高考数学一轮复习 第二章 函数 2.8 函数模型及其应用课件.ppt

2 8函数模型及其应用 高考数学 考点函数模型及其综合应用1 指数函数 对数函数以及幂函数的变化特征指数函数 对数函数 幂函数的增长速度的比较 一般地 在区间 0 上 尽管函数y ax a 1 y logax a 1 和y xn n 0 都是增函数 但是它们的增长速度不同 而且不在同一个 档次 上 随着x的增大 y ax a 1 的增长速度越来越快 会超过并远远大于y xn n 0 的增长速度 而y logax a 1 的增长速度会越来越慢 因此 总会存在一个x0 当x x0时 有logax1 n 0 2 函数模型及其应用 1 常见的函数模型有一次函数 二次函数 指数函数 对数函数模型 知识清单 2 函数模型的应用实例的基本类型 给定函数模型解决实际问题 建立确定性的函数模型解决实际问题 建立拟合函数模型解决实际问题 3 函数建模的基本流程 建立确定性函数模型解决实际问题1 在现实生活中 有很多问题的两变量之间的关系是一次函数关系 对这类问题 可以构建一次函数模型 其增长特点是直线上升 自变量的系数大于0 或直线下降 自变量的系数小于0 有些问题的两变量之间是二次函数关系 如面积问题 利润问题 产量问题等 对这些问题 可以构建二次函数模型 利用二次函数图象与单调性解决 2 当两变量之间的关系不能用同一个关系式表示 而是由几个不同的关系式构成时 可以构造分段函数模型 先将其作为几个不同问题 将各段的变化规律找出来 再将其合在一起 要注意各段自变量的范围 特别是端点值 3 指数函数模型常与人口增长 银行利率 细胞分裂等相结合进行考 方法技巧 查 而对数函数模型常与价格指数 环境承载力等有一定的联系 应用指数函数模型或对数函数模型时 关键是对模型的判定 从而建立形如y a bx c d或y alogb cx d a 0 b 0 且b 1 c 0 的函数模型 再利用指数函数或对数函数的性质及函数图象来处理 例1 2016湖北荆州中学质检 9 我们处在一个有声世界里 不同场合 人们对声音的音量会有不同要求 音量大小的单位是分贝 db 对于一个强度为i的声波 其音量的大小 可由如下公式计算 10lg 其中i0是人耳能听到声音的最低声波强度 则70db的声音的声波强度i1是60db的声音的声波强度i2的 a 倍b 10倍c 10倍d ln倍 c 解析由 10lg得i i01 所以i1 i0107 i2 i0106 所以 10 所以70db的声音的声波强度i1是60db的声音的声波强度i2的10倍 故选c 例2 2017江苏南京 盐城一模 18 如图所示 某街道居委会拟在ef地段的居民楼正南方向的空白地段ae上建一个活动中心 其中ae 30米 活动中心东西走向 与居民楼平行 从东向西看活动中心的截面图的下半部分是长方形abcd 上半部分是以dc为直径的半圆 为了保证居民楼住户的采光要求 活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长ge不超过2 5米 其中该太阳光线与水平线的夹角 满足tan 1 若设计ab 18米 ad 6米 问能否保证题干中的采光要求 2 在保证题干中的采光要求的前提下 如何设计ab与ad的长度 可使得活动中心的截面面积最大 注 计算中 取3 解析如图所示 以点a为坐标原点 ab所在直线为x轴 建立平面直角坐标系 1 因为ab 18米 ad 6米 所以半圆的圆心坐标为h 9 6 半径r 9米 设 太阳光线所在直线方程为y x b 即3x 4y 4b 0 则由 9 解得b 24或b 舍 故太阳光线所在直线方程为y x 24 令x 30 得y 即eg 1 5米 2 5米 所以此时能保证采光要求 2 设ad h米 ab 2r米 则半圆的圆心为h r h 半径为r 解法一 设太阳光线所在直线方程为y x b 即3x 4y 4b 0 由 r 解得b h 2r或b h r 舍 故太阳光线所在直线方程为y x h 2r 令x 30 得y 2r h 由y 得h 25 2r 所以s 2rh r2 2rh r2 2r 25 2r r2 r2 50r r 10 2 250 250 当且仅当r 10时取等号 所以当ab 20米且ad 5米时 可使得活动中心的截面面积最大 解法二 易知当eg恰为2 5米时 活动中心的截面面积最大 此时点g的坐标为 30 2 5 设过点g的太阳光线所在直线为l1 则l1的方程为y x 30 即3x 4y 100 0 由直线l1与半圆h相切 得r 而点h r h 在直线l1的下方 则3r 4h 100 0 即