高考数学一轮复习 第九章 导数及其应用 9.3 导数在实际问题中的应用及综合应用课件.ppt

高考数学 江苏省专用 9 3导数在实际问题中的应用及综合应用 2016江苏 17 14分 现需要设计一个仓库 它由上下两部分组成 上部的形状是正四棱锥p a1b1c1d1 下部的形状是正四棱柱abcd a1b1c1d1 如图所示 并要求正四棱柱的高o1o是正四棱锥的高po1的4倍 1 若ab 6m po1 2m 则仓库的容积是多少 2 若正四棱锥的侧棱长为6m 则当po1为多少时 仓库的容积最大 a组自主命题 江苏卷题组 五年高考 于是仓库的容积v v柱 v锥 a2 4h a2 h a2h 36h h3 m3 其中00 v是单调增函数 当2 h 6时 v 0 v是单调减函数 故h 2时 v取得极大值 也是最大值 因此 当po1 2m时 仓库的容积最大 考点导数在实际问题中的应用及综合应用1 2015课标 改编 12 5分 设函数f x ex 2x 1 ax a 其中a 1 若存在唯一的整数x0使得f x0 0 则a的取值范围是 b组统一命题 省 区 市 卷题组 答案 解析由f x0 1 则a 令g x 则g x 当x 时 g x 0 g x 为增函数 要满足题意 则x0 2 此时需满足g 2 0 g x 为增函数 当x 0 1 时 g x 0 g x 为减函数 要满足题意 则x0 0 此时需满足g 1 a g 0 得 a 1 满足a 1 评析本题主要考查导数的应用及分类讨论思想 分离参变量是解决本题的关键 本题综合性较强 属难题 2 2015安徽 15 5分 设x3 ax b 0 其中a b均为实数 下列条件中 使得该三次方程仅有一个实根的是 写出所有正确条件的编号 a 3 b 3 a 3 b 2 a 3 b 2 a 0 b 2 a 1 b 2 答案 解析设f x x3 ax b 当a 3 b 3时 f x x3 3x 3 f x 3x2 3 令f x 0 得x 1或x2时 f x x3 3x b 易知f x 的极大值为f 1 2 b 0 极小值为f 1 b 2 0 x 时 f x 故方程f x 0有且仅有一个实根 故 正确 当a 0 b 2时 f x x3 2 显然方程f x 0有且仅有一个实根 故 正确 当a 1 b 2时 f x x3 x 2 f x 3x2 1 0 则f x 在 上为增函数 易知f x 的值域为r 故f x 0有且仅有一个实根 故 正确 综上 正确条件的编号有 评析本题考查方程的根 函数的零点 利用导数研究函数的单调性和极值 考查推理运算能力 3 2017课标全国 文 21 12分 已知函数f x lnx ax2 2a 1 x 1 讨论f x 的单调性 2 当a 0时 证明f x 2 解析 1 f x 的定义域为 0 f x 2ax 2a 1 若a 0 则当x 0 时 f x 0 故f x 在 0 单调递增 若a0 当x 时 f x 0 当x 1 时 g x 0时 g x 0 从而当a 0时 ln 1 0 即f x 2 4 2017天津文 19 14分 设a b r a 1 已知函数f x x3 6x2 3a a 4 x b g x exf x 1 求f x 的单调区间 2 已知函数y g x 和y ex的图象在公共点 x0 y0 处有相同的切线 i 求证 f x 在x x0处的导数等于0 ii 若关于x的不等式g x ex在区间 x0 1 x0 1 上恒成立 求b的取值范围 解析本小题主要考查导数的运算 导数的几何意义 利用导数研究函数的性质等基础知识和方法 考查用函数思想解决问题的能力 1 由f x x3 6x2 3a a 4 x b 可得f x 3x2 12x 3a a 4 3 x a x 4 a 令f x 0 解得x a 或x 4 a 由 a 1 得a 4 a 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以 f x 的单调递增区间为 a 4 a 单调递减区间为 a 4 a 2 i 证明 因为g x ex f x f x 由题意知所以解得所以 f x 在x x0处的导数等于0 ii 因为g x ex x x0 1 x0 1 由ex 0 可得f x 1 又因为f x0 1 f x0 0 故x0为f x 的极大值点 由 1 知x0 a 另一方面 由于 a 1 故a 1 4 a 由 1 知f x 在 a 1 a 内单调递增 在 a a 1 内单调递减 故当x0 a时 f x f a 1在 a 1 a 1 上恒成立 从而g x ex在 x0 1 x0 1 上恒成立 由f a a3 6a2 3a a 4 a b 1 得b 2a3 6a2 1 1 a 1 令t x 2x3 6x2 1 x 1 1 所以t x 6x2 12x 令t x 0 解得x 2 舍去 或x 0 因为t 1 7 t 1 3 t 0 1 因此 t x 的值域为 7 1 所以 b的取值范围是 7 1 思路分析 1 求出函数f x 的导函数及极值点 通过列表判断函数的单调性 求出单调区间即可 2 i 对函数y g x 和y ex求导 根据已知条件得方程组解方程组可得出f x0 0 ii 不等式g x ex在区间 x0 1 x0 1 上恒成立 由ex 0 可得f x 1 根据 1 可知f x f a 1在 a 1 a 1 上恒成立 由f a 1 得b 2a3 6a2 1 1 a 1 利用导数即可求出b的取值范围 5 2017浙江 20 15分 已知函数f x x e x 1 求f x 的导函数 2 求f x 在区间上的取值范围 解析本题主要考查函数的最大 小 值 导数的运算及其应用 同时考查分析问题和解决问题的能力 1 因为 x 1 e x e x 所以f x e x x e x 2 由f x 0 解得x 1或x 因为 又f x 1 2e x 0 所以f x 在区间上的取值范围是 6 2017天津理 20 14分 设a z 已知定义在r上的函数f x 2x4 3x3 3x2 6x a在区间 1 2 内有一个零点x0 g x 为f x 的导函数 1 求g x 的单调区间 2 设m 1 x0 x0 2 函数h x g x m x0 f m 求证 h m h x0 0 3 求证 存在大于0的常数a 使得对于任意的正整数p q 且 1 x0 x0 2 满足 解析本小题主要考查导数的运算 利用导数研究函数的性质 证明不等式等基础知识和方法 考查函数思想和化归思想 考查抽象概括能力 综合分析问题和解决问题的能力 1 由f x 2x4 3x3 3x2 6x a 可得g x f x 8x3 9x2 6x 6 进而可得g x 24x2 18x 6 令g x 0 解得x 1或x 当x变化时 g x g x 的变化情况如下表 所以 g x 的单调递增区间是 1 单调递减区间是 2 证明 由h x g x m x0 f m 得h m g m m x0 f m h x0 g x0 m x0 f m 令函数h1 x g x x x0 f x 则h1 x g x x x0 由 1 知 当x 1 2 时 g x 0 故当x 1 x0 时 h1 x 0 h1 x 单调递增 因此 当x 1 x0 x0 2 时 h1 x h1 x0 f x0 0 可得h1 m 0 即h m 0 令函数h2 x g x0 x x0 f x 则h2 x g x0 g x 由 1 知g x 在 1 2 上单调递增 故当x 1 x0 时 h2 x 0 h2 x 单调递增 当x x0 2 时 h2 x 0 h2 x 单调递减 因此 当x 1 x0 x0 2 时 h2 x h2 x0 0 可得h2 m 0 即h x0 0 所以 h m h x0 0 3 证明 对于任意的正整数p q 且 1 x0 x0 2 令m 函数h x g x m x0 f m 由 2 知 当m 1 x0 时 h x 在区间 m x0 内有零点 当m x0 2 时 h x 在区间 x0 m 内有零点 所以h x 在 1 2 内至少有一个零点 不妨设为x1 则h x1 g x1 f 0 由 1 知g x 在 1 2 上单调递增 故00 故f x 在 1 2 上单调递增 所以f x 在区间 1 2 上除x0外没有其他的零点 而 x0 故f 0 又因为p q a均为整数 所以 2p4 3p3q 3p2q2 6pq3 aq4 是正整数 从而 2p4 3p3q 3p2q2 6pq3 aq4 1 所以 所以 只要取a g 2 就有 思路分析 1 求出函数f x 的导函数g x f x 8x3 9x2 6x 6 求出使导函数为零的x的值 通过列表求出单调区间即可 2 由h x 推出h m h x0 令函数h1 x g x x x0 f x h2 x g x0 x x0 f x 求出导函数h1 x h2 x 由此可推出h m h x0 0 3 对于任意的正整数p q 令m 函数h x g x m x0 f m 由 2 可推出h x 在 1 2 内至少有一个零点 结合 1 可得 进而得到 2p4 3p3q 3p2q2 6pq3 aq4 1 最后推出结果即可 7 2017山东理 20 13分 已知函数f x x2 2cosx g x ex cosx sinx 2x 2 其中e 2 71828 是自然对数的底数 1 求曲线y f x 在点 f 处的切线方程 2 令h x g x af x a r 讨论h x 的单调性并判断有无极值 有极值时求出极值 解析本题考查导数的几何意义和极值 1 由题意f 2 2 又f x 2x 2sinx 所以f 2 因此曲线y f x 在点 f 处的切线方程为y 2 2 2 x 即y 2 x 2 2 2 由题意得h x ex cosx sinx 2x 2 a x2 2cosx 因为h x ex cosx sinx 2x 2 ex sinx cosx 2 a 2x 2sinx 2ex x sinx 2a x sinx 2 ex a x sinx 令m x x sinx 则m x 1 cosx 0 所以m x 在r上单调递增 因为m 0 0 所以当x 0时 m x 0 当x0 当x 0时 h x 0 h x 单调递减 当x 0时 h x 0 h x 单调递增 所以当x 0时h x 取到极小值 极小值是h 0 2a 1 2 当a 0时 h x 2 ex elna x sinx 由h x 0得x1 lna x2 0 当00 h x 单调递增 当x lna 0 时 ex elna 0 h x 0 h x 0 h x 单调递增 所以当x lna时h x 取到极大值 极大值为h lna a lna 2 2lna sin lna cos lna 2 当x 0时h x 取到极小值 极小值是h 0 2a 1 当a 1时 lna 0 所以当x 时 h x 0 函数h x 在 上单调递增 无极值 当a 1时 lna 0 所以当x 0 时 ex elna0 h x 单调递增 当x 0 lna 时 ex elna0 h x 0 h x 单调递增 所以当x 0时h x 取到极大值 极大值是h 0 2a 1 当x lna时h x 取到极小值 极小值是h lna a lna 2 2lna sin lna cos lna 2 综上所述 当a 0时 h x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 函数h x 有极小值 极小值是h 0 2a 1 当01时 函数h x 在 0 和 lna 上单调递增 在 0 lna 上单调递减 函数h x 有极大值 也有极小值 极大值是h 0 2a 1 极小值是h lna a lna 2 2lna sin lna cos lna 2 1 2014辽宁 21 12分 已知函数f x cosx x 2x sinx 1 g x 3 x cosx 4 1 sinx ln 证明 1 存在唯一x0 使f x0 0 2 存在唯一x1 使g x1 0 且对 1 中的x0 有x0 x1 c组教师专用题组 证明 1 当x 时 f x 1 sinx 2x 2x cosx0 f 2 0 当t 时 u t 0 所以u t 在 0 x0 上无零点 在上u t 为减函数 由u x0 0 u 4ln2 0 知存在唯一t1 使u t1 0 所以存在唯一的t1 使u t1 0 因此存在唯一的x1 t1 使h x1 h t1 u t1 0 因为当x 时 1 sinx 0 故g x 1 sinx h x 与h x 有相同的零点 所以存在唯一的x1 使g x1 0 因x1 t1 t1 x0 所以x0 x1 评析本题考查函数的零点 方程的根与函数图象交点间的关系 考查利用导数研究函数的单调性 转化与化归思想和分类讨论思想的应用 本题将函数的零点 函数的单调性与导数问题有机结合 难度较大 很好地考查了考生的逻辑推理能力和运算求解能力 2 2013陕西理 21 14分 已知函数f x ex x r 1 若直线y kx 1与f x 的反函数的图象相切 求实数k的值 2 设x 0 讨论曲线y f x 与曲线y mx2 m 0 公共点的个数 3 设a b 比较与的大小 并说明理由 解析 1 f x 的反函数为g x lnx 设直线y kx 1与g x lnx的图象在p x0 y0 处相切 则有y0 kx0 1 lnx0 k g x0 解得x0 e2 k 2 曲线y ex与y mx2的公共点个数等于曲线y 与y m的公共点个数 令 x 则 x 2 0 当x 0 2 时 x 0 x 在 2 上单调递增 x 在 0 上的最小值为 2 当0时 在区间 0 2 内存在x1 使得 x1 m 在 2 内存在x2 me2 使得 x2 m 由 x 的单调性知 曲线y 与y m在 0 上恰有两个公共点 综上所述 当x 0时 若0 曲线y f x 与y mx2有两个公共点 3 可以证明 事实上 1 1 b a 令 x 1 x 0 则 x 0 当且仅当x 0时等号成立 x 在 0 上单调递增 x 0时 x 0 0 令x b a 即得 式 结论得证 一 填空题 每题5分 共5分 1 2016江苏淮安阶段测试 11 将一个长和宽分别为a b 0 a b 的长方形的四个角切去四个相同的正方形 然后折成一个无盖的长方体盒子 若长方体的外接球的体积存在最小值 则的取值范围是 三年模拟 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 45分钟分值 55分 答案 解析设切去的正方形的边长为x 折成的长方体的外接球的直径为r 则r2 a 2x 2 b 2x 2 x2 设f x a 2x 2 b 2x 2 x2 则f x 18x 4 a b 令f x 0 得x a b 要使外接球的体积存在最小值 只需f x 存在最小值 0 x 0 a b 又0 a b 1 二 解答题 共50分 2 2017苏锡常镇四市高三教学情况调研 一 17 某单位举办庆典活动 要在广场上树立一形状为等腰梯形的彩门badc 如图 设计要求彩门的面积为s 单位 m2 高为h 单位 m s h为常数 彩门的下底bc固定在广场的底面上 上底和两腰由不锈钢支架构成 设腰和下底的夹角为 不锈钢支架的长度和记为l 单位 m 1 将l表示成关于 的函数l f 2 当 为何值时 l最小 并求出最小值 解析 1 过d作dh bc于点h dcb dh h 设ad x 则dc ch bc x 所以s h 则x 则l f 2dc ad h 2 f h h 令f h 0 得 f f 随之变化情况如下表 所以 lmin f h 答 当 时 l有最小值 为m 3 2017南京第三次模拟考试 17 在一水域上建一个演艺广场 演艺广场由看台 看台 三角形水域abc及矩形表演台bcde四个部分构成 如图 看台 看台 是分别以ab ac为直径的两个半圆形区域 且看台 的面积是看台 的面积的3倍 矩形表演台bcde中 cd 10米 三角形水域abc的面积为400平方米 设 bac 1 求bc的长 用含 的式子表示 2 若表演台每平方米的造价为0 3万元 求表演台的最低造价 解析 1 因为看台 的面积是看台 的面积的3倍 所以ab ac 在 abc中 s abc ab ac sin 400 所以ac2 由余弦定理可得bc2 ab2 ac2 2ab ac cos 4ac2 2ac2cos 4 2cos 即bc 40 所以bc的长为40 0 米 2 设表演台的总造价为w万元 因为cd 10m 表演台每平方米的造价为0 3万元 所以w 3bc 120 0 记f 0 则f 令f 0 解得 当 时 f 0 故f 在上单调递减 在上单调递增 从而当 时 f 取得最小值 最小值为f 1 所以wmin 120 答 表演台的最低造价为120万元 4 2016江苏苏北四市调研 17 如图 oa是南北方向的一条公路 ob是北偏东45 方向的一条公路 某风景区的一段边界为曲线c 为方便游客观光 拟过曲线c上的某点p分别修建与公路oa ob垂直的两条道路pm pn 且pm pn的造价分别为5万元 百米 40万元 百米 建立如图所示的直角坐标系xoy 则曲线符合函数y x 1 x 9 模型 设pm x百米 修建两条道路pm pn的总造价为f x 万元 1 求f x 的解析式 2 当x为多少时 总造价f x 最低 并求最低造价 解析 1 因为曲线c的方程为y x 1 x 9 pm x 所以点p的坐标为 由题意得直线ob的方程为x y 0 则点p到直线x y 0的距离为 又pm的造价为5万元 百米 pn的造价为40万元 百米 所以两条道路的总造价f x 5x 40 5 1 x 9 2 因为f x 5x 40 5 1 x 9 所以f x 5 1 x 9 令f x 0 得x 4 列表如下 所以当x 4时 函数f x 有最小值 最小值为f 4 5 30 所以当x 4时 总造价最低 最低造价为30万元 5 2015南京三模 17 如图 摩天轮的半径oa为50m 它的最低点a距地面的高度忽略不计 地面上有一长度为240m的景观带mn 它与摩天轮在同一竖直平面内 且am 60m 点p从最低点a处按逆时针方向转动到最高点b处的过程中 记 aop 0 1 当 时 求点p距地面的高度pq 2 试确定 的值 使得 mpn取得最大值 解析 1 由题意得 当 时 pq 50 50cos 50 50cos 50 50cos 75m 故点p距地面的高度pq为75m 2 由题意 得aq 50sin 50sin m 从而mq 60 50sin m nq 300 50sin m 又pq 50 50cos m 所以tan npq tan mpq 从而tan mpn tan npq mpq 令g 0 则g 0 由g 0 得sin cos 1 0 结合 0 得 当 时 g 0 g 为增函数 当 时 g 0 g 为减函数 所以当 时 g 有极大值 即为最大值 因为0 mpq npq 所以0 mpn 从而当g tan mpn取得最大值时 mpn取得最大值 即当 时 mpn取得最大值 解答题 共60分 1 2017南京 盐城第二次模拟考试 17 在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板abcd 然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形 再把它的边沿虚线折起 做成一个无盖的长方体纸盒 如图 设小正方形边长为x厘米 矩形纸板的两边ab bc的长分别为a厘米和b厘米 其中a b 1 当a 90时 求纸盒侧面积的最大值 2 试确定a b x的值 使得纸盒的体积最大 并求出最大值 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 时间 50分钟分值 60分 解析 1 因为矩形纸板abcd的面积为3600平方厘米 故当a 90时 b 40 从而纸盒的侧面积s 2 x 90 2x 2 x 40 2x 8x2 260 x x 0 20 s 8x2 260 x 8 故当x 时 s最大 最大值为 答 当x 时 纸盒的侧面积最大 最大值为平方厘米 2 纸盒的体积v a 2x b 2x x x ab 2 a b x 4x2 x b 60 v x ab 2 a b x 4x2 x ab 4x 4x2 x 3600 240 x 4x2 4x3 240 x2 3600 x 当且仅当a b 60时等号成立 设f x 4x3 240 x2 3600 x x 0 30 则f x 12 x 10 x 30 于是当00 所以f x 在 0 10 上单调递增 当10 x 30时 f x 0 所以f x 在 10 30 上单调递减 因此当x 10时 f x 有最大值 f 10 16000 此时a b 60 x 10 答 当a b 60 x 10时 纸盒的体积最大 最大为16000立方厘米 思路分析 1 当a 90时 b 40 从而求出侧面积 利用配方法求出纸盒侧面积的最大值 2 求出纸盒体积的表达式 利用基本不等式和导数有关知识即可求得结果 2 2017如皋高级中学联考 17 如图 矩形公园oabc中 oa 2km oc 1km 公园的左下角阴影部分是以o为圆心 1km为半径的圆面的人工湖 现计划建一条与圆相切的观光道路ef 点e f分别在边oa与bc上 d为切点 1 试求观光道路ef长度的最大值 2 公园计划在道路ef右侧种植草坪 试求草坪abfe面积s的最大值 解析 1 设 doe 因为点e f分别在边oa与bc上 所以0 则 dof 在rt doe中 de tan 在rt dof中 df tan 则ef de df tan 0 当 时 cos min 此时ef的长度最大 为2km 2 在rt doe中 oe 由 1 可得cf df 则s s矩形oabc s梯形oefc 2 cf oe oc 2 则s 令s 0 解得0 因此s在 上有且仅有一个极大值 因此这个极大值也是最大值 当 时 smax 2 草坪面积s的最大值为km2 3 2016江苏南通 扬州 泰州调研 17 植物园拟建一个多边形苗圃 苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙 现有两种方案 方案 多边形为直角三角形aeb aeb 90 如图 1 所示 其中ae eb 30m 方案 多边形为等腰梯形aefb ab ef 如图 2 所示 其中ae ef bf 10m 请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积 并从中确定使苗圃面积最大的方案 解析设方案 中多边形苗圃的面积分别为s1m2 s2m2 方案 设ae xm 则s1 x 30 x 当且仅当x 15时 成立 方案 设 bae 则s2 100sin 1 cos 由s2 100 2cos2 cos 1 0 得cos cos 1舍去 因为 所以 列表 所以当 时 s2 max 75 因为 75 所以建苗圃时用方案 且 bae 答 方案 中 苗圃的最大面积分别为m2 75m2 建苗圃时用方案 且 bae 可使苗圃面积最大 思路分析先设出方案 的面积为s1m2 s2m2 求s1的最大值时用重要不等式求解 求s2的最大值时用导数求解 然后比较s1与s2的最大值 得出结果 4 2016江苏泰州一模 17 一个玩具盘由一个直