解题过程的正确性源于数学理解的准确性--解析几例“等价变形”.pdf

解题过程的正确性源于数学理解的准确性 解析几例 等价变形 江苏省海州高级中学 刘希栋 在解决含 型的问题时 将数学式子两边平方 是常见的一个变形 但由于 与 不等 价 因此关注变形前后数学式子的等价性往往都引 起师生的关注 但教学实践中发现 如何准确把握其 中的等价性 师生在行为方面常常落后于意识方面 宏观层面 的情况时有发生 究其原因 不难发现 关键在于没有精准弄清这种变形中造成等价性的具 体所在 微观层面 而这正是教学应关注之处 本文 拟对发生在高中教学实践与研究中的几个问题加以 解析 以期对 等价性 教学有所帮助 教师的困惑 对于问题 若直线 与曲线 有且仅有两个公共点 则实数 的取值范围是 正确答案 文 对下面的解法感到困惑 直线 与曲线 有且仅有两 个公共点 方程组 有两个不同实数 解 方程 有两个不同实数解 方 程 在 内有两个不同 的解 令 则问题就转化为 函数 的图象在 内与 轴有两个交点 结合图象知 应选 解析 将 两边平方 谁的取 值范围会变化 唯有 故上述解题中 方程 有两个不同的实数解 方程 在 内有两个不同的解 这一步 是错的 应该是 方程 有两个不同的实数 解 有两个不同的解 即 在 内有两个不 同的解 这样可令 将问题转化 为函数 的图象在 内与 轴有两个不 同的交点 结合图形知 得 或 故 选 需要说明的是 方程 即 只要该方程有两个不同的实数解 由 于自身隐含 其解必都在 内 刻意标注 两个实数解都在 内 既会 干扰 又是多余 在解题过程中 方程变形的这一步 不要省去 其次 方程两边平方导致 与 不等价 务 必注意一定利用 这一限制因素 学生的不足 文 从不同途径 活用解题理论 研究问题 年全国高中数学联赛第 题 函数 的值域 片断如下 拟定计划 教师 函数与方程有着紧密的联系 能否对此提 中学数学杂志 年第 期 出你的思考 学生 以前我们经常将分式函数值域问题转化为 一元二次方程有解的问题 用判别式法解决 本题平方 后未知数的次数正好是二次 我觉得可以试一试 实现计划 学生 等价于 第一个式子两边平方整理得 若 则 此时 成 立 若 则 即 得 或 检验 当 时 当 时 所以函数的值域为 解题回顾与解题感受 学生 上述求解是将函数转化为方程 但要特别 注意变形前后的限制范围 否则问题可能不等价 因 此学习过程中我们必须养成细心谨慎的习惯 解 析 从 等 价 于 变形中可以看出学生对等 价变形谨慎有余 这一步变形是去分母 应该是 等 价 于 注 意 到 也就是 等价于 平方后等价变形为 即 存在 满足 或 前者解得 后者为 或 注意到 解得 或 且 综上可得 的取值范围是 此即函数的值域 学生 检验 阶段可以理解为依据原始式子 但显得粗糙不足 滑过的教学 文 中用 利用方程有解条件法 求函数值 域 引发学生创新 主观意识是值得肯定的 但例 解题 过程 留下遗憾 摘录如下 例 求函数 的值域 解 此函数定义域是 设 则 原函数式可化为 视为关于 的方程 它等价于 即 设 其对称轴为 关于 的方程 在 上有解的充要条件是 或 解得 所求函数的值域为 中学数学杂志 年第 期 解析 上述所求值域的结论是正确的 但过程 错了 错在认为 关于 的方程 在 上有解 的充要条件是 或 实际上 上述不等式组求解的情况是这样的 由 可得 由 可得 故 与 的并集是 认为本题中对称轴 应该位于区间 是导致错误产生的原因之一 其实 研究方程 在 上有解的充要条件必须解决好 这 个问题 这也是本题用 利用方程有解条件法 求值 域关键所在 正确解法 方程 在 上有解的充要条件 是 时先用求根公式解方程求出 或 解 时 可先解 进而求得 解 时 可先解 进而 求得 与 的并集是 所求函数的值域为 结语 诚如文 所言 数学教学是一个既要 结果 更要 过程 的思维活动 数学解题要从引 导学生主动拟定解题方案开始 独立思考 自主实 践 合作交流 探究问题的解答 发现并矫正解题过 程中的错误 是一种深刻的思想教育和行为规范 有 利于培养学生数学思维的严谨性 提高学生参与的 积极性 同时让学生体验数学学习的 快乐 参考文献 汪仁林 争鸣 问题 数学通讯 下 李红春 活用解题理论打造高效课堂 中学数学 高中 版 蔡永明 在求函数值域的教学中引发学生创新 中学 数学教学 方程根的解法探究 山东省邹平县第一中学 赵中华 题目 已知函数 求函数 在 上的 最小值 对于正实数 方程 有唯一实 数根 求 的值 这是高三周测试题 对于第 问学生都能掌 握 第 问能做完整的学生却寥寥无几 但是呈 现了学生从不同思维角度的三种常见解法 笔者将 过程整理如下 解 略 解 法 作 差 构 造 函 数 考 虑 方 程 有唯一实数