计算含三角函数无穷积分的新方法.pdf

第3 0 卷第2 期 2 0 1 1 年2 月 大学物理 C O L L E G EP H Y S I C S V 0 1 3 0N o 2 F e b 2 0 1 1 编者按 2 0 1 0 年7 月3 1 日一8 月2 日在北京召开了 2 0 1 0 年两岸三地高等学校物理教育学术研 讨会 会议由两岸三地高校物理教师组成的组织委员会主持 有2 7 位台湾地区老师 5 位港澳地区 老师 1 5 0 多位内地老师参加 是两岸三地高等学校物理教学界的一次大聚会 在两岸三地的文化教 育交流史上留下了浓重的一笔 会后 在中国物理学会物理教学委员会和教育部高等学校物理学与天文学教学指导委员会主持 下 召开了 物理 大学物理 物理实验 物理与工程 现代物理知识 5 刊编辑部联席会议 商定由两个委员会确定一个 两岸三地物理教育研讨会 报告遴选小组 从8 3 份大会 分会报告中挑 选出一些优秀的稿件 推荐给各刊按程序审稿后发表 由本期开始将陆续刊登推荐给本刊的文章 计算含三角函数无穷积分的新方法 吴崇试 北京大学物理学院 北京1 0 0 8 7 1 摘要 在留数定理及J o r d a n 引理的基础上 提出了一个新的引理 进而发展了计算含三角函数无穷积分的一种新方法 作 为应用 计算了几个典型的含三角函数的无穷积分 关键词 含三角函数无穷积分 解析函数 围道积分 留数定理 中图分类号 O4 1 1 1文献标识码 A文章编号 1 0 0 0 0 7 1 2 2 0 1 1 0 2 0 0 5 3 0 5 1 对一般做法的分析与讨论 在一般数学物理方法教材1 13 中都有关于如何应 用留数定理计算 lQ 互 s i np x d x J 一 与 f Q 菇 c o sp x d x p O J 一 的讨论 通常的做法都是采用半圆形围道计算复变 积分 Q e i p z d z 这种做法的优点是 只要Q z 在 JC 上半平面的范围内 0 a r gz 1 T 当 一 时一致地 趋于0 则根据J o r d a n 引理就能判断 l i mfQ 二 一oJC o e t p z d z 0 当然Q 还需要满足其他要求 本文假设 全都满足 但具体内容不再一一罗列 值得提到 通 常教材中都会强调 在构造复变积分时 不应简单地 Y 厂 R o R x 图1 半圆形围道 将实函数Q 戈 s i np 戈或Q 茗 C 0 p x 延拓为Q z s i n 肜或Q z C O S p z 原因是s i n 弘与C O Sp z 中含有e 一 其模在上半平面的范围内趋于 而非趋于0 因而 为处理沿C 的积分带来一些困难 应该说 这种分 析讨论有助于我们理解选择复变积分的思路 但绝 不可以将上面提到的困难绝对化 更不应该引申出 不正确的结论 例如 因为z 是s i n 弘或C O I lp z 的 收稿日期 2 0 1 0 1 0 1 2 作者简介 吴崇试 1 9 3 8 一 男 江苏泰州人 北京大学物理学院教授 博上生导师 一直从事理论物理的教学和科学研究工作 万方数据 5 4 大学物理第3 0 卷 本性奇点 当z 按不同方式逼近a 时 s i n 胪或C O Sp z 可以逼近不同的值 或者说 一 时s i np 和C O Sp z 的极限均不存在 这些说法无疑是正确的 但是 我 们就不能得出 舰J Q z s i nP 彳出l i m J Q 孑 4 JC C C O Sp z d z 不存在 的臆断 理由是 如果以R 为半径 作圆 只要尺足够大 在圆外除 外别无奇点 则 i m Q z e l p z d z 一定存在 而根据J o r d a n 引理又 可以断定 l i mJ Q z e l p z d z 0 叶蕾Jc 血 式中G 为位于下半平面的半圆弧这说明l i mIQ z 月 JC R e 2 d z 也一定存在 因而l i mIQ s i np z d z 或 月一 JC R i mf Q 彳 c o sp z d z 也都存在 唯一不同的是 这里 一 JC 月 需要要求Q z 在下半平面的范围内 仃 a r g 2 a x 当z 一 时一致地趋于0 基于这一思想 本文将提出应用留数定理直接 计算围道积分 Q z s i np z d z 与 q z C O Sp z d z 的 切实可行性 我们将看到 就其基本精神而言 这一 做法与传统做法并不相悖 但应用这一方法 在计算 某些积分时可能更加简单 为此目的 需要建立一个 新的引理 见第二节 它是留数定理与J o r d a n 引理 相结合的产物 第三节中就应用这种方法计算几个 积分 最后在第四节给出一个简要的结论 2 补充引理 补充引理设函数Q 三 只有有限个奇点 且在 下半平面 一百 a r gz 0 或竹 a r gz 2 7 r 的范围 内 当 时一致地趋近于0 则 舰J e 咖把2 盯 五瑚眦 e i p 1 其中p 0 C 是以原点为圆心 R 为半径的半圆弧 位于上半平面内 证以原点为圆心 R 为半径作圆I 石I R 按照 题设 只要R 足够大 则有 书 Q z e i p z d z 2 1 T i1 r e Q z e 一瞬 J 月厢 因此 同样也有 驯 e 劫拯2 霄i 磊他s e i p z 另一方面 如果将此圆周的位于下半平面内的半圆 弧记为c 则由J o r d a n 引理有 l i mJ Q e J p z d z 0 两式相减 即可证得 i mfQ z e i p z 出 2 x r i 罗r e s Q e 恤 R 一9Jc R 缔 证毕 讨论 关于这个补充引理的内容 有几点值得 注意 1 对于函数Q z 只要求它在下半平面的范 围内一致地趋于0 至于它在上半平面范围内的行 为 并无类似的要求 2 沿半圆弧C 积分的极限值 不只涉及上半平 面内的奇点 也涉及下半平面内的奇点 3 本引理的最后结果也可表述为 i mJ Q z e l P z d z 2 1 r i r e s Q z e 1 严 一 JC R 在下面的讨论中 有时还会用到另一个引理 设八z 在 点的邻域内连续 当0 a r g 0 z 一 时 砜 一致地趋近于K 则 i ml 八二 d gi K 0 0 R 一 JC P c 是以原点为圆心 R 为半径 夹角为口 一p 的圆弧 R 0 a r g 0 见图2 为了叙述的方便 我 们把这个引理称为大圆弧引理 有关证明在不少教 材旧1 中都可以找到 从略 3举例 D 图2 大圆弧引理中的积分路径 现在就可以应用此补充引理讨论几个例题 例l 计算积分f 些害以 J 0茗 按照传统方法 应当考虑复变积分 书 二掣d 而且围道c 还应当绕过被积函 JC Z 数的一阶极点z 0 见图3 现在采用本文的新做 法 直接考虑复变积分书竺 出 积分围道C 为图1 jc z 中的半圆形围道 请读者注意 对于现在选取的被积 万方数据 第2 期吴崇试 计算含三角函数无穷积分的新方法 5 5 y 厂 l厂 7 咄 6D6胄x 图3 绕过 0 点的半圆形围道 函数 z 0 为可去奇点 故积分路径无需绕过彳 0 点 于是 因为在积分围道内无奇点 所以根据留数 定理 或C a u c h y 定理 就得到 手 孚拓 芋岍 芋拓 令R 一 则有 L 芋把一觏 芋虹 n m 熹 2 i c 兰掣出 恕扎塑等出 根据J o r d a n 引理 有 舰J 芋d 三 鲤J 笋出 同时 根据上面刚刚证明的补充引理 又有 鲤 f 芋出 2 霄i r e s 芋 删 2 霄i 譬 i 恕 靠 i 3 1 出嘲i i 3 z 脚 2 1 r i 掣 一9 百i 由此即可求得 L 芋把丽1 0 O 3 t r i 9 r r i 孚 亦即 f 芋虮孚 例2 计算积分f 堕譬以 n 1 2 3 如果采用传统方法计算此积分 困难就出现在 如何寻找出合适的复变积分书丛拿出 考虑到 s 甜 可e e u 丽1 熹 协m 埘h 所以应当取 M 警 ei n 2t 2 tci n 2k t0 出 以二 一 z I ln 而g z 为多项式 最高不超过n 一2 次 为了满足z 0 是八z z 8 的一阶极点的要求 就能定出 g z 与 一i 蔫揣 呈c 一产 2 m 埘 2 l P 1 n 2 m 一 羔 簖 熹 1 2 m 1 2 I 2 2 z 甜 n 2 n l 冉选择围逼C 如图2 则按 应用留数定理计算足 积分的标准步骤就能算出所求的积分 读者大体可 以估计到这一过程计算量的大小 但如本文现在提 出的办法 则只需直接计算复变积分书坐0 出 手 芋她 芋 J f 芋出 Jc zJ RX Jc z C 仍为图1 中的半圆形围道 令R 则有 芋把一恕J s i n n z 把 一州l i m2 1 三矿 毒 字出 当2 k n 0 即k n 1 2 时 根据J o r d a n 引理 或大圆弧引理 有 l i r af e i 2 k n z 出 o R Jc R 当2 k n 0 下J 一 i r 一出 D 这时仍然只需要计算积分书竺蔓警 竽垒出 JCZ n 而积分围道仍为上半平面内的半圆形围道 重复上 面的计算过程 就能得到 f 竺笔半以 J 一 茗一口 一l i mf节cos2 a c o s2 z d z 月 JC P 彳 一口 一舰J 等曲舰J 等拓 一恕J 等机山1 F 1 可e c 2 z e t 2 出 恕 南把 舰 高她 蚍 妄虹2 小 r e s 蓦H 2 r r s i n 2 n 于是我们就求得 大圆弧引理 J o r d a n 引理 补充引理 f 幽竺 竺 戈 卫 i n2 n22 J 一 z 一口 o 亦即 堂等笋型虮扣2 Jo 名2 一a 2 4 在以上3 个例题中 应该说 无论采用传统的做 法或是本文的做法 都能算出所要求的定积分 但 是 不同的做法 被积函数不同 积分围道也不同 计 算的简繁程度也有所不同 至少就这3 个例题而言 由于被积函数的构造与积分围道的选取都相对简 单 因而本文的做法看来要更容易一些 当然 我们 也不要把这一结论绝对化 可以想象 如果涉及 成 对 的含三角函数的积分 例如f 卫 磐出 J l 十Z 十戈 与 一 嚣以 采用传统做法 即采用半圆形围 d i z 道计算 三 i d z 来得更简便 JCl Z Z 在某些情况下 将本文的做法与传统做法结合 起来 可能是更好的选择 例如 见下面的例子 例4 计算积分f 型菩c o sm x d 戈 n m 均为正 J 一 戈 整数 仍采用上半平面内的半圆形围道c 计算积分 竺 e t t a z d 二 因为在积分围道内无奇点 所以 书半e 眦把f 8 半e 嘶叭 jc zj Rz f 哗e i m 他 o 令R 一 即得 J f 芋e 砒把 舰 了s i n n z e 妊 叫l i m2 1 L 矿 乏n 一 竿川4 下面需要区分3 种情况 1 m 凡 1 此时式 4 中的k 0 项不为0 容 易算出相关的积分值 但是 在此条件下 还不如从 头计算 L 警c o s 础 丁1 s i n 戈2 x 船J 一 戈ZJ 一曲 戈 丁1 半把詈 5 a 2 m 凡 2 此时恒有2 k n m 0 根据J o r d a n 引理 2 k n m 0 时 或大圆弧引理 2 k n m 0 时 一定有 f 哗 一d 并 0 万方数据 第2 期吴崇试 计算含三角函数无穷积分的新方法 5 7 取实部 即得 f 竺 c o s m 戈d 算 o 5 b 3 O m 0 的项仍无 贡献 因此 f 哗e 沌把蜘f 哗e 一把 J 一 戈 Jc P 4 志H 了ei 2k n m zliraf o g 把 一 高丢 广 了出 一番 a 丢 m 胆3 镒 a cn m 2k2i1k 岛 n 一 J L 而o f fH 攀 r T n m 一而 缸1面币乏 T 以 比较实部 又可得到 1 芋c o s 删戈 丽 I T 静 竽一矗 1 5 c 丽乏 川竽以 5 c 当然 对于本例题中的积分 也还可以选择复变积分 为 6 兰竿c o sm z d z 在效果上就是多算了一个 些 e d z 作为比较 读者也不妨尝试 纯粹采用 传统做法计算 可以预料 这时被积函数的选取 会 比例2 还要复杂 4 简短的结论 本文在留数定理以及大圆弧引理的基础上 证明了一个新的引理 提出了计算含三角函数无 穷积分的一种新办法 几个典型实例的计算表 明 这种做法中被积函数的构造与积分围道的选 取相对简单 从而证明了它的切实可行性与简便 性 不失为原有做法 即将三角函数更改为指数 函数 的有效修改与补充 然而 在某些情况下 特别是要求 成对 计算含三角函数的无穷积分 时 尽管原则上仍然可以应用本文的方法计算 但因为要独立计算两个围道积分 反而失去了计 算的简便性 有时将本文的做法与原有做法结合 起来 可能是更理想的选择 总之 我们需要把握 留数定理计算定积分的基本精神 针对所要算的 定积分 灵活选择围道积分 参考文献 1 梁昆淼 数学物理方法 M 北京 高等教育出版社 1 9 9 8 7 6 2 吴崇试 数学物理方法 M 北京 北京大学出版社 2 0 0 5 2 7 N e wa p p r o a c ht oe v a l u a t ei n f i n i t ei n t e g r a l si n v o l v i n gs i n ea n d n C O S l n eI U n C t l o n s W UC h o n g s h i S c h o o lo fP h y s i c s P e k i n gU n i v e r s i t y B e i j i n g1 0 0 8 7 1 C h i n a A b s t r a c t B a s e do nt h er e s i d u et h e o r e ma n dt h eS O c a l l e dJ o r d a n Sl e m m a an e wl e m m ai sp r o p o s e dt ot r e a t i n t e g r a l sa l o n ga na r co fi n f i n i t e l yi n c r e a s i n gr a d i u s Am o d i f i e da p p r o a c hi