解题中的常见数学语言障碍及应对策略——以“合理求解”向量小题为例.pdf

2 0 1 3 年4 月下旬 高中 解题 研究 向的单位向量为 一 而是不能将 向量b与向量 I c I I 4反向且 l b l 1 翻译成 b是与 口反向的单位向 量 例 2中多数学生不能识别符号语言的暗示功能 从而不能根据符号的暗示信息去选择更为合理的解 题策略 只能说是 顺利求解 而远没有达到 合理求 解 的要 求 应对策略 学生的数学语言识别能力往往依赖于 自然语言能力和他们对数学事实的理解程度 在学习 过程中学生往往在不理解数学符号的真正含义的基 础上对其进行了简单的机械记忆 记住的仅仅是几个 抽象的符号 这样在读题的过程中就会出现形式与内 容的脱节 即简约化的数学符号与其所表示的数学内 容相脱节 因此在教学中应该重视抽象符号的实质 多利用直观图形 实物作为符号理解的感性材料来丰 富学生的数学表象 另外还应充分揭示数学符号的数 学意义 对于数学符号中的关键点最好用贴近学生生 活实际的语言表述 帮助其 内化为熟悉的数学知识 这样才能帮助学生真正克服数学语言识别障碍 2 数学语言理解障碍 数学语言理解障碍是指学生在理解数学词语 数 学命题等数学语言信息时产生了困难 从而不能完全 理解数学语言并把握它们之间的关系 数学语言理解 障碍的显著特征是 不能正确理解数学符号 不能理 解各个数学语言信息块 不能正确理解数学语言信息 块之间的关系 例 3 2 0 0 9天津卷理 1 5 在四边形A B C D中 a g o d 1 1 B A 赢 赢 则四边形 A B C D的面积为 分析 本题中涉及的数学符号有向量 向量的模 向量的坐标 数学语言信息 块有 两个 信息块A 西 DC 1 1 表 明 四边 形 A B C D 为平行 四边形 如图 2 且A B D C 2 信息块 I I口C I C D B A 图 2 蔚 中 蔷 分 别 表 示 赢 方向相同的单位向量 综合两个信息块数量关系上易得 LA BC 6 0 中 小 学 数 I n 位置关系上可以看出B D是 LA B C的角平分线 所以 平行四边形 A B C D为菱形 一 一 厅 一 故s 日 边 AB CD B A B c s in 6 0 l2 2 J 3 评析 本题在条件表述上充分 合理的运用了向 量符 号语 言 简洁的两个 向量 关 系式既 刻画 了四边形 的形状 又 交代 了相 关边长 与 角度 可 以说是 向 量符 号语 言运用的一个 范例 但这 样的符号语 言 简约 而不 简单 正是由于数学符号的抽 象性造成 了学生阅读过 程的理解障碍 使得 学生不能正确理解题意 试题的 合理 求解 更是无从谈起 应对策略 抽象 精炼 是数学语言的特点 然 而许多学生正是由于对题 目关键字或句不理解或理 解有误 致使不能迅速进入问题情境进行有效思维 问题的症结就在于对数学语言的理解存在障碍 那么 如何才能克服这种障碍 笔者认为平时的教学中应注 意各种语言形态的互译训练 合理转换文字语言 符 号语言 图形语言 有效地使用三种语言形式去解决 数学问题 互译训练应从教师示范 学生模仿 学生试 译 教师帮助修正 直至学生独立完成为止 以向量为例常见的转换如下表 文字语言 图形语言 符号语言 行四边死 ABCD A 点C 是 穗 线段 A B p g 的 中 点 P B A 曰 C 赢 B t R 三 点共线 f 蔚 1 一 p g P 曰 4 点 C 在 P d l P 4 I p I P 口J A P 曰 l的 龟平分线上 t E o P 曰 43 I I 中 小 学 数学 解 题 研 究 2 0 1 3 4 月 下 旬 高 中 3 数学语言转换障碍 数学语言转换障碍是指学生在不同表述形式的 数学语言之间 或在不同模块知识之间的数学语言进 行转换时产生了困难 数学语言转换障碍主要体现在 图像语言 符号语言和文字语言相互转换的障碍上 例 4 三 角语 言 已知 在 AA B C中 A B 2 LB A C 6 0 LB C A 4 5 则 B C 一 向量语言 已知平面向量a b c 满足a b C 0 且 a与 b的夹角为 1 3 5 C 与 b的夹角为 1 2 0 I c I 2 则 I a I 一 解 析 如 图 3 由正 弦 定 理 得 A s i n BC A 故 曰 c C 图 3 评析 例 4是典型的同一数学内容的两种不同表 述形式 笔者在所任教的班级让学生先后做过上述两 种语言描述的同一个题 如大家所料结果大相径庭 三角版本 的正确 率要 远远 高于 向量版本 究其 原因是学生存在数学语言转换障碍 不能从一种表述 顺利过渡到另一种表述 无法将 a b c 0与A 百 B C O 联 系起来 主动的构造三角形实现两种表 述之间的合理转换 可见 向量 外衣 对试题内容的 合理转换起 干扰作 用 下面我们来看一个不同模块知识间的数学语言 转换 的例子 例 5 如图4 在等腰 R t AA B C中 A C B C 1 点 肘 分别是 A B B C的中点 点 P是 AA B C 包括边 界 内任一点 则A M户的取值范围为 4 4 M 图 4 J l A 肘 口 图 5 解析 以 为原点 A B所在的直线为 轴建立直 角坐标系 如图5 设 P x y 则 A 一 0 曰 0 c 0 譬 譬 字 A N 半 譬 3 Y 至此问题转化为在可行域 AA B C 包括边界 内 f4 求线性目标函数 3 x Y 的取值范围 易 得 点P 为 一 o 1 时 取 得 最小 值 一 点 P 为 孚 0 时 取 得 最 大 值 故 的 取 值 范 围 为 一 3 评析 一个简单的线性规划问题 穿上了向量 外 衣 后 使得 试题 的整体难度得 以提升 首先要通过建 系设点 实现 形 到 数 的转换 其 次还要将 向量数 量积 问题转化 为线性规 划 问题 实现 不 同模 块知 识之 间的转换 而这些转换是 否合理 准确是解题 的关键 应对策略 例4的求解过程是将符号语言图形化 而例5的实质则是将图形语言符号化 要 提高学生 的数学语言转换能力 笔者认 为解决 好 数 与 形 的转换最为关键 当前 高中数学教学 对图形语 言 向符 号 语言 转化 重 视 明显不 够 训 练较 少 学生对此种问题处理的方法和能力还很欠缺 如 例 5 今后的教学应加强这方面的训练 来培养学生 的抽象概括能力 而对于符号语言转化为图形语言 教学中我们却很在意 训练的也相对到位 几乎所有 围绕数形结 合思想 的训 练都集 中在 这上 所 以 此种 能力的训练应讲究方法 不搞题海战 4 数学语言组织障碍 数学语言组织障碍是指学生在接收数学语言信 息时不能有效地进行筛选 整合 贮存等加工过程 数 学语言组织障碍的显著特征是 不能筛选出有关数学 语言特征的信息 审题发生困难 不能分析出数学语 言之间的联系 不能明确解决问题的思路 得出解决 问题的方法 例6 如图6 在平面四边形A B C D中 若A C 3 B D 2 则 A d 蔚 2 0 l 3 年4 月下旬 高中 解题研 究 解析 A 百 DC 赢 商 赢 赢 B D AC BD 蔚 l I 一 l 蔚 l 5 D 曰 图 6 评析 图形 因其直观性往往对解题是有益的 而 本题却不然 多数学生读完题后注意力往往都会被 四 边形A B C D所吸 引 在四边形A B C D上寻找解题思路 有的同学甚至会去分析图形中的边角关系 由于不能 正确 筛选出关键信 息致使 题 目无 法顺利 求解 这是典 型的数学语言组织障碍 而本题正确寻求解题思路的 途径应该是 认真观察通过符号语言给出的条件与结 论 将条件与结论统一 化窟 为 蔚 可 见 并 不是所有图形对解题都是有益的 本题 中的图形对有 效筛选有关数学语言特征信息起干扰作用 例 7在 AA B C中 百 A e A 矗 c 房 4 则 边 A B的长等于 一 解析一 A g 商 4 得b c c o s A a c c os B 4 b c o s A ac o s B 由正弦定理 得 s i n B c o s A s i n A c o s B 0 所 以 s i n A B 0 因为 一1 T A B 竹 所以A B 0 a b 而 商 之 二 4 ac 故 a c 一b 8 C 2 8 即 A B 2 评析 笔 者在所 任教 的班级 做过 问卷 调查 本题 虽然没有象例 3那样给 出图形 但是读到 在 AA B C 中 这一条件时所有同学都画出了 AA B C 并把边和 角标注在图形当中 将向量的数量积转化为三角形中 的边角关系 接着运用正 余 弦定理 类似于法一 来 求解 因为在同学们眼中这是 常规 解法 解题时必 须要画图 以形助数 正是在这种根深蒂固的 习惯行 中 小学 数学 为 的指导下 数学符号的变形被弱化 和例 6 一样 向量的拆分与合并被一部分同学视为了 技巧 所以 只有个别同学采用了下面更为合理的解法 解 析 二 由 商 栖 一 即 2 窟 8 故I 矗 2 通过上面两个例子可以看出不仅仅是 显性 的 图形影响数学语言信息的筛选 整合 再加工 隐性 的图形也同样如此 它们都对有效捕捉关键解题信息 起干扰作用 影响试题的 合理求解 应对策略 重视数学语言简单化训练 培养快速 收集 筛选和处理数学信息能力是克服数学语言组织 障碍的有效途径 而数学信息的收集主要靠审题 所 以养成好的审题习惯是非常必要的 解题时应从头到 尾将试题通读一遍 读的过程中 既看条件又要看结 论 既看整体又要看部分 明确问题的目标 在此基础 上 仔细搜寻 捕捉 收集题中的信息 抓住关键字句 理解本质含义 阅读过程 中 将信息 中的概念 条件 符号 数量 公式及方法等 通过联想将其转化到相关 知识 中去 数学语言障碍的产生是非常复杂的 彼此之间又 是相互联系的 通常一种障碍的产生是其它几种障碍 同时作用的结果 因此 很难