多项式插值与最小二乘拟合.ppt

2020 1 18 1 在科学与工程等实际问题中 其数据模型 由实验或测量所得到的一批离散数据 容易得到 那么 能否通过处理这些数据来建立连续模型呢 从而可以对模型有更全面的认识 下面我们以一维的问题来说明 根据寻找策略的不同 我们有插值问题和最佳平方逼近问题 为了得到的更多信息 我们首先要确定一个函数空间 在该函数空间中寻找的近似函数 插值与逼近 引言 2020 1 18 2 若要求满足 则相应的问题称为插值问题 上述条件称为插值条件 插值节点 则相应的问题称为离散型最佳平方逼近问题 最小二乘问题 我们还可以定义对函数的连续型最佳平方逼近问题 p x 插值函数 若要求使得 2020 1 18 3 定义1 设函数组 若向量组 线性无关 则称在点集上线性无关 定义2 设函数组 在 a b 上连续 若存在不全为零的数使得 则称在 a b 上线性相关 否则 称为线性无关 若中 任何有限个函数在 a b 上线性无关 则称为 a b 上的线性无关函数系 预备知识 2020 1 18 4 代数 多项式 插值问题最小二乘拟合问题 2020 1 18 5 代数 多项式 插值问题 1 概述 2 拉格朗日插值 3 分段插值 返回 2020 1 18 6 1代数插值概述 取函数空间为不超过n阶的多项式集合 这样的插值问题称为代数 多项式 插值问题 即求 使得如下插值条件成立 插值多项式 定理1 插值多项式存在并且唯一 证 存在性 有唯一解 即n 1个插值条件可以唯一的确定一个不超过n阶的插值多项式 唯一性 利用n阶多项式在复数域内至多有n个零点可证 2020 1 18 7 显然以作为在插值点处的近似值是有误差的 记 证 不妨设 做函数 多项式插值余项定理 定理2 设在上连续 在内存在 则 有 其中且依赖于 插值余项 2020 1 18 8 由罗尔定理可知 在 a b 内至少有一个零点 记作 即 得证 其中且依赖于 注 1 2 在实际计算时插值节点应尽量选在插值点x的附近 以使 尽可能小 3 对于不超过n次的多项式 其n阶插值多项式就是其本身 返回 2020 1 18 9 2拉格朗日 Lagrange 插值 定义 设n次多项式lj x 满足 则称之为拉格朗日插值基函数 利用待定系数法可得 从而可得满足插值条件的插值多项式 拉格朗日插值多项式 显然 在上线性无关 2020 1 18 10 线性插值 插值基函数 插值多项式 求满足插值条件的插值多项式 二次插值 抛物插值 求满足插值条件的插值多项式 插值基函数 插值多项式 2020 1 18 11 例1 已知数表 试用抛物插值求的近似值 解 选取最靠近2 05的节点x0 x1 x2为插值节点 计算可得 问题6 编程实现任意节点的拉格朗日插值多项式的计算 并画出插值节点和插值多项式 返回 2020 1 18 12 3分段插值 实例演示 取等分节点 分别用n 1 2 4 6 8 10时的多项式插值函数逼近f x 作图如下 问题7 通过调用编写的拉格朗日插值多项式函数实现本演示实例 2020 1 18 13 我们看到利用多项式插值函数逼近函数f x n小不行 n大也不行 这种现象我们称为龙格 Runge 现象 这是为什么呢 下面分析多项式插值余项的估计式 1 f n 1 x 的值 常常随n的增加呈指数级增长 比 n 1 快得多 2 的值 在的均值附近比较小 而在边界的附近随n的增加而增加 3 当n比较小时 说明在区间 a b 内取的节点少 以至于插值多项式不足以反映被插函数f x 的性态 通常 2020 1 18 14 一 分段线性插值 将 a b n等分 在每个小区间 xi xi 1 i 0 1 n 1 上 作线性插值 1 2 在每个小区间 xi xi 1 上为一个次数不高于1的多项式 分段函数 易见 3 可以证明 若则 数值稳定性好 计算简单 光滑性差 从而得 分段线性插值的定义 2020 1 18 15 分别用n 4 10的分段线性差值逼近函数 数值实验 作图演示 2020 1 18 16 1 s x 在每个小区间 xi xi 1 上 是次数不超过三的多项式 2 3 二 三次样条插值 给定 y f x 的数据 xi互异 问题的提法 确定函数s x 使 满足 1 2 的函数s x 称为三次样条函数 满足 1 2 3 的函数s x 称为三次样条插值函数 注 插值条件 2020 1 18 17 确定三次样条插值函数的条件 因为三次样条函数s x 的确定需要4n个条件 可以确定了4n 2个条件 所以还需补充二个条件 边界条件 由插值条件 及连续性条件 边界条件有以下三种 1 2 3 周期性条件 自然边条件 2020 1 18 18 故为 xi xi 1 上的线性函数 确定三次样条插值函数的三弯矩法 设 s x 在区间 xi xi 1 i 0 1 n 1 内为三次多项式 且 对进行两次不定积分 并由插值条件可得 1 由插值条件确定三次样条函数 2020 1 18 19 当时 所以 其中 2 推导三弯矩方程 2020 1 18 20 再由边界条件 可得 从而可以由 式求得 代入s x 的表达式可得三次样条插值函数 3 结合边界条件求解三弯矩方程 2020 1 18 21 构成方程组 1 综上所述 可得构造三次样条插值函数的算法如下 由 可得三对角方程组 其中 注 矩阵A和向量d中元素的计算表达式见前面 式 三弯矩方程 2 用追赶法求解上述三对角方程组 求得M 从而可得三次样条插值函数s x 2020 1 18 22 注 设 在小区间 xi xi 1 i 0 1 n 1 上由Hermite插值 可得三次插值函数si x 从而可得三次样条插值函数s x 利用连续性条件 再结合边界条件 可得关于三对角方程组 三转角方程组 三转角法 返回 2020 1 18 23 最小二乘拟合 1 问题的提出 2 线性最小二乘拟合 3 线性最小二乘拟合的求法 返回 2020 1 18 24 问题的提出 在实际问题中 往往会通过实验观测积累了一组数据 xi yi i 1 m 一般来说m比较大 如何从这批实验数据出发 寻求一近似函数P x 来逼近这组数据后面隐藏的函数关系y f x 事实上 由于观测数据数目较大 又往往带有观测误差 对于这类问题运用插值函数来逼近y f x 往往是不适当的 可不可以用插值函数来逼近呢 返回 2020 1 18 25 线性最小二乘拟合 已知一组离散数据 使得 要求一个函数 显然p x 可以表示成 下面考虑如何求系数 返回 2020 1 18 26 线性最小二乘拟合的求法 记 考虑多元函数 为了求得p x 只需求多元函数的极小值点即可 由多元函数极值的必要条件 可得 2020 1 18 27 若记 则有 其中 法方程或正规方程 容易验证 其中 注 2020 1 18 28 可以证明法方程存在唯一解 称 为最小二乘拟合和的误差平方和 注 该值越小 说明拟合效果越好 非线性最小二乘拟合的线性化 1 2 2020 1 18 29 例