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双曲线及其标准方程 2 花瓶 北京摩天大楼 法拉利主题公园 巴西利亚大教堂 三 双曲线两种标准方程的比较 方程用 号连接 分母是但大小不定 如果的系数是正的 则焦点在轴上 如果的系数是正的 则焦点在轴上 MF1 MF2 2a 2a F1F2 F c 0 F 0 c 双曲线定义及标准方程 F c 0 F c 0 a 0 b 0 但a不一定大于b c2 a2 b2 a b 0 a2 b2 c2 四 双曲线与椭圆之间的区别与联系 MF1 MF2 2a MF1 MF2 2a F 0 c F 0 c 练一练 判断下列方程是否表示双曲线 若是 求出及焦点坐标 答案 题后反思 先把非标准方程化成标准方程 再判断焦点所在的坐标轴 练一练 求适合下列条件的双曲线的标准方程 焦点在在轴上 焦点在在轴上 经过点 答案 令 则 解得 故所求双曲线的标准方程为 使A B两点在x轴上 并且点O与线段AB的中点重合 解 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s 可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m 因为 AB 680m 所以爆炸点的轨迹是以A B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上 例2已知A B两地相距800m 在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s 且声速为340m s 求炮弹爆炸点的轨迹方程 如图所示 建立直角坐标系xOy 设爆炸点P的坐标为 x y 则 即2a 680 a 340 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 1 方程mx2 my2 n中mn 0 则其表示焦点在轴上的 x 双曲线 2 若方程 k2 k 2 x2 k 1 y2 1的曲线是焦点在y轴上的双曲线 则k 1 1 3 双曲线的焦点坐标是 4 双曲线的焦距是6 则k 6 5 若方程表示双曲线 求实数k的取值范围 25 巩固练习 例1 已知双曲线的焦点在y轴上 并且两点P1 3 P2 9 4 5 在双曲线上 求双曲线的标准方程 变题 若去掉焦点在y轴上的条件 如何 解 由题意可设双曲线方程为 把点P1 P2坐标代入得 所以所求双曲线的标准方程为 例2 已知B 5 0 C 5 0 是 ABC的两个顶点 且sinB sinC sinA 求顶点A的轨迹方程 变题 已知动圆与定圆C1 x 5 2 y2 49 C2 x 5 2 y2 1都外切 求动圆圆心的轨迹方程 解 根据条件 由正弦定理得 AC AB 3 5 BC 6 所以点A的轨迹为以B C为焦点的双曲线的右支 2a 6 c 5 a 3 c 5 b 4 所以A的轨迹方程为 x 0 y 0 当2a MF1 MF2 0时 轨迹是线段F1F2的垂直平分线 1 定义中强调在平面内 否则轨迹不是双曲线 几点说明 通常 F1F2 记为2c 距离的差的绝对值记为2a MF1 MF2 F1F2 时 M点一定在上图中的 F2 F1 P Q 当2a F1F2 时 2 定义中为什么0 2a F1F2 射线F1P F2Q上 此时点的轨迹为两条射线F1P F2Q 题后反思 1
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