解排列组合问题中的数学思想.pdf

秦 振 解排列组合问题中的数学思想 如果学生能掌握并应用数学思想解决排 列组合问题 将有利于数学能力的提高 下面结 合例题介绍解排列组合问题时 经常用到的数 学思想 供大家参考 一 方程思想 有些排列组合问题 可以根据条件中的等 量关系 列出方程 组 解方程或利用方程性 质求解 例 1 用 n种不同颜色为下列两块广告牌 着色 如图 1所示 要求在图 1 各区 域中分别着一种颜色 并且相邻 有公共边界 的区域不用同一种颜色 1 若 n 6 为甲着色时共有多少种不同 方法 2 若为乙着色时共有 120种不同方法 求 n 分析 1 完成着色可分四个步骤 可依次 考虑为 着色时 各自的方法数 再 由分步计数原理可求出着色方法数 2 可利 用 1 的方法根据条件列出方程求解 解 1 给 着色有 6种方法 给 着色 有 5种方法 给 着色有 4种方法 给 着色 有 4种方法 因此 总共有着色方法为 6 5 4 4 480 种 2 给 着色有 n种方法 给 着色有 n 1种方法 给 着色有 n 2种方法 给 着 色 n 3种方法 由题意得 n n 1 n 2 n 3 120 化为 n 2 3n n 2 3n 2 120 0 即 n 2 3n 2 2 n 2 3n 12 10 0 由十字相乘法分解因式 有 n 2 3n 12 n 2 3n 10 0 所以 n 2 3n 10 0 或 n 2 3n 12 0 因 0 舍去 所以 n 5或 n 2 舍去 所以 n 5 若注意到 n n 1 n 2 n 3 是连续 正整数之积 而 120 5 4 3 2 易得 n 5 评注 此题用方程的思想方法求解 思路清 晰 过程简捷 方程的思想方法是解决数学问题 的常用方法之一 二 整体思想 整体的思想方法 体现在排列组合解题中 就是不着眼于问题的 某些细节 有且仅有 1人对号 有且仅有 2人对号 直接求 解较困难 而反面只有 2种情况 全对号 有且 仅有 3人对号 解 考虑问题的反面 全对号只有 1种方 法 3人对号入座有 C 3 5种方法 其余两人不对号 入座有 1种情况 由计数原理 反面情况共有 1 C 3 5 1 11种 5人全排列有 A 5 5种 所以满足 要求的坐法为 A 5 5 1 C 3 5 1 109种 评注 使用补集思想解题的关键是正确找 到问题的 反面 2 这两人有一人入选 此时又有该人参 加英语或日语两种可能 因此有 C 1 2 C 3 5 C 4 4 C 4 5 C 1 2 C 3 4 60 种 3 这两人均入选 这时又分三种情况 两 人都译英语 两人都译日语 两人各译一个语 种 共有 C 2 2 C 2 5 C 4 4 C 4 5 C 2 2 C 2 4 C 1 2 C 3 5 C 3 4 120 种 综上所述 共有 185种选派方式 评注 使用分类讨论思想解题时 划分标准 十分重要 这个标准应该是科学的 合理的 要 满足互斥 无漏 最简的原则 五 数形结合思想 根据已知条件的特点 画出图形 利用图形 的直观性求解问题 例 5 新年前某宿舍的 4位同学各写 1张 贺卡 先集中起来 然后每人从中拿一张别人送 出的贺卡 则 4张贺卡的不同分配方式有 A 6种 B 9种 C 11种 D 23种 分析 由于排列要按一定的次序 而且又要 避免重复和遗漏 往往用树形图或框图 解 设 4张贺卡分别记为 A B C D 由题 意 某人 不妨设 A 卡的供卡人 取卡的情况有 3种 将卡的不同分配方式分为三类 对于每一 类 其他人依次取卡分步进行 其树形图如图 2 所示 所以共有 9种不同的分配方法 评注 解题时 若借助数形结合思想 把问 题直观化 形象化 有利于问题的解决 六 转化与化归思想 转化与化归的思想方法是数学中最基本的 思想方法 它的原则就是将不熟悉和难解的问 题转化为熟悉的易解的或已经解决的问题 将 复杂问题转化为简单问题 18 数理化学习 高中版 例 6 从 1 9的九个数字中 取出五个数 进行排列 并把五个位置自右至左编号 则奇数 数字必在奇数位置上的排列有多少个 分析 将问题转化为 偶数位置上的数字 必是偶数 再从剩下七个数字中选取 3个 排列在其余三个位置上 有 A 3 7种排法 故适合 题意的排列个数是 A 2 4 A 3 7 2520 种 评注 数学大师波利亚强调 不断地变换 你的问题 解题过程就是合理地 转化 问题 的过程 根据问题的结构 选取适当的数学思想解 题 可以使解题思路更加清晰 过程更加简捷 同时这也是一种数学能力 山东省枣庄市第九中学 277100 杨惠民 排列组合应用题的 常见类型与分析方法 排列组合应用题 题型多样 解法十分灵 活 注重对思维科学性的考查 是高考的热点内 容之一 历年备考复习的经验说明 解排列组合 应用题的关键是识别题型 用对方法 下面从历 年的高考题及模拟题中 摘选一些典型题目 归 类分析解答 供复习时参考 一 相邻问题 例 1 有 8本互不相同的书 其中数学书 3 本 外文书 2本 其它书 3本 若将这些书排成一 列放在书架上 则数学书恰好排在一起 外文书 也恰好排在一起的排法共有种 结果用 数字表示 解 由于数学书排在一起 外文书也排在一 起 故可将数学书与外文书分别捆在一起 看作 两本书 再与其它 3本书一起排列 有 A 5 5 120 种排法 再将 3本数学书之间排列 有 A 3 3 6 种 2本外文书之间排列 有 A 2 2 2种 故共有 排法 A 5 5A 3 3A 2 2 1440种 评注 所谓 捆绑法 就是在解决某几个 元素相邻的问题时 将相邻的几个元素整体视 为一个大元素 与其它元素排列 然后这几个相 邻的元素再进行内部的小排列 二 相离问题 例 2 高三 一 班需要安排毕业晚会的 4 个音乐节目 2个舞蹈节目和 1个曲艺节目的演 出顺序 要求两个舞蹈节目不连排 则不同排法 的种数是 A 1800 B 3600 C 4