高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件 1.2.2 充要条件课件 新人教A版选修21.ppt

第一章 常用逻辑用语 1 2充分条件与必要条件 1 2 2充要条件 自主预习学案 曹操赤壁兵败之后欲投南郡 除华容道外 还有一条大路 前者路险 但近50里 后者路平 但远50里 曹操发现 小路山边有数处起烟 大路并无动静 曹操推断 诸葛亮多谋 使人于山僻烧烟 他却伏兵于大路 我偏不中计 哪知这正与诸葛亮的推断吻合 曹操熟读兵书 会搬用 虚则实之 实则虚之 的原理 不如来一个实而实之 以傻卖傻 故燃炊烟 最终使曹操败走华容道 曹操的错误在于把不可靠的臆测作为已知条件 经过推理 得到的结论当然是不可靠的 充要条件 p q 既不充分也不必要条件 充分不必要 必要不充分 5 设与命题p对应的集合为a x p x 与命题q对应的集合为b x q x 若a b 则p是q的 条件 q是p的 条件 若a b 则p是q的 条件 若a b 则p是q的 条件 q是p的 条件 若a b 则p不是q的 条件 q不是p的 条件 6 p是q的充要条件是说 有了p成立 就 q成立 p不成立时 q不成立 充分 必要 充要 充分不必要 必要不充分 充分 必要 一定有 一定有 1 设a b r 则 a b 2 是 a 1且b 1 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 b 2 设a b是两个集合 则 a b a 是 a b 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 由题意得 a b a a b 反之 a b a b a 故为充要条件 选c c 3 x 1 是 x 1 x 2 0 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 a 4 设a r 则 a 1 是 直线l1 ax 2y 1 0与直线l2 x a 1 y 0平行 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析 本题主要考查充分必要条件 若两直线平行 则a a 1 2 即a2 a 2 0 a 1或 2 故a 1是两直线平行的充分不必要条件 a 5 2017 福建八县一中高二期末测试 若 x a 是 x2 2x 3 0 的充分不必要条件 则a的取值范围是 解析 x2 2x 3 0 x 3或x 1 x a 是 x2 2x 3 0 的充分不必要条件 a 1 a 1 互动探究学案 命题方向1 充要条件的判断 设x r 则 x 1 是 x3 1 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 规范解答 由于函数y x3在r上是增函数 当x 1时 x3 1成立 反过来 当x3 1时 x 1也成立 故 x 1 是 x3 1 的充要条件 故选c 典例1 c 规律总结 判断p是q的充分必要条件的两种思路 1 命题角度 判断p是q的充分必要条件 主要是判断p q及q p这两个命题是否成立 若p q成立 则p是q的充分条件 同时q是p的必要条件 若q p成立 则p是q的必要条件 同时q是p的充分条件 若二者都成立 则p与q互为充要条件 2 集合角度 关于充分条件 必要条件 充要条件 当不容易判断p q及q p的真假时 也可以从集合角度去判断 结合集合中 小集合 大集合 的关系来理解 这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的 跟踪练习1 1 设a b是实数 则 a b 0 是 ab 0 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析 本题采用特殊值法 当a 3 b 1时 a b 0 但ab0 但a b0 是 ab 0 的既不充分也不必要条件 故选d d 2 2017 福建龙岩市高二期末 设x r 则 x 1 是 x2 1 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 因为 x 1 则 x2 1 但是 x2 1 不一定有 x 1 所以 x 1 是 x2 1 成立的充分不必要条件 故选a a 典例2 a 规律方法 1 如果条件p与结论q是否成立都与数集有关 例如方程 不等式的解集 参数的取值范围等 常利用集合法来分析条件的充分性与必要性 将充要条件的讨论转化为集合间的包含关系讨论 可借助数轴等工具进行 2 用集合的关系判断充要条件时 关键抓住已知a x p x b x q x 则a b p是q的充分条件 q是p的必要条件 a 2 2017 北京理 6 设m n为非零向量 则 存在负数 使得m n 是 m n 0 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析 方法1 由题意知 m 0 n 0 设m与n的夹角为 若存在负数 使得m n 则m与n反向共线 180 m n m n cos m n 0 当90 180 时 m n 0 此时不存在负数 使得m n 故 存在负数 使得m n 是 m n 0 的充分而不必要条件 故选a a 命题方向2 利用充分条件和必要条件确定参数的取值范围 设p 4x 3 1 q x2 2a 1 x a2 a 0 若p是q的充分不必要条件 求实数a的取值范围 思路分析 此类题目首先要熟练应用函数 不等式 方程等知识求解相关范围 再利用充分条件和必要条件与集合间的关系求出参数的取值范围 典例3 规律总结 充要条件中的含参数问题 往往是通过集合的包含关系解答 跟踪练习3 已知 命题p x m 2 3 x m 是 命题q x2 3x 41或mm 3或xm 3或x m 的真子集 从而有m 1或m 3 4 即m 1或m 7 故选b b 命题方向3 充要条件的证明 思路分析 充要条件的证明可用其定义 即条件 结论且结论 条件 如果每一步的推出都是等价的 也可以把两个方面的证明合并在一起 用 写出证明 典例4 规律总结 1 充要条件的证明要确定命题中的条件和结论 要从两个方面进行证明 证充分性就是证原命题成立 证必要性就是证原命题的逆命题成立 2 证明 充要条件 一般应分两个步骤 即分别证明 充分性 与 必要性 但千万要注意 谁 是 谁 的充分条件 谁 是 谁 的必要条件 尽管证明充要条件问题中 前者可以是后者的充分条件 也可以是必要条件 但还是不能把步骤颠倒了 一般地 证明 p成立的充要条件为q 时 在证充分性时应以q为 已知条件 p是该步中要证明的 结论 即q p 证明必要性时则是以p为 已知条件 q是该步中证明的 结论 即p q 跟踪练习4 求证 一元二次方程ax2 bx c 0有一正根和一负根的充要条件是ac 0 1 探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法 先由结论寻找使之成立的必要条件 再验证它也是使结论成立的充分条件 即保证充分性和必要性都成立 变换结论为等价命题 使每一步都可逆 直接得到使命题成立的充要条件 2 求一个命题的充要条件时 往往要从两个方面进行求解 一是充分性 二是必要性 充要条件的探求 已知方程x2 2k 1 x k2 0 求使方程有两个大于1的实数根的充要条件 思路分析 方程有两个实数根 则 0 两根均大于1 则相应二次函数图象的对称轴在x 1的右侧 且x 1时对应的函数值大于0 建立不等式组求解 典例5 导师点睛 求解本题时容易出现以下错误 把 有两个大于1的实数根 理解为 有两个大于1的不等实数根 从而将 0错写为 0 只考虑判别式 0和f 1 0 却忽略了对称轴所在的区间 a 9 6 a 9 a b为非零向量 a b 是 函数f x xa b xb a 为一次函数 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 典例6 错解 cf x xa b xb a x2a b xb2 xa2 a b x2 a b x b2 a2 a b 充分性 a b a b 0 f x x b2 a2 是一次函数 必要性 f x 是一次函数 a b 0 a b 故选c 辨析 错误的原因是 在f x x b2 a2 中 忽视了 a b 从形式上认为f x 是一次函数 正解 bf x xa b xb a x2a b xb2 xa2 a b x2a b x b2 a2 a b 充分性 a b a b 0 f x x b2 a2 若 a b 则f x 是一次函数 若 a b 则f x 是常数函数 充分性不成立 必要性 f x 是一次函数 a b 0且b2 a2 0 a b且 b a 必要性成立 综上可知应选b 1 若 r 则 0 是 sin cos 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 a 2 安徽省蚌埠市2017 2018学年高二期末 直线a b不相交 是 直线a b为异面直线 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 即不充分也不必要条件 解析 异面直线一定不相交 不相交可以平行 所以 直线a b不相交 是 直线a b为异面直线 的必要不充分条件 故选b b 3 函数f x x2 mx 1的图象关于直线x 1对称的充要条件是 a m 2b m 2c m 1d m 1 解析 当m 2时 f x x2 2x 1 其图象关于直线x 1对称 反之也成立 所以函数f x x2 mx 1的图象关于直线x 1对称的充要条件是m 2 a b 5 设a b是向量 则 a b 是 a b a b 的 a 充分而