王明慈 概率论与数理统计 第二版 习题解答 习题五.pdf

习题五 1 设抽样得到样本观测值为 38 240 042 437 639 241 044 043 238 840 6 计算样本均值 样本标准差 样本方差与样本二阶中心矩 10 1 10 2222 1 10 222 1 22 11 38 2 40 0 42 4 37 6 39 2 41 0 44 0 43 2 38 8 40 6 40 5 1010 11 38 240 5 40 040 5 40 640 5 2 1587 99 1 2 15874 66 9 1 10 i i i i i i i xx sxx sxx xx 解 10 2 1 9 4 194 10 i S 2 设抽样得到 100 个样本观测值如下 计算样本均值 样本方差与样本二阶中心矩 解 由书上 127 页 5 20 5 21 5 22 式可知 6 1 6 2222 1 6 22 1 11 1 152 21 3 254 205 126 7 3 14 100100 11 1 3 14 15 63 14 7 2 1216 9999 199 2 12162 1004 100100 ii i ii i ii i xxn sxxn xxn 3 略 4 从总体中抽取容量为n的样本 设c为任意常数 k为任意正数 作变换 1 n XX 1 2 ii Yk Xc in 证明 1 2 其中及分别是的样本均值及样本 Y Xc k 2 2 2 y x S S k X 2 x S 1 n XX 方差 及分别是的样本均值及样本方差 Y 2 y S 1 n YY 证明 1 由得 1 1 n i i XX n ii Yk Xc i i Y Xc k 11 111 nn i i ii YY XcYncc nkk nnk 观测值 i x 123456 频数 i n课后答案网 2 2 22 11 2 2222 11 2 2 2 11 11 nn yii ii nn iix ii y x SYYk XckXkc nn kXkXkXXkS nn S S k 5 从总体中抽取两组样本 其容量分别为及 设两组的样本均值分别为及 1 n 2 n 1 X 2 X 样本方差分别为及 把这两组样本合并为一组容量为的联合样本 2 1 S 2 2 S 12 nn 证明 1 联合样本的样本均值 1122 12 n Xn X X nn 2 联合样本的样本方差 2 22 1212 11222 121212 11 11 n nXX nSnS S nnnnnn 证明 1 111222 121122 1212 umum umum Sn XSn X SSn Xn X X nnnn 2 12 12 22 12 2 11 12 22 111222 11 12 1 1 nn ii ii nn ii ii XXXX S nn XXXXXXXX nn 1 1 1 2 111 1 22 111111 1 2 2 1111 1 2 2 1111 2 0 1 n i i n ii i n i i XXXX XXXXXXXX XXnXX nSnXX 又 课后答案网 2 2 222 1 2 2 2222 22 1122 2222 111222 2222 1111122222 1 22 22 n i i XXXX nSnXX nXXnXX nXX XXnXX XX n Xn X Xn Xn Xn X Xn X 同理 而 1122 12 2 1111221122121122 22 111222 2 1212 12 22 n Xn X X nn n Xn Xn Xn Xn Xn Xn Xn X n Xnnn X nnnn nn 又 化简得 2 1212 12 2 22 1212 11222 121212 11 11 n nXX nn n nXXnSnS S nnnnnn 6 设随 机 变 量X Y Z相互 独 立 都 服 从 标 准 正 态 分 布N 0 1 求随 机 变 量 函 数 的分布函数与概率密度 并验证 5 4 定理 1 当k 3 时成立 即 U 222 UXYZ 2 3 解 X Y Z 相互独立且都服从 N 0 1 则 U 显然 2 3 3 1 22 3 2 1 0 3 2 2 0 u U Ueu fuP ou 不然 直接求 U 的分布函数 课后答案网 222 222 222 222 222 3 2 0 0 1 0 2 xyzu xyzu xyz xyzu P UuP XYZu fx y z dxdydz fx fy fz dxdydz uP Uu uP Uuedxdydz 当 当 利用三重积分的性质 略 也可得到结论 7 设随机变量X服从自由度为k的t分布 证明 随机变量服从自由度为 1 k 2 YX 的F分布 证明 X 则可将 X 记为 N 0 1 V t k U XU V k 其中 2 k 则其中 V 2 2 21 U U VV kk 2 U 2 1 2 k 由 F 分布的定义知 Y F 1 k 2 8 设随机变量 X 服从自由度为的 F 分布 证明 随机变量服从自由度为 1 2 kk 1 Y X 的 F 分布 从而证明等式 5 33 1 2 kk 11 2 2 1 1 Fkk Fkk 证明 X F 则 X 可写成 1 2 kk 2 1 1 2 U k Uk V k 其中 2 2 Vk 其 中 由 F 分 布 定 义 知 2 1 1 V k Y U X k 2 1 Uk 2 2 Vk 课后答案网 2 1 11 2 11 2 1 11 1 YF kk P XFkk P XFkk 2 1 11 2 2 1 11 2 1 1 P YP YFkk Fkk Fkk Fkk 又 11 2 2 1 1 Fkk Fkk 即 9 设总体 X 服从正态分布 2 5N 1 从总体中抽取容量为 64 的样本 求样本均值与总体均值之差的绝对值小于 1X 的概率 1 P X 2 抽取样本容量 n 多大时 才能使概率达到 0 95 1P X 解 1 0 1 X N n 111P XPX 11 555 646464 X P 888 21 555 2 0 9452 10 8904 2 111P XPX 课后答案网 nXn P n 210 95 n 0 975 5 1 969 896 5 n n nn 10 从正态总体 N中抽取容量为 10 的样本 2 0 5 1210 XXX 1 已知 求的概率 0 10 2 1 4 i i X 2 未知 求的概率 10 2 1 2 85 i i XX 解 1 1010 22 22 11 11 44 0 50 5 ii ii PXPX 又 P133 定理 3 2 1 0 5 10 2 1 i i X 2 10 2 10160 10P 原式 2 1010 22 22 11 11 2 85 2 85 0 50 5 ii ii PXXPXX 又 定理 4P133 10 2 2 1 1 0 5 i i XX 2 9 22 911 41911 4PP 原式 1 0 250 75 11 设总体 总体 从总体 X 中抽取容量为 10 的样本 2 50 6XN 2 46 4YN 从总体 Y 中抽取容量为 8 的样本 求下列概率 课后答案网 1 2 08PXY 2 2 8 28 x y S P S 解 1 0805046504685046PXYPXY 222222 05046504685046 646464 108108108 XY P 有 136 定理 6 知 22 5046 0 1 64 108 XY N 22 504644 5 65 6 64 108 XY P 原式 4 210 909 5 6 2 2 2 8 28 x y S P S 2 2 2 22 2 4 6 8 28 6 4 x y S P S 又由 P139 2 2 2 2 6 10 1 8 1 4 x y S F S 9 73 68 19 73 681 0 050 95 F F 2 12 10 min 5PXXX 解 1 1 12 10 max 10PXXX 12 10 max 10PXXX 1210 1210 10 1 10 10 110 10 10 1101010 8108 1 22 11 10 84130 8224 P XXX P XP XP X X P 课后答案网 1210 10 1 10 1 10 10 15 5 5 115 858 11 22 111 5 11 50 4991 P XXX PP X X P 14 设总体 X 服从泊松分布 抽取样本 求 P 1 n XX 1 样本均值的期望与方差 X 2 样本均值的概率分布 X 解 1 X 111 22 1 111 11 nnn ii iii n i i XXX nnn DXDXn nnn 2 由泊松分布的可加性有 12n n YXXXPP n 个 则 Y X n 0 1 2 y n yn P XP Yyey ny 15 设总体 X 服从指数分布 抽取样本 求 e 1 n XX 1 样本均值的期望与方差 X