3.1.2共面向量定理

共面向量定理教学设计一、 教材分析共面向量定理是选修2-1第三章1.2节的内容，也是平面向量向空间向量的延伸。向量是近代数学中最重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量提供了一个十分有效的工具。二、 学情分析知识方面，学生之前在必修4第二章学习过平面向量，知道了向量是从诸如“位移”、“力”等物理概念中抽象出来的，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型，知道平面向量有坐标，可以进行向量加法、减法、数乘和数量积运算，平面向量共线定理，但运用起来仍感觉陌生。情感方面，学生对向量有畏惧心理，缺乏学习的主动性，需要教师引导鼓励。能力方面，本节课面对的是高中二年级的学生，他们多数已经具有一定的类比推理的能力，也具有一定的解决问题的能力。三、 教学目标：知识与技能：了解共面向量的含义，理解共面向量定理；利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题。过程与方法：运用类比的方法，自主探究向量共面的条件，并能灵活运用。情感态度与价值观：体会类比，化归的思想方法；领悟数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量。四、 教学重点、难点重点：了解共面向量的含义，理解共面向量定理；难点：利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题。五、 教法与学法 （1）类比的学习方法：通过类比平面向量共线定理，得出共面向量定理；（2）多媒体教学辅助法：运用多媒体演示向量的平移体会向量的加减法；（3）合作探究法：学生独立思考无法解决的时候教师组织学生分组讨论，合作交流；（4）讲练结合：教师对本节课的重点内容与疑问精讲后，让学生进行有针对性的练习，通过讲解和练习，使学生掌握知识，发展思维能力，使学生从学懂到学会，实现能力转化。六、教学准备：投影仪、电脑七、教学过程 1、课前准备：复习向量的定义，相等向量的定义，向量加法的三角形法则和平行四边形法则，知道向量加法满足交换律和结合律。 2、建构数学：活动1【导入】（一）新课引入首先请同学们打开选修2-1看书84页图3-1-7，在长方体中，,而在同一平面内，此时，我们称是共面向量。引入概念，一般地，能平移到同一平面的向量叫做共面向量。 问题1：请同学们回忆共线向量定理：【设计意图】引导学生回顾已学过的知识，为下面引入共面向量定理作铺垫，进一步激发学生学习下面新知识的热情。活动2【活动】（二）问题探究 问题2、同学们想一想：空间任意一个向量与两个不共线向量共面时，它们之间存在怎样的关系呢？对于空间三个向量 (不共线)，当共面时，它们可以平移到同一个平面内，根据平面向量基本定理，存在惟一的有序实数组（x，y），使得反过来，对于空间三个向量，其中不共线，如果存在有序实数组（x，y），使那么向量与共面吗?实际上，如果存在有序实数组（x，y)，使得，那么，在空间任取一点M，作 = 过点A作 (图3-1-8)，则图3-1-8 所以都在平面MAB内，即向量与向量共面。【设计意图】让学生认识到：空间向量中的共面向量定理与平面向量基本定理不仅在形式上是相同的，而且在本质上也是一致的。这是因为任意两个空间向量都可以平移到同一平面，当不共线时，可以作为基向量，向量与它们共面，也就是向量可以平移到这个平面，所以就能用线性表示。活动3【课堂互动讲练】例1 给出以下命题：用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面；已知空间四边形ABCD，则由四条线段AB，BC，CD，DA分别确定的四个向量之和为零向量；若存在有序实数组(x，y)使得 ， 则O，P，A，B四点共面；若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面；若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量共面其中正确命题的序号是_【设计意图】从错误的认识形成正确的认识，加深对向量共面的判定的理解，为共面向量定理的运用做铺垫。活动4【课堂互动讲练】例2设向量分别在两条异面直线上，M,N分别为线段AC,BD的中点，求证：向量共面。【设计意图】让学生通过本题中设计的相反向量之和为零向量，以及向量的两种表示方法，相加得到了,运用向量共面定理即可。活动5【跟踪训练】如图，在正方体中，E，F分别为和的中点证明：向量是共面向量。【设计意图】在正方体中，体会封闭图形中向量可以用首尾相连的其他向量来表示，根据中点这个特性，得到,运用向量共面定理即可。活动6【例题讲解】如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且。求证：.证明：因为M在BD上且,同理所以又。【设计意图】通过本题的研究学生更加能体会到共面向量定理在立体几何证明题中的作用。因为要证明MN/平面CDE，只要证明向量MN可以用平面CDE内的两个不共线的向量DE和DC线性表示。活动7【问题探究】对于空间任意一点O满足向量关系【设计意图】不管是整体代入还是消元法都能够得到,所以三点共线。为引入四点共面铺垫。活动8【小组讨论】能否类比联想到四点共面的问题。【设计意图】学生通过分组讨论，各抒己见，交流沟通，合作学习，深刻体会类比思想在平面向量到空间向量的应用，体验数学在结构上的和谐性，这样有助于学生理解数学的本质，形成对数学的完整认识，也有助于学生理性思维的培养。活动9【课堂互动完成例题讲解】设空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若点P满足向量关系(其中x+y+z=1)，试问：P，A,B，C四点是否共面？【设计意图】通过上一个小组讨论，大家发现由x+y+z=1,可得x=1-y-2则所以由A,B,C三点不共线，可知不共线，所以共面且具有公共起点A.从而P,A,B,C四点共面。活动10【课堂跟踪训练】已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任一点O，确定在下列条件下，点P是否与A，B，M一定共面?(1) (2)【设计意图】上一个例题的应用，可以快速看系数，也可以移项，合并，用共面向量定理。恰到好处的承上启下。活动11【推论】空间一点P位于平面MAB呐的充要条件是：存在有序实数对（x，y）使得：或对于空间任意一点O有：(其中x+y+z=1)【设计意图】加深对四点共面的充分必要条件的认识，体会代数和几何的完美统一。活动12【随堂练习】（1)已知非零向量不共线，如果，求证：A，B，C，D共面。（2） 课本86页1-6【设计意图】使用待定系数法得到，根据共面向量定理知三个向量共面且有公共起点A，所以四点共面。做书后练习题目的是让学生更好的了解教材，不能丢弃教材，因为一切高考题都来源于书本。活动13【回顾总结】本节课你学到了什么知识？学到了什么思想方法？【设计意图】通过大家的发言，我们知道本节课通过类比，由平面向量共线定理，得到空间向量共面定理及其应用。再一次完善学生的认知结构。8、 课后作业 参照共面向量定理课后作业9、 教学过程设计反思教材是教学设计的重要依据，它提供了教学活动的基本线索，这就需要我们“深入教材”、认真研究教材，但这并不等于“照搬教材”，而是要根据教学的实际需要对教材“再加工”。而本节课的教学目标是：共面向量定理及其应用，由共面向量的概念以及向量加法的三角形法则，再一次加深对平