Poisson泊松分布及应用.ppt

Poisson分布及其应用 一 Possion分布的概念Possion分布由法国数学家S D Possion创立的 用以描述罕见事件发生次数的概率分布 也可视为观察例数n很大 发生的概率 很小时二项分布B n 的极限情形 以一毫升水样中大肠杆菌数为例 设某河中 平均每毫升水中有 个大肠杆菌 从该河中随机抽取一毫升水 将1毫升水等分成n个相当于一个大肠杆菌的微小体积 则每个体积中平均大肠杆菌数为 n 这里n很大 每一个微小体积可能是水也可能是大肠杆菌 大肠杆菌数与n之比为p p很小很小 因此一毫升水样中大肠杆菌数是一罕见事件 分析 每个体积中只能有两种结果 每个体积中出现大肠杆菌数的概率均为 n 不同体积上大肠杆菌出现与否相互独立 因此 在这n个体积中出现的大肠杆菌数服从二项分布B n n 概率函数为 数学上可以证明 当n 时 P X 的极限为 若稀有事件发生数为0 1 2 其相应的概率函数为 则称此变量服从参数为 的Poisson分布 式中 X为观察单位内某稀有事件的发生数 e为自然对数的底 为常数 约等于2 71828 为Poisson分布的总体均数 n 或为观察单位内的平均发生数 Poisson分布的应用条件必须符合二项分布的三个条件 2要求 或1 接近0或1 例如0 999 例如 上例中平均每毫升水中有8个细菌 则从该河中随机抽取1毫升水中的细菌数X服从 8的Poisson分布 求1毫升水中不含细菌的概率 含1个细菌的概率 Poisson分布可视为观察例数n很大 发生的概率 很小时二项分布B n 的极限情形 当n很大时 二项分布概率的计算相当复杂 利用二项分布的Poisson近似这一性质 当n很大且 0 01 很小时 可以用Poisson分布的概率计算近似代替二项分布的概率计算 例4 7如果某地新生儿先天性心脏病的发病概率为8 那么该地120名新生儿中有4人患先天性心脏病的概率有多大 分析 新生儿先天性心脏病的发病率 8 新生儿人数n 120 其中患先天性心脏病的人数服从二项分布 因为8 较小 120较大 也可以认为患先天性心脏病的人数近似地服从Poisson分布 二 Poisson分布的特征 1 Poisson分布的总体均数与总体方差相等 均为 若从该河中随机抽取无数个1毫升水 显然1毫升水中的细菌数X各不相同 这些细菌数X的总体均数即Poisson分布的参数 而且这些细菌数X的总体方差也等于此参数 2 Possion分布的观察结果有可加性 若从总体均数为 1的Poisson分布总体中随机抽出一份样本 其中稀有事件的发生次数为X1 再独立地从总体均数为 2的Poisson分布总体中随机抽出另一份样本 其中稀有事件的发生次数为X2 则它们的合计发生数T X1 X2也服从Poisson分布 总体均数为 1 2 上述性质推广到多个Poisson分布的情形 例如 上例中 平均每毫升水含有8个细菌 从该河中独立地取水样5次 每次水样中的细菌数分别为Xi 均服从 8的Poisson分布 那么把5份水样混合 其合计菌落数也服从 40的Poisson分布 若已知参数 的取值 则可按Poisson分布的概率函数式计算不同X值时的概率 然后以X为横轴 以取值概率P为纵轴 可绘制出Poisson分布的图形 3 Poisson分布的图形特征 246810 2 24681012 4 246810121416 6 24681012141618 10 由前面的Poisson分布图可见 当总体均数 较小时 为偏峰 越小分布愈偏 随 的增大 Poisson分布的对称性越来越好 当 20时 Poisson分布近似正态分布 利用Poisson分布的正态近似性 可以解决不少Poisson分布的统计推断问题 三 Possion分布的应用 一 概率估计 二 单侧累计概率计算 若稀有事件发生次数的总体均数为 那么该稀有事件发生次数至多为k次的概率为 若稀有事件发生次数的总体均数为 那么该稀有事件发生次数至少为k次的概率为 例4 8例4 7中 至多有4人患先天性心脏病的概论有多大 至少有5人患先天性心脏病的概率有多大 至多有4人患先天性心脏病的概率为 至少有5人患先天性心脏病的概率为 例4 9实验显示某100cm2的培养皿中平均菌落数为6个 试估计该培养皿中菌落数小于3个的概率 大于1个的概率 分析 因培养皿中菌落数服从Poisson分布 因此可用Poisson分布的概率函数来计算 该培养皿中菌落数小于3个的概率 该培养皿中菌落数大于1个的概率 三 Poisson分布的正态近似法当 20时 依据Poisson分布近似正态分布的原理 可以对其总体均数进行推断 一 一组样本资料的Z检验 为Poisson分布的总体均数 0为已知的一个定值 例6 10某地十年前计划到2000年把孕产妇死亡率降到25 10万以下 2000年监测资料显示 该地区平均而言 每10万例活产儿孕产妇死亡31人 问该地区降低孕产妇死亡的目标是否达到 二 两组独立样本资料的Z检验应用条件 两总体均数均大于20 当两样本观测单位数相等时 计算检验统计量为 假设为 当两样本观测单位数不相等时 计算检验统计量为 例6 11甲 乙两检验师分别观察15名正常人末梢血嗜碱性白细胞数量 每张血片均观察200个视野 结果甲计数到嗜碱性粒细胞26个 乙计数到29个 试问两位检验师检查结果是否一致 2计算检验统计量 1建立检验假设 3确定P值和做推断 按 0 05水准 尚不能拒绝H0 尚不能认为两检验师检查结果有差异 例6 12某车间改革生产工艺前 测得三次粉尘浓度