行列式的特殊解法.doc

bdd2ae271f02878617a4c4451c01a67b.pdf【title】 Act3Cramers Rule【Content Arrangement】: 1）Cramers Rule2）Some methods to compute determinant Act3-1 Some methods to compute the determinant（行列式的特殊解法）【Content Arrangement】: 1、化为三角形 2、降阶法 3、Vandermonde 4、递推法 *5、拆项法 *6、析因子法 *7、拉普拉斯定理的特例1 化为三角形（加边法）例1：2、降阶法 例： 解 ： 请计算当a=1,b=2,c=3,d=0时，D的值？(不要套公式) 3Vandermonde 例: Vandermonde行列式 证明 用数学归纳法。 当 n=2时， 成立。 假设该结论对n-1阶成立，现证明 n阶也成立。 在 中，第n行减去n-1行的 倍，n-1行减去 n-2行的倍，依次类推，得 4。递推法： 例：解：按第一列展开，得： 而： 。故 5、拆项法：例：计算行列式解：6、析因子法：例： 解：很明显， =1，2，3， 都使得 =0,而是的次多项式，首项系数为1。 且 , , 为互质多项式，故 , , | 7拉普拉斯定理的两个特例 Act3-2 Cramers RuleNow we will discuss the system of n linear equations in n unknowns.Theorem1: The system of linear equations （1）The determinantis called the coefficient determinant of the system.If the coefficient determinant D of the system is nonzero, then the system (1) has precisely one solution, given by the formulas.（2）whereis the determinant obtained from D by the jth column by the column with the elements b1,.,bn.Proof： 首先证明（2）是方程组的解。为此把 （i=1，2，n）代入方程组的第k个方程左端得， 由行列式性质7、8有， 下证解的唯一性： 设有另解 , 只须证 同理可得，证毕。本定理适用条件： 1、n个未知数，n个方程得方程组； 2、系数行列式D不为零； 3、若D=0，方程组可能无解或有无穷解。Definition： If b1=0,.,bn=0, we call the system homogeneous. trivial solution： （ ） Corollary1: A homogeneous system of n linear equations in n unknowns with nonvanishing determinant has only the trivial solution.Corollary2: If a homogeneous system of n linear equations in n unknowns has nontrivial solution, then D= 0.Example1：Solve the following system of linear equations . Solve:系数行列式为： 解的分子行列式为： 所以解为： Example2：Solve the following system Solve: 系数行列式为：所以方程组只有零解，即 x=0,y=0,z=0【随堂练习】1.方程组 有非零解， 。Answer: 2.设多项式 ，证明：若有 个互异零点，则恒等于零。Proof:设 的 个互异的零点为 ，则有 ，即 这可视为以 为未知量的齐次线性