实际问题与二元一次方程组.ppt

8 3再探实际问题与二元一次方程组衡水市三中封 做一个竖式盒子要用几张长方形纸板和几张正方形纸板 里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板 问两种纸盒各做多少只 恰好使库存的纸板用完 竖式纸盒展开图 横式纸盒展开图 用如图一 中的长方形和正方形纸板作侧面和底面 做成如图二 中竖式和横式的两种无盖纸盒 现在仓库 分析 x 2y 4x 3y 图一 图二 上题中如果改为库存正方形纸板500张 长方形纸板1001张 那么 能否做成若干只竖式纸盒和若干只横式纸盒后 恰好把库存纸板用完 练习 x 2y 4x 3y 竖式纸盒展开图 横式纸盒展开图 图一 图二 2 一个人的工资今年比去年增长了20 后变为3000元 则该人去年的工资为元 2500 1 一个人的工资去年为3000元 今年比去年增长了20 则该人今年的工资为元 3600 探究一 增长率问题 1 某工厂去年的利润为200万 今年总收入比去年增加了20 总支出比去年减少了10 今年的利润为780万 去年的总收入 总支出各是多少 解 设去年的总收入为x万元 总支出为y万元 则有 1 20 x 1 10 y 780 答 去年的总收入为2000万元 总支出是1800万元 探究一 增长率问题 1 某工厂去年的利润为200万 今年总收入比去年增加了20 总支出比去年减少了10 今年的利润为780万 的总收入 总支出各是多少 解 设去年的总收入为x万元 总支出为y万元 则有 若条件不变 求今年的总收入 总支出呢 解 设今年的总收入为x万元 总支出为y万元 则有 类比 进步 今年 去年 2 某企业去年的总产值比总支出多500万元 而今年计划的总产值比总支 解 设今年计划的总产值为x万元 总支出为y万元 答 今年计划总产值为2300万元 总支出为1350万元 出多950万元 已知今年计划总产值比去年增加15 而计划总支出比去年减少10 求今年计划的总产值和总支出各是多少 举一反三 2 某企业去年的总产值比总支出多500万元 而今年计划的总产值比总支 解 设今年计划的总产值为x万元 总支出为y万元 出多950万元 已知今年计划总产值比去年增加15 而计划总支出比去年减少10 求今年计划的总产值和总支出各是多少 另 设去年计划的总产值为a万元 总支出为b万元 求出a b后 进一步求今年的总产值和总支出 举一反三 7 红太阳大酒店客房部有三人间 双人间和单人间客房 收费数据如下表 为吸引客源 在五一黄金周期间进行优惠大酬宾 凡团体入住一律五折优惠 一个50人的旅游团在五月二号到该酒店住宿 租住了一些三人间 双人间普通客房 并且每个客房正好住满 一天一共花去住宿费1510元 则三人间 双人间普通客房各住了多少间 如果你作为旅游团团长 你认为上面这种住宿方式是不是费用最少 为什么 学以致用 一个两位数的十位数字与个位数字的和是7 如果这个两位数加上45 则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数 求这个两位数 2 中考链接随着我国人口增长速度的减慢 初中入学学生数量每年按逐渐减少的趋势发展 某区2003年和2004年初中入学学生人数之比是8 7 且2003年入学人数的2倍比2004年入学人数的3倍少1500人 某人估计2005年入学学生人数将超过2300人 请你通过计算 判断他的估计是否符合当前的变化趋势 探究1养牛场原有30只母牛和15只小牛 天约需用饲料 一周后又购进 支母牛和 只小牛 这时一天约需用饲料 饲养员李大叔估计平均每只母牛 天约需饲料 每只小牛 天约需饲料 你能否通过计算检验他的估计 解 设 相等关系 列解得 答 平均每只母牛 天约需饲料 每只小牛 天约需饲料 平均每只母牛 天约需饲料 每只小牛 天约需饲料 李大叔对母牛的估计较准确 对小牛的估计偏高 探究二据以往统计资料 甲 乙两种作物的单位面积产量的比是1 1 5 现要在一块长200m 宽100m的长方形土地上种植这两种作物 怎样把这块地分为两个长方形 使甲 乙两种作物的总产量的比是3 4 结果取整数 3 开放性问题联想集团有A型 B型 C型三种型号的电脑 其价格分别为A型每台6000元 B型每台4000元 C型每台2500元 我市某中学计划将100500元钱全部用于购进其中两种不同型号的电脑共36台 请你设计出几种不同的购买方案 并说明理由 反思 未知数不只两个 为了解决问题方便 所以设三个未知数以帮助解决问题 把问题割裂开来看 仍属于二元一次方程组 在一个问题里面设三个未知数 这本身就是一种创造性思维 例4 用一些长短相同的小木棍按图所式 连续摆正方形或六边形要求每两个相邻的图形只有一条公共边 已知摆放的正方形比六边形多4个 并且一共用了110个小木棍 问连续摆放了正方形和六边形各多少个 一批货物要运往某地 货主准备租用汽车运输公司的甲 乙两种货车 已知过去两次租用这两种货车的情况如下表 这批货物需租用5辆甲种货车 2辆乙种货车刚好一次运完 如果每吨付20元运费 货主应付运费多少元 问 每辆甲种货车能装货多少吨 每辆乙种货车可装货多少吨 吨 温故知新 答 要刚好一次运完 货主应付运费500元 解 1 设甲种货车每辆可运x吨 乙种货车每辆可运y吨 由题意得 4x 5y 28 5 3x 6y 27 解这个方程组 得 x 4 2 5x 2y 20 5 4 2 2 5 20 500 元 y 2 5 答 甲种货车每辆可运4吨 乙种货车每辆可运2 5吨 1 在这道题目中 有部分条件是以表格的形式给出的 这就要求同学们在审题时要真正读懂表中的信息 这样才能找到解题的方向 2 本题中的单位运价是每吨20元 有时 单位运价还可以以下面的形式出现 北京和上海都有某种仪器可供外地使用 其中北京可提供10台 上海可提供4台 已知重庆需要8台 武汉需要6台 从北京 上海将仪器运往重庆 武汉的费用如下表所示 有关部门计划用8000元运送这些仪器 请你设计一种方案 使武汉 重庆能得到所需仪器 而且运费正好够用 练一练 400元 400 10 x 元 北京 上海 重庆 武汉 10台 4台 需要8台 需要6台 800元 500元 300元 800 x元 500y元 300 4 y 元 解 设北京运往重庆x台 上海运往重庆y台 800 x 400 10 x 500y 300 4 y 8000 x y 8 解这个方程组 得 x 6y 2 答 北京运往重庆6台 运往武汉4台 上海运往重庆2台 运往武汉2台 由题意得 2 精加工的蔬菜 粗加工的蔬菜 140吨 2 某蔬菜公司收购到某蔬菜140吨 准备加工后上市销售 该公司的加工能力是 每天可以精加工6吨或者粗加工16吨 现计划用15天完成加工任务 该公司应安排几天粗加工 几天精加工 才能按期完成任务 分析 1 精加工的天数 粗加工的天数 15天 x y 15 6x 16y 140 解 设应安排x天精加工 y天粗加工 探究一之例2 问题情景 植物园门票价格如下表所示 某校初一 1 2 两个班共104人去植物园春游 其中 1 班人数较少 不到50人 2 班人数较多 有50多人 经估算如果两班都以班为单位分别购票 则一共应付1240元 问题 你能否算出两个班各有多少名学生 议一议 假如 1 班先到达公园 想要单独购票 你能帮他们想出一个比较经济的购票方案吗 想一想 你认为他们如何购票比较合算 小华4年后的年龄与小丽4年前的年龄相等 3年后她们两人的年龄和等于它们今年年龄差的3倍 求小华和小丽今年的年龄 x y x 4 y 4 x 3 y 3 问题2 小明在拼图时 发现8个一样大小的小长方形如图1那样 恰好可以拼成一个大的长方形 小红看见了 说 我也来试一试 结果小红七拼八凑 拼成如图2那样的正方形 咦 怎么中间还留了一个洞 恰好是边长为2cm的小正方形 你能算出每一个小长方形的长和宽是多少吗 5y 3x 图1 图2 这类问题可以通过数形结合的方法来解决 例3 一个长方形 它的长减少4cm 宽增加2cm 所得的是一个正方形 它的面积与长方形的面积相等 求原长方形的长与宽 解 设长方形的长为xcm 宽为ycm 由题意得 从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路 如果保持上坡每小时行3千米 平路每小时行4千米 下坡每小时行5千米 那么从甲地到乙地需行33分 从乙地到甲地需行23 4分 从甲地到乙地全程是多少 1 你能用图形表示这个问题吗 2 你能自己设计一个表格 显示题中各个量吗 3 若设甲到乙上坡路长为x千米 平路长为y千米 你能填出来吗 X3 23 460 y4 X5 3360 y4 练习 十一 探究题1 某校初三 2 班40名同学为 希望工程 捐款 共捐款100元 捐款情况如下表 表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚 你能把它填进去吗 解 设捐款2元的有x名同学 捐款3元的有y名同学 根据题意 可得方程组是 解这个方程组得 答 捐款2元的有15名同学 捐款3元的有12名同学 问题3 某公园规定 团体购买门票 票价如下表 今有两个旅游团 若分别购票 两团共计付门票费1314元 若合在一起作为一个团体购票 需付门票费1008元 问这两个旅游团各有多少人 解 1008是9的整数倍而不是11 13的整数倍 总人数应大于100 1008 9 112 总人数为112人 1314不是11的整数倍 两团的人数可能分别在1 50和51 100内或者分别在1 50和100以上 两个旅游团分别有41人和71人 x 这类问题可以通过分类讨论的方法来解决 长青化工厂与A地相距150千米 工厂要将200吨货物用汽车运往A地 已知公路运价是1 5元 吨 千米 则需付运费 元 45000 想一想 探究 长青化工厂用汽车从A地购买一批原料运回工厂 制成产品后用火车运到B地 工厂与A地相距80千米 与B地相距150千米 公路运价为1 5元 吨 千米 铁路运价为1 2元 吨 千米 这两次运输支出公路运费15000元 铁路运费97200元 求工厂从A地购得的原料有多少吨 制成的产品有多少吨 解 设购得的原料为x吨 制成的产品为y吨 根据题意得 1 5 80 x 15000 1 2 150 y 97200 答 购得的原料为125吨 制成的产品为540吨 这道题中的量有很多 不妨我们画一个示意图 A地 B地 长青化工厂 公路80km 铁路150km 原料 产品 1 5元 吨 千米 1 2元 吨 千米 公路运费 15000元铁路运费 97200元 回顾本题的思考过程 题中的量很多 并且相互关联 这时 我们可画一张示意图 把题中的条件在图中标出来 这样比较直观 能帮助我们比较顺利地找出题中的相等关系 可见 画示意图是解决道路运输问题的手段之一 如图8 3 2 长青化工厂与A B两地有公路 铁路相连 这家工厂从A地购买一批原料运回工厂 制成产品运到B地 公路运价为1 5元 吨 千米 铁路运价为1 2元 吨 千米 这两次运输共支出公路运费15000元 铁路运费97200元 探究 问 购得的原料有多少吨 制成的产品有多少吨 设产品重x吨 原料重y吨 根据题中数量关系填写下表 1 5x 10 1 5y 120 1 2x 120 1 2y 110 15000 97200 列表分析是解决道路运输问题的另一手段 解 设原料重x吨 产品重y吨 则 1 5 10 x 20y 15000 1 2 120 x 110y 97200 解这个方程组 得 x 400y 300 答 购得的原料重400吨 制成的产品重300吨 再添条件变题 如图8 3 2 长青化工厂与A B两地有公路 铁路相连 这家工厂从A地购买一批原料运回工厂 制成产品运到B地 公路运价为1 5元 吨 千米 铁路运价为1 2元 吨 千米 这两次运输共支出公路运费15000元 铁路运费97200元 探究 问 购得的原料有多少吨 制成的产品有多少吨 1 2 若