专题八 距离空间的列紧性与紧性投ppt课件.ppt

距离空间的列紧性与紧性 实数集中的列紧性 致密性 专题七距离空间的列紧性全有界性与紧性 距离空间的全有界性 实数的有界性 距离空间的列紧性与紧性 实数集中的有限覆盖 已知 在实直线上 有波尔查诺 维尔斯特拉斯 列紧性定理 成立 而且与完备性定理是相互等价的 问题1 在一般的距离空间中 列紧性定理是否也成立 一 距离空间的列紧性 引例1考察闭区间 0 1 上的连续函数序列 xn C 0 1 xn xn t tn n 1 2 xn C 0 1 是有界点列 但是 xn C 0 1 是没有收敛子列 事实上 若 子列 xnk xn 使xnk x C 0 1 函数子列 xnk t 在 0 1 上一致收敛于x t 这与x t 在 0 1 上连续矛盾 结论 在一般的距离空间 即使是完备的 中 有界点列不一定存在收敛子列 即列紧性定理不成立 引例2C 0 1 中的点列 显然是有界点列 但它不可能有收敛的子列 事实上 若 子列 xnk xn 使xnk x C 0 1 函数子列 xnk t 在 0 1 上一致收敛于x t 这与x t 在 0 1 上连续矛盾 定义5 1 列紧集与列紧空间 设X是距离空间 A X 1 如果 xn A 子列 xnk xn 使xnk x X k 则称A是列紧集 2 如果A是列紧闭集 即 xn A 子列 xnk xn 使xnk x X k 则称A是自列紧集 3 如果X本身是 自 列紧集 即 xn X 子列 xnk xn 使xnk x X k 则称X是列紧空间 注1 自列紧集 列紧闭集对全空间X而言 列紧 自列紧 列紧闭 2 维尔斯特拉斯 列紧性定理 可以表述为 R中的任何有界集都是列紧集如果A是列紧闭 定理5 2 列紧空间的性质 X是列紧的距离空间 X是完备距离空间 X中的自列紧集A是X的完备子空间 但反之不然 证设X是列紧空间 xn X是基本列X列紧 子列 xnk xn xnk x X xn X是基本列 0 N 当n nk N时 有 xn xnk N k 时 有 xnk x lim xnk xn 距离函数连续性 xn x X n X完备但反之不然 例如 R是完备距离空间 但序列 n R中没有任何收敛子列 因而R不是列紧空间 然而 R中的任何有界集都是列紧集 二 距离空间的全有界性 网与全有界集 定义5 2 网 设X是距离空间 A X B X 如果 0 A能被B中个点的 开球S x 的全体所覆盖 即 则称B是A的一个 网 例1R2中一切整数格点所构成的集A m n m n Z 构成了R2的一个3 4 网 例2设A x y x y均为无理数 B x y x y Q 则 0 B都构成了A的一个 网 从而也构成了R的一个 网 由于有理数在R中的稠密性 注 1 B是A的一个 网 y A x B 使 x y 2 A的 网可以是A的子集 也可以不是A的子集 定义5 3 全有界集 设X是距离空间 A X 如果 0 A的有限的 网B x1 x2 xn 则称A为全有界集 例3闭区间 0 1 使R中的全有界集 证 0 取n 1 则有1 n 构造有限点集B 0 1 n 2 n n 1 n 0 1 x y B是相邻两点 有 x y 1 n B中各点的 开球的全体覆盖了A B是 0 1 区间一个有限的 网 0 1 区间是全有界集 注1 对全有界集A 一定能找到它的有限 网B A 2 全有界集A的有限的 网的构造方法 首先 构造一个有限点集B x1 x2 xn A 然后 选取网中个开球的公共半径 x y B是相邻两点 有 x y 例4距离空间 X 中的基本列构成一个全有界集证设A xn X是一个基本列 0 N 当m n N时 xm xn N m N 1时 xN 1 xn N B中各点的任意 开球的全体覆盖了A 0 B都是A的一个有限的 网 A是全有界集 定理5 3 全有界集的性质 设X是距离空间 A X是全有界集 则 1 A一定是有界集 2 A一定是可分的 证 1 A X是全有界集 对 1 A的一个有限的1 网B x1 x2 xn A x A k 使x S xk 1 即 xk x 1 A有界 2 A X是全有界集 只要证明A有可数的稠密子集 对 k 1 k A的有限1 k 网Bk x1 k x2 k xnk k A B在A中稠密 又B A是至多可数集 故A可分 定理5 4 全有界集的充要条件 设X是距离空间 A X 则A是全有界集 A中任何点列必存在基本子列 证 设A X是全有界集 xn A 对 k 1 k A的有限 k 网Bk x1 k x2 k xnk k A 使 反证法设 xn A有基本子列 若A X不是全有界集 0 0 A没有有限的 0网 x1 A S x1 0 不能覆盖A A S x1 0 非空 x2 A S x1 0 S x2 0 S x2 0 不能覆盖A A S x1 0 S x2 0 非空 x3 A S x1 0 S x2 0 xn xm xn A 当n m时 有 xn 的每一个子列都不可能是基本列 矛盾 因此 A是全有界集 定理5 5 豪斯道夫定理 全有界集与列紧集的关系 1 设X是距离空间 A X是列紧集 A是全有界集 2 设X是完备距离空间 则A X是列紧集 A是全有界集 证 1 设A X是列紧集 xn A 子列 xn k xn k x X k xn k 是 xn 的基本子列 A是全有界集 2 在 1 中已证 设A是全有界集 xn A xn 有基本子列 xn k X完备 xn k xn A收敛 A是列紧集 2全有界集与列紧集的关系 注 在不完备的距离空间中 全有界集不一定是列紧集 例如 C 1 1 按距离 不完备 其中的点列 xn 是基本列 因而A xn 是 C 1 1 1 中的全有界集 但是它在C 1 1 中没有收敛子列 故A xn 不是列紧集 推论5 1 有界集与列紧集的关系 设X是距离空间 A X是列紧集 A是有界集 推论5 2 列紧集与可分集的关系 设X是距离空间 则 1 A X是列紧集 A是可分集 2 X是列紧空间 X是可分的 即列紧空间中存在一个稠密的可数子集 证 1 A X是列紧集 A是全有界集 A是可分集 2 X是列紧空间 X是全有界空间 X是可分空间 证A是列紧集 A是全有界集 A是有界集 注在R中 有1 A是列紧集 A是有界集2 A是自列紧集 A是列紧闭集 A是有界闭集 3几个常用距离空间中列紧集的特征 定理5 6 Rn中列紧集的特征 设A Rn 则A是列紧集 A是有界集 证若A是列紧集 A是全有界集 A是有界集若A是有界集 xk A Rn xk x1 k x2 k xn k xk 是有界点列 对每个i i 1 2 n xi k 是有界数列 对每个i i 1 2 xi k 存在收敛子列 设 证必要性设A C a b 是列紧集 1 A是列紧集 A是有界集 在距离意义下 A是一致有界集 在函数意义下 定义5 4 一致有界和等度连续 设A C a b 1 如果 K 0 x t C a b 有 x t K 则称A是一致有界的 2 如果 0 0 使对 x t C a b 及 t1 t2 a b 当 t1 t2 时 有 x t1 x t2 则称A是等度连续的 定理5 7 C a b 中列紧集的特征 设A C a b 则A是列紧集 A是一致有界且等度连续的 阿尔采拉 阿斯可利 Arzel Ascoli 定理 2 A是列紧集 A是全有界集 0 A的有限 3 网 x1 t x2 t xn t x t A xi t 1 i n 使得 xi x 0 使得当 t1 t2 时 有 xi t1 xi t2 3 i 1 2 n x t A 当 t1 t2 时 有 x t1 x t2 x t1 xi t1 xi t1 xi t2 xi t2 x t2 3 3 3 A是等度连续的 充分性设A C a b 是一致有界且等度连续的A一致有界 xn t A rn 是 a b 中所有有理集合 K 0 使 xn r1 K n 1 2 xn r1 是有界数列 子列 x1n t xn t 在t r1处收敛 x1n r2 K 子列 x2n t x1n t 在t r1 r2处收敛 子列 xkn t x k 1 n t 在t r1 r2 rk处收敛 k 1 2 xnn t 在 a b 内的所有有理数处收敛 A等度连续 0 0 x t A 当 t1 t2 时 有 x t1 x t2 3 将 a b 区间k等分 得k个子区间Ii i 1 2 k 使mIiN时 xmm ri 0 xnn ri 0 N t a b 时 有 xmm t xnn t xmm t xmm ri 0 xmm ri 0 xnn ri 0 xnn ri 0 xnn t 3 3 3 xnn t 是C a b 中的基本列 xnn t 是 xn C a b 中的收敛子列 X是完备距离空间 A是列紧集 已知 在实直线上 有海因 波赖尔 紧性定理 或 有限覆盖定理 成立 而且它与完备性定理 列紧性定理是相互等价的 问题2 在一般的距离空间中 及有限覆盖定理等是否也成立 它与完备性定理 列紧性定理关系又如何呢 三 距离空间的紧性 定义5 5 紧集 设X是距离空间 A X 如果开集族 G I覆盖A 即 则在 G I中必存在有限个开集G1 G2 Gn覆盖A 则称A为紧集 注A X为紧集 在集合A上 有限覆盖定理成立 定理5 8 紧集的充要条件 设X是距离空间 A X 则A是紧集 A是自列紧集 A是列紧闭集 A是有界闭集 注A X为紧集 在集合A上 有限覆盖定理成立 1紧集的概念与条件 2紧集上连续函数的性质 是R上有界闭集 紧集 连续函数性质的推广 定理5 8 有界性 设X是距离空间 A X是紧集 f x 是连续 泛 函数 则f x 在A上有界 证反证法假设f x 在A上无界 xn A 使f xn n 一方面 A是紧集 A是列紧闭集 存在子列 xnk xn 使得xnk x0 A f xnk f x0 k 因为f x 在上连续 另一方面 f xnk nk f xnk k 矛盾 故f x 在A上有界 证设 supf x x A 对任意n xn A 使 1 n f xn A是紧集 A是列紧闭集 存在子列 xnk xn 使得xnk x0 A 且 1 n f xnk f xnk f x0 k 因为f x 在上连续 且极限唯一 类似地 x1 A 使得f x1 inff x x A 定理5 9 最值存在性 设X是距离空间 A X是紧集 f x 是连续 泛 函数 则f x 在A上能达到最大值 上确