确作出图象让学生回答问题，就会反映出概括能力的强弱。概括是一种寻求共性的思维。本题可概括出指数函数，的性质有：（）图象都过点，即；（2）定义域为；（3）值域为，即；（4）指数函数都是单调的。（五）具体化、特殊化、系统化. 具体化，是与抽象化相反的一种思维方法，它是将抽象的数学事实（概念、定理等）同相应的具体材料联系起来，从而更好地理解数学事实的一种思维方法。具体化，可以作直观的描述，抽象法则的具体验证，某一性质在具体条件下的应用等等。例如：抽象的关系，对任意的数或式都是成立的，可用具体的数或式代入进行验证。勾股定理对任意的直角三角形都是成立的，也可用具体的直角三角形加以验证。. 特殊化，是与概括相反的思维方法。它是将所论的数学事实“退”到属于它的特殊状态（数量或位置关系）下进行研究，从而达到研究一般状态目的一种思维方法。在中数教学中，常常把变量的问题先以某些特殊值代入，或把某种任意的图形问题先以这种图形的特殊情况代入进行研究，以获取某种启示。这种“以退为进”的研究方法，实为具体化、特殊化在数学教学中的应用。例：在中，为三边长，求证：证明：在具体解题时，可从具体、特殊情况入手。中，当时， 当时，由特殊情况的研究得到启发，从而可得： 例：如图1， 为定圆直径，为过点的切线，且与切线分别交于，求证为定值。分析：由题意，点可为圆周上除以外的任意点， 如选取图2那样的特殊位置，易见，定值（为半径）。然后再对一般情况下的点及相应的点，去证明（图1）证（一）：分别切于，分别连结，则，又为直径，从而，又，为定值。证（二）：分别切于点，且为直径，。若， 则为矩形， 如图2， 切于，边，则，为定值。若，在为直角梯形，如图，过作，为垂足，则，在中，。，即为定值。若，同理可证。有关定值的这一类问题，往往先通过特殊情况找到这个定值，使解题明确了方向，然后再对一般情况加以证明。. 系统化，就是将各种有关材料编成顺序，纳入一定体系之中进行研究的一种思维方法。它是与比较、分类、抽象、概括、具体化等思维方法紧密联系在一起的。运用系统化方法，有助于从整体上把握事物的内在联系，系统、深刻地掌握知识；有助于抓住核心，了解来龙去脉。在中数教学里，常常通过编写提纲、绘制图表的方法将知识系统化。例如，在学习了两角和与差的三角函数的公式，倍角、半角的三角函数公式，万能公式以及三角函数的积化和差与和差化积公式之后，应及时指导学生把这许多公式的内在联系和推导的线索用绘制图表的方法进行系统的整理，这将大大有助于学生理解、记忆和掌握这些公式，这是学好此章三角函数公式的关键。又如，在学习了椭圆、双曲线、抛物线的内容之后，也应指导学生把这三种圆锥曲线的几何条件（定义）、标准方程、图形、性质制成图表，进行比较，并形成系统化的知识。这样的例子在中学数学现行教材里是很多的，特别在各章小结部分，比较注意对整章的内容在归纳概括的基础上进行系统化，在教学上，应予以充分重视。（六）想象和直觉. 想象，有人称之为科学的猜想，或科学的联想。它是推测事物现象的原因与规律性的创造性思维活动。想象应以一定背景的知识为基础，其目的在于探索问题的解答，提出解释性的理论，有如下的类型：类比想象：是一种模仿引发物而设想出其类似的创造物的想象。跳跃想象：人们为了解决某疑难问题，在引发物的诱发下，创造性地推测出一般原理或定律的想象。复合想象：是一种把类比想象和跳跃想象综合起来运用的想象。运用想象应该注意以下原则：科学想象提出的理论必须是能解释事实的；想象所提出的理论必须是可以检验的。例：求证：证（一）：联想公式 以及公式： 则 证（二）：联想公式及公式并记 即 又 +得证（三）：联想公式将上式两边求导，得 （*）在（*）式中，令，即得. 直觉，又称为顿悟（灵感），这也是一种创造性的思维活动。在科学史上，很多卓越的发现往往与之有关。直觉的表现，往往是不通过分析步骤而达到真实的结论，有人认为它是非逻辑的思维活动； 有人认为它是逻辑过程的压缩、 简化，而采取了“跳跃”的形式， 只不过在瞬间猜测到了问题的答案， 显然为突然闯入脑际的“闪念”。直觉是突发性、偶然性的，但不是随心所欲，凭空出现的。长期而紧张的逻辑思维活动往往是产生直觉的前奏和准备，它只不过是变换了思路，从不同角度去重新考虑，在某种启发下导向科学的发现。由于直觉具有创造性，又具有随意性，因此，直觉活动难以具有严格、精确的模式，否定直觉的作用或将直觉神秘化、显然都是不对的。关于直觉的详细研究，已在第四章作了阐述，在此就不重复了。（七）RMI方法所谓RMI方法，即关系（Relationship）映射（Mapping）反演（Inversion）方法。在一个数学问题里，常有一些已知元素与未知元素（都称为原象），它们之间有一定关系，如果在原象集及关系里直接去求未知元素比较难，则可考虑寻找一个映射，把原象及关系映射成映象及关系，而在映象及关系 里去求未知元素的映象较为容易，最后从未知元素的映象通过反演求得求知元素原象。这种方法就叫做“关系映射反演”方法， 简称方法，可用框图表示如下：应该注意的是，这里所讲的“反演”，一般指的是广义下的“反演”，即“逆着返回”的意思。在特殊情况，如映射为映射， 则反演就是的逆映射。从“方法”的基本内容可以看出， 其解决数学问题的思想由三个步骤来完成：建立映射：适当地选择一个映射，通过它的作用将原象及关系映射成映象及关系；定映：在映象及关系中把待求元素的映象确定出来；反演：由通过反演确定出要求的元素。在这三步中，第一步建立映射最重要。实际上，正是通过所选择的映射把我们所要解的不熟悉的问题转化为已经熟悉的问题， 因此，只有映射选择得好，才有利于问题的解决。 由此可见，方法也是转化思想的一个具体运用。例10：计算 （分析）：这里直接求未知元素有困难， 原象关系是式；考虑选择映射，这里是取对数，原象及关系就变成映象及关系，即 在*里去求未知元素的映象， 即在式里查对数表计算可得：，最后再通过反演（逆映射），这里就是查反对数表，求得未知元素。由本例可见，对数方法就是方法的典型运用， 它通过对数映射，把乘法转化为加法，除法转化为减法，指数幂运算转化为乘法运算，达到化难为易的目的。这个映射选得非常成功。数学里的换元法也是方法的具体运用。例11：解双二次方程解：设，则原方程变为解得：当时，得当时，得原方程有四个根：上述解题过程，可用方法的框图表示如下：注意这里选择的映射是换元， 这并不是一一映射，相应的反演应在广义下来看：。数学里的解几法、三角法、复数法、几何变换法、参数法等等也都可以看成是方法的具体运用。（八）交集法有许多数学问题，它的解是由几个条件决定的，每一个条件都可以定出某种元素的一个集合，它们的交集的元素就是我们所要求的解，利用求交集的方法来解决数学问题称为交集法。要找几个集合的交集， 常用如下办法： 一是先找出其中一个集合的元素，然后从中逐次剔除不在其它有关集合中的元素，剩下的就组成它们的交集。第二种办法是把各个集合都找出来后，再找它们的公共部分。几何作图中的交轨法就是用这方法。有时，要求出n个集合的交集， 还可先求出其中n-1个集合的交集，再求这个交集与剩下的一个集合的交集。例如：求函数的定义域。实际上就是求这三个不等式解集的交集。又如：已知求作。在作法过程中， 点的位置就是的一边（射线）与以点为圆心，为半径的圆的交轨。（九）笛卡尔模式方法这是一种将实际问题转化为数学问题，又将数学问题转化为代数问题，再将代数问题转化为解方程问题的方法。即“实际问题数学问题代数问题解方程问题”的模式。例12：已知五个相同正方形组成一个十字形的纸片（如图），如何切两刀，使其组成两个相同的正方形？解：设原来每个正方形的边形都为a，而新正方形的边长为，则有： 于是，就不难找到所求的切割方法了（见图），然后再拼成两个正方形（见图2）。（十）递推法对于某些有关自然数的数学问题，如果已知初始项，且对后面各项，可以寻找到递推关系， 则可由初始项递推获得所求的结果， 这种方法叫递推法。例13：平面上条直线，任两条不平行，任三条不共点，问这条直线把这平面划分为多少个部分？（分析）：记这条直线把这平面划分成个部分。 先用具体化特殊化的方法寻找规律，如图所示，易知的前几项分别为这些数字之间的规律性不很明显， 较难用不完全归纳法猜出的一般表达式。但我们可以分析前后项之间的递推关系，因为这些图形中，后一个都是由前一个添加一条直线而得到的，添加一条直线便增加若干个区域。先看第二、三个图形的关系， 第二图原有两条相交直线、 第三图再添一条直线，这条直线必与原有两条直线各有一个交点，这条直线就被两个交点分成三个区间，每个区间都把所在原来的区域一分为二，所以就相应比原来增加了3个区域，即，。一般地，设原来的符合题意的条直线把这平面分成个区域，再增加一条直线l，就变成条直线，按题设条件，这l必须与原有的条直线各有一个交点（因1与原有的条直线不平行）， 且这个交点及原有的交点互不重合（因任三线不共点）。这个交点把1划分成个区间，每个区间把所在的原来区域一分为二，所以就相应比原来增另