对凹四边形的几点思考.doc

凹多边形的几点思考 学习四边形这节时，老师详细地介绍了凸四边形，并提及另一种多边形凹多边形。这种几何图形深深得吸引了我，于是我利用课余时间，做了一些探索和总结，发现许多有关凸四边形的定理和命题，在凹四边形上也同样适用：一、顺次连接凹四边形的各边中点，得到的图形是平行四边形。（凸四边形的各边中点顺次连接，得到的图形是平行四边形。）已知：如图11：四边形ADCB是任意凹四边形，点E，F，G，H分别是是AB,BC,CD,DA的中点，连接EF,FG,GH,HE.求证：四边形EHGF是平行四边形。证明：如图，连接AC点E，F，G，H分别是是AB,BC,CD,DA的中点EF，HG分别是ABC与ACD的中位线 EF HG四边形EFGH是平行四边形。二、凹四边形的内角和为360(凸四边形的内角和为360)。已知：如图211：四边形ACBD是任意凹四边形。求证: AABCC+1=360证明：如图,连接BD.AABD+ADB=180,CCBD+CDB=180AABD+ADB +CCBD+CDB =360即: AABCC+1=360另一种证明方法如下：如图2-12连接ACDAB+ABC+BCD+1=DAB+ABC+BCD+(360-ADC)=DAB+ABC+BCD+(180-ADC)+ 180=(DAB+DAC)+ABC+(BCD+DCA)+ 180=CAB+ABC+BCA+ 180=180+180=360综上所述: 凹四边形的内角和为360.三、凹四边形的外角和为360(凸四边形的外角和为360)四边形的内外角之和为180凹四边形的外角=4180-360=360 经过更加深入的探究，我还发现：凹多边形和凸多边形之间也有许多的相似之处，并且有较多的证明方法：一、 凹边形的对角线数为 (凸边形的对角线数为 ) 图形边数对角线数4255612二、凹边形内角和为 (凸边形的内角和为)由上述探讨可知当=4时,该结论成立.现以凹五边形为例探究. （1）分割法已知:如图311，五边形ABCDE是任意凹五边形.求证: ABC+D +1=540证明：过点E作EFBC,垂足为点F。连接AF，DF。FABABFBFA=180, FAEAEFEFA=180, DEFEFDFDE=180,DCFCFDFDC=180EABBC+CDE +1=(FABFAE)+BC+(FDC+FDE)+( AEF+DEF)= 360-EFB +360-EFC 又EFB+EFC=BFC180EABBC+CDE +1=720-180=540=180(5-2)由此证明可知.点F亦可以为边BC上的任意点.即所求证的命题正确。（2）轴对称法证明：如图3-12,过点A，D作直线L,以直线L为对称轴，作点E的对称点H.连接AH,DH.分别延长AE,DE交BC于点F,G.HAED（轴对称的性质） FEGAEDHFEG又123546EABBC+CDE +1+2+FEG=EABBC+(35)+CDE +(46)+H=HABBC+CDH+H=540=180(5-2)即所求证的命题正确。*注：若点A，B，H共线，如图3-22.上述证明过程仍然成立.由此可推导得,凹边形内角和=综上所述,该结论成立.三、凹多边形外角和为360 (凸多边形的外角和为360)任意多边形的内外角之和为180凹多