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数学小故事 3一、高斯小故事 高斯（Gauss 17771855）生于Brunswick，位于现在德国中北部。他的父亲是泥水匠，母亲是一个石匠的女儿，父亲可以说是一名大老粗，认为只有力气能挣钱，学问这种劳什子对穷人是没有用的。 高斯很早就展现过人才华，三岁时就能指出父亲帐册上的错误。七岁时进了小学，在破旧的教室里上课，老师对学生并不好，常认为自己在穷乡僻壤教书是怀才不遇。高斯十岁时，老师考了那道着名的从一加到一百，终于发现了高斯的才华，他知道自己的能力不足以教高斯，就从汉堡买了一本较深的数学书给高斯读。同时，高斯和大他差不多十岁的助教Bartels变得很熟，助教后来成为大学教授，他教了高斯更多更深的数学。 老师和助教去拜访高斯的父亲，要他让高斯接受更高的教育，但高斯的父亲认为儿子应该像他一样，作个泥水匠，而且也没有钱让高斯继续读书，最后的结论是去找有钱有势的人当高斯的赞助人，虽然他们不知道要到哪里找。经过这次的访问，高斯免除了每天晚上织布的工作，每天和Bartels讨论数学，但不久之后，Bartels也没有什么东西可以教高斯了。1788年高斯不顾父亲的反对进了高等学校。数学老师看了高斯的作业后就要他不必再上数学课，而他的拉丁文不久也凌驾全班之上。 1791年高斯终于找到了资助人布伦斯维克公爵费迪南（Braunschweig），答应尽一切可能帮助他，高斯的父亲再也没有反对的理由。隔年，高斯进入Braunschweig学院。这年，高斯十五岁。在那里，高斯开始对高等数学作研究。并且独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的二次互逆定理（Law of Quadratic Reciprocity）、质数分布定理（prime numer theorem）、及算术几何平均（arithmetic-geometric mean）。 1795年高斯进入哥廷根大学，因为他在语言和数学上都极有天分，为了将来是要专攻古典语文或数学苦恼了一阵子。到了1796年，十七岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果。最为人所知，也使得他走上数学之路的，就是正十七边形尺规作图之理论与方法。对于正七、九、十一边形的尺规作图法，两千年来都没有人知道。高斯用代数的方法解决二千多年来的几何难题，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。 1799年高斯提出了他的博士论文，这年他20岁，这论文证明了代数一个重要的定理：任一多项式都有（复数）根。这结果称为代数学基本定理（Fundamental Theorem of Algebra）。事实上在高斯之前有许多数学家认为已给出了这个结果的证明，可是没有一个证明是严密的。高斯把前人证明的缺失一一指出来，然后提出自己的见解，他一生中一共给出了四个不同的证明。 在1801年，高斯二十四岁时出版了算学研究（Disquesitiones Arithmeticae），二十四岁开始，高斯放弃在纯数学的研究，作了几年天文学的研究。高斯对自己的工作态度是精益求精，非常严格地要求自己的研究成果。他自己曾说：宁可发表少，但发表的东西是成熟的成果。许多当代的数学家要求他，不要太认真，把结果写出来发表，这对数学的发展是很有帮助的。其中一个有名的例子是关于非欧几何的发展。非欧几何的的开山祖师有三人，高斯、 Lobatchevsky（罗巴切乌斯基，17931856）， Bolyai（波埃伊，18021860）。其中Bolyai的父亲是高斯大学的同学，他曾想试着证明平行公理，虽然父亲反对他继续从事这种看起来毫无希望的研究，小Bolyai还是沉溺于平行公理。最后发展出了非欧几何，并且在18321833年发表了研究结果，老Bolyai把儿子的成果寄给老同学高斯，想不到高斯却回信道：我无法夸赞他，因为夸赞他就等于夸奖我自己。早在几十年前，高斯就已经得到了相同的结果，只是怕不能为世人所接受而没有公布而已。 美国的着名数学家贝尔（E.T.Bell），在他着的数学工作者（Men of Mathematics） 一书里曾经这样批评高斯：在高斯死后，人们才知道他早就预见一些十九世的数学，而且在1800年之前已经期待它们的出现。如果他能把他所知道的一些东西泄漏，很可能现在数学早比目前还要先进半个世纪或更多的时间。阿贝尔（Abel）和雅可比（Jacobi）可以从高斯所停留的地方开始工作，而不是把他们最好的努力花在发现高斯早在他们出生时就知道的东西。而那些非欧几何学的创造者，可以把他们的天才用到其他力面去。 在1855年二月23日清晨，高斯在他的睡梦中安详的去世了。二、等比数列前n项和小故事根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度。据说，有位印度教宰相见国王自负虚浮，决定给他一个教训他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围，百无聊赖，很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情 国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，高兴之余，他便问那位宰相，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐宰相开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的倍数，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了 “好吧！”国王哈哈大笑，区区小数，几粒麦子，有何难的，便慷慨地答应了宗师的这个谦卑的请求 计数麦粒工作开始了，还没到第20个格，一袋麦子就空了，一袋又一袋麦子被拉到国王面前来，但麦粒一格一格飞快增长，国王很快就发现，即便拿出全国粮食，也兑现不了诺言。这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？稍微算一下就可以得出：1+2+22+23+24+263=264-1，直接写出数字来就是18，446，744，073，709，551，615粒，这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和！ 如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮食，那么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤道7500圈，或在日地之间打个来回。 国王哪有这么多的麦子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西萨班达依尔的一笔永远也无法还清的债。 正当国王一筹莫展之际，王太子的数学教师知道了这件事，他笑着对国王说：“陛下，这个问题很简单啊，就像1+1=2一样容易，您怎么会被它难倒？”国王大怒：“难道你要我把全世界两千年产的小麦都给他？”年轻的教师说：“没有必要啊，陛下。其实，您只要让宰相大人到粮仓去，自己数出那些麦子就可以了。假如宰相大人一秒钟数一粒，数完18，446，744，073，709，551，615粒麦子所需要的时间，大约是5800亿年（大家可以自己用计算器算一下！）。就算宰相大人日夜不停地数，数到他自己魂归极乐，也只是数出了那些麦粒中极小的一部分。这样的话，就不是陛下无法支付赏赐，而是宰相大人自己没有能力取走赏赐。”国王恍然大悟，当下就召来宰相，将教师的方法告诉了他。 西萨班达依尔沉思片刻后笑道：“陛下啊，您的智慧超过了我，那些赏赐我也只好不要了！”当然，最后宰相还是获得了很多赏赐（没有麦子）。三、等比数列前n项和小故事话说猪八戒自西天取经回到了高老庄，经过几年拼搏，创建了高老庄集团，摇身变成了CEO，可好景不长，便因资金周转不灵而陷入了窘境，急需大量资金投入，于是他就找孙悟空帮忙。悟空一口答应：“行！咱们这样行不行.”我每天投资100万元，连续30天，但有一个条件：作为回报，从投资的第一天起你必须返还我1元，第二天返还2元，第三天返还4元即后一天返还数为前一天的2倍。八戒听了，心里打起了小算盘： “第一天：支出1元，收入100万元；” “第二天：支出2元，收入100万元；”“第三天：支出4元，收入100万元；” “哇,发财了”，心里是越想越美不过又看看悟空的表情，心里又嘀咕了：“这猴子老欺负我，会不会又在耍我？” 假如你是高老庄集团企划部的高参，请你帮八戒分析一下，按照悟空的投资方式，30天后，八戒能吸纳多少投资?又该返还给悟空多少钱?八戒吸纳的资金是30*100=3000万，需返还悟空的钱数为S301+2+22+23+229？事实上，这是等比数列的求和问题。 S301+2+22+23+229230110.73（亿）3000万。“猪八戒又被猴子耍了。”四、费马大定理：一场唱了三百多年的好戏 【费马大定理：当n大于2时，方程XnYn=Zn没有任何正整数解】1993年6月23日，英国剑桥大学牛顿研究所里挤满了人。演讲者是一个内向的英国人怀尔斯。怀尔斯是美国普林斯顿大学教授，剑桥大学是其母校。 “这家伙以前曾做过出色的工作，后来却消失了七年，想必能力走到了尽头。”这次怀尔斯突然冒出来，演讲的题目也神秘兮兮椭圆曲线、模形式和伽罗瓦表示，还特意安排了三天。一开始大家也摸不着头脑，不过随着时间的推移，人人都感觉到后面必有好戏。 确实，是唱了一场好戏，不过不是三天，而是三百五十多年！这场戏的名字就是费马大定理。 不愿写证明过程的“懒人” 历史上有许多人，他们在主要从事的工作方面没有取得什么成果，而在平常茶余饭后的闲暇时间里却取得了了不起的成就。法国人皮埃尔德费马（16011665年）就是这样一个典型。他是一名律师，后来又在议会议员的职位上终其一生，然而，真正使他名垂青史的却是他的业余爱好数学。几何学、概率论、微积分和数论等众多数学领域，都留下了他的足迹。 费马在生前很少公开发表自己的成果。他只是按照当时流行的风气，以书信的形式向一些有学问的朋友报告自己的研究心得。他去世后。很多论述遗留在旧纸堆里，或书面的空白处，或在给朋友的书信中。幸亏他的儿子对此进行了搜集、整理，最后汇编成书出版，才使他的研究成果能够在他去世后得以流传。 费马特别爱好数论，提出了几十条定理，但奇怪的是，他这人似乎特别“懒”，仅对其中一个定理给出了证明要点，其余的都只写了一个结果。同样令人感到不可思议的是，这些定理中只有一个被证明是错的，其余的均陆续被后来的数学家所证实。 我们都知道勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。这是几何学的基石，无数宫殿的建造者靠的就是这个。实际上，可以证明：x2+y2=z2有无数组正整数解，这一结果被古希腊数学家丢番图记在算术一书中。大约是1637年，费马在钻研丢番图的算术时注意到了这一结果。他在书的页边用拉丁文写下了一段注记：“一般来说，任何两个正整数的n次方的和不可能等于另一个正整数的n次方。如果n是大于2的正整数。”费马还用他的一贯口吻写道：“我已得到一个非常巧妙的证明，但空白处太小，写不下。” 遗憾的是，在此后的三百多年中，多少数学奇才究其一生都未能找到费马老兄这个“非常巧妙的证明”！于是，这最后一个未被证明是对是错的定理，就被称为费马大定理或费马最后定理。它成了数学中最著名的难题之一。 无数英雄竞折腰 费马大定理可以这样表述：当n大于2时，方程XnYn=Zn没有任何正整数解。在历史上，为了摘取费马大定理这颗数学王冠的明珠，许多数学家为之花费了大量的时间，甚至献出了毕生的精力： 1779年，瑞士数学家欧拉证明了n=3、4时的费马大定理。 1823年，法国数学家勒让德证明了n5时的费马大定理。 1831年，法国女数学家索菲娜热尔曼在假定x、y、z与n互质时，证明对于n1OO的所有素数，费马大定理成立。 1839年，法国数学家拉梅证明了n=7时的费马大定理。 1849年，德国数学家库默尔创立了“理想数理论”，证明了当n为小于100（除37、59和67）的所有奇素数时，费马大定理成立。相比以前的鸡刀，库默尔可算是发明了牛刀。但这把牛刀还是有本质缺陷不是每只“鸡”（即素数）都能一起被宰杀。 18501853年，数学家们将n推进到21。 19011907年，德国数学家林德曼先后发表了两篇论文，声称解决了费马大定理，后均被推翻。 1938年，勒贝格向法国科学院呈上证明费马大定理的论文，也被否定了。 1983年，德国人法尔廷斯证明，即使费马大定理不对，互素解仍是有限的。为此，他于三年后获得了数学界最高奖菲尔兹奖。 另辟蹊径可恶的费马把数学家们搞得焦头烂额， 尽管大数学家希尔伯特曾说“费马大定理是一只会下金蛋的鹅”，但它确买也是一只难以伺候的鹅啊。 1984年秋，弗雷从假定费马大定理为错出发，构造了一条椭圆曲线，用它能否定谷山一志村猜想。换句话说，如果谁能证明谷山一村猜想，那么费马大定理就自动成立了面壁九年终破壁 怀尔斯似乎就是费马在冥冥中等待了三个多世纪的人。他于1953年出生在英国剑桥。1963他第一次知道了世界上居然还有无答案的问题，那正是费马大定理。” 1975年至1978年，怀尔斯在剑桥大学攻读博士学位，研究和费马大定理密切相关的椭圆曲线理论。读完博士后，他又远渡重洋，到美国普林斯顿大学任教。 到1993年5月，他确信验证了最后一类椭圆曲线，费马大定理这下该被征服了 荣誉 1993年6月23日，是怀尔斯作报告的最后一天。他努力克制自己的激动，手中着粉笔，在黑板上飞快地写着。闪光灯亮个不停。最后。怀尔斯写完费马大定理这一命题，他转向听众，平和地说道：“我想我就在这里结束。”顿时会场上爆发出一阵持久的掌声。 第二天，卫报、世界报、纽约时报等各国报刊竞相报道了此事。论文最终在1995年5月发表在数学年刊上。荣誉像雪片一样飞来，包括沃尔夫奖（1996年）、沃尔夫斯凯尔奖（