控制系统的数学模型.ppt

第二章控制系统的数学模型 主要内容 1 数学模型的概念 建模的原则2 传递函数3 系统的结构图和信号流图 2 1数学模型的概念 2 1 1什么是数学模型 所谓的数学模型 是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式 控制系统定量分析的基础 2 1 2数学模型的特点1 相似性 不同性质的系统 具有相同的数学模型 抽象的变量和系统2 简化性和准确性 忽略次要因素 简化之 但不能太简单 结果合理3 动态模型 变量各阶导数之间关系的微分方程 性能分析4 静态模型 静态条件下 各变量之间的代数方程 放大倍数2 1 3数学模型的类型1 微分方程 时域其它模型的基础直观求解繁琐2 传递函数 复频域微分方程拉氏变换后的结果3 频率特性 频域分析方法不同 各有所长 2 1 4数学模型的建立方法1 分析法 根据系统各部分的运动机理 按有关定理列方程 合在一起 2 实验法 黑箱问题 施加某种测试信号 记录输出 用系统辨识的方法 得到数学模型 建模原则 选择合适的分析方法 确定相应的数学模型 简化 2 2系统微分方程的建立 2 2 1列写微分方程式的一般步骤1 分析系统运动的因果关系 确定系统的输入量 输出量及内部中间变量 搞清各变量之间的关系 2 忽略一些次要因素 合理简化 3 根据相关基本定律 列出各部分的原始方程式 4 列写中间变量的辅助方程 方程数与变量数相等 5 联立上述方程 消去中间变量 得到只包含输入输出的方程式 6 将方程式化成标准形 与输出有关的放在左边 与输入有关的放在右边 导数项按降阶排列 系数化为有物理意义的形式 三个基本的无源元件 质量m 弹簧k 阻尼器f对应三种阻碍运动的力 惯性力ma 弹性力ky 阻尼力fv例2 1弹簧 质量 阻尼器串联系统 试列出以外力F t 为输入量 以质量的位移y t 为输出量的运动方程式 解 遵照列写微分方程的一般步骤有 1 确定输入量为F t 输出量为y t 作用于质量m的力还有弹性阻力Fk t 和粘滞阻力Ff t 均作为中间变量 2 设系统按线性集中参数考虑 且无外力作用时 系统处于平衡状态 2 2 2机械平移系统举例 3 按牛顿第二定律列写原始方程 即 5 将以上辅助方程式代入原始方程 消去中间变量 得 6 整理方程得标准形 4 写中间变量与输出量的关系式 2 2 3电路系统举例例2 2电阻 电感 电容串联系统 R L C串联电路 试列出以ur t 为输入量 uc t 为输出量的网络微分方程式 令Tm2 m k Tf f k 则方程化为 量纲s 静态放大倍数1 K 解 1 确定输入量为ur t 输出量为uc t 中间变量为i t 4 列写中间变量i与输出变量uc的关系式 5 将上式代入原始方程 消去中间变量得 2 网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应 3 由KVL写原始方程 i t 6 整理成标准形 令T1 L R T2 RC 则方程化为 2 2 4线性微分方程的一般特征观察实际物理系统的运动方程 若用线性定常特性来描述 则方程一般具有以下形式 式中 c t 是系统的输出变量 r t 是系统的输入变量 从工程可实现的角度来看 上述微分方程满足以下约束 1 方程的系数为实常数 由系统自身参数决定 2 左端的阶次比右端的高 n m 这是因为实际物理系统均有惯性或储能元件 3 方程式两端的各项的量纲应一致 利用这点 可以检查微分方程式的正确与否 相似系统的定义 任何系统 只要它们的微分方程具有相同的形式 在方程中 占据相同位置的量 相似量 上面的例题介绍的系统 就是相似系统 直流电动机是将电能转化为机械能的一种典型的机电转换装置 在电枢控制的直流电动机中 由输入的电枢电压ua在电枢回路产生电枢电流ia 再由电枢电流ia与激磁磁通相互作用产生电磁转矩MD 从而使电枢旋转 拖动负载运动 Ra和La分别是电枢绕组总电阻和总电感 在完成能量转换的过程中 其绕组在磁场中切割磁力线会产生感应反电势Ea 其大小与 2 2 5电枢控制的直流电动机 激磁磁通及转速成正比 方向与外加电枢电压ua相反 下面推导其微分方程式 1 取电枢电压ua为控制输入 负载转矩ML为扰动输入 电动机角速度 为输出量 2 忽略电枢反应 磁滞 涡流效应等影响 当激磁电流不变if时 激磁磁通视为不变 则将变量关系看作线性关系 3 列写原始方程式电枢回路方程 电动机轴上机械运动方程 J 负载折合到电动机轴上的转动惯量 MD 电枢电流产生的电磁转矩 ML 合到电动机轴上的总负载转矩 4 列写辅助方程Ea ke ke 电势系数 由电动机结构参数确定 MD kmiakm 转矩系数 由电动机结构参数确定 5 消去中间变量 得 令机电时间常数Tm 令电磁时间常数Ta 1 当电枢电感较小时 可忽略 可简化上式如下 2 22一阶系统 2 对微型电机 转动惯量J很小 且Ra La都可忽略 测速发电机 3 随动系统中 取 为输出 4 在实际使用中 转速常用n r min 表示 设ML 0 一 复习拉氏变换及其性质1 定义记X s L x t 2 进行拉氏变换的条件1 t 0 x t 0 当t 0 x t 是分段连续 2 当t充分大后满足不等式 x t Mect M c是常数 3 性质和定理1 线性性质L ax1 t bx2 t aX1 s bX2 s 2 4线性系统的传递函数 2 微分定理 若 则 若x 1 0 x 2 0 0 x t 各重积分在t 0的值为0时 3 积分定律 X 1 0 是 x t dt在t 0的值 同理 5 初值定理如果x t 及其一阶导数是可拉氏变换的 并且 4 终值定理若x t 及其一阶导数都是可拉氏变换的 limx t 存在 并且sX s 除原点为单极点外 在j 轴上及其右半平面内应没有其它极点 则函数x t 的终值为 存在 则 6 延迟定理L x t 1 t e sX s L e atx t X s a 7 时标变换 8 卷积定理 4 举例例2 3求单位阶跃函数x t 1 t 的拉氏变换 解 例2 4求单位斜坡函数x t t的拉氏变换 解 例2 5求正弦函数x t sin t的拉氏变换 解 以上三个函数是比较常用的 还有一些常用函数的拉氏变换可查表求得 例2 6求函数x t 的拉氏变换 解 x t x1 t x2 t A 1 t A 1 t t0 例2 7求eat的拉氏变换 解 例2 8求e 0 2t的拉氏变换 解 求x 0 x 解 例2 9若 二 复习拉氏反变换1 定义由象函数X s 求原函数x t 2 求拉氏反变换的方法 根据定义 用留数定理计算上式的积分值 查表法 部分分式法一般 象函数X s 是复变量s的有理代数公式 即 通常m n a1 an b0 bm均为实数 首先将X s 的分母因式分解 则有 式中s1 sn是D s 0的根 称为X s 的极点 分两种情况讨论 1 D s 0无重根 式中ci是待定常数 称为X s 在极点si处的留数 2 D s 0有重根 设有r个重根s1 则 j 0 1 r 1 i r 1 n 3 举例例2 10 求原函数x t 解 s2 4s 3 s 3 s 1 的原函数x t 例2 11求 解 s2 2s 2 s 1 2 1 s 1 j s 1 j 的原函数x t 解 例2 12求 用拉氏变换求解微分方程的一般步骤 1 对微分方程两边进行拉氏变换 2 求解代数方程 得到微分方程在s域的解 3 求s域解的拉氏反变换 即得微分方程的解 2 4 1 线性常系数微分方程的求解 方程 初始条件 y 0 1 y 0 2 例2 13求解 解 两边取拉氏变换s2Y s sy 0 y 0 3sY s 3y 0 2Y s 5 s y t 5 2 5e t 3 2e 2t 解 设输入量为ur t 输出量为uc t 写出电路运动方程 电容初始电压为uc 0 对方程两端取拉氏变换 例2 14图2 5所示的RC电路 当开关K突然接通后 试求出电容电压uc t 的变化规律 当输入为阶跃电压ur t u01 t 时 得 式中右端第一项是由输入电压ur t 决定的分量 是当电容初始状态uc 0 0时的响应 故称零状态响应 第二项是由电容初始电压uc 0 决定的分量 是当输入电压ur t 0时的响应 故称零输入响应 由此可见 对于一定的输入电压及初始条件 原函数uc t 与其象函数Uc s 之间有单值对应关系 它们以不同形式给出了RC电路的输出电压 这种单值对应关系奠定了在复数域内建立数学模型并用以研究电路特性的基础 根据线性系统的叠加原理 将初始电压uc 0 视为一个输入作用 则可在复数域内分别研究RC电路的零状态响应及零输入响应 若令uc 0 0 则有 当输入电压uc t 给定时 其拉氏变换Uc s 亦是确定的 于是 输出电压便完全由1 RCs 1 所确定 这时 上式也可写成 上式表明 输出电压Uc s 与输入电压Ur s 之比 是s的一个有理分式函数 它只与电路的结构形式及其参数有关 故可以作为在复数域内描述RC电路输入 输出关系的数学模型 称为传递函数 记作G s Uc s G s Ur s G s Uc s Ur s 2 4 2传递函数的定义 定义 在线性 或线性化 定常系统中 初始条件为零时 系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比 称为系统的传递函数 设线性定常系统的微分方程式为 式中 r t 是输入量 c t 是输出量 在零初始条件下 对上式两端进行拉氏变换得 a0sn a1sn 1 an 1s an C s b0sm b1sm 1 am 1s am R s 求出传递函数为 2 4 3传递函数的性质 a 传递函数是一种数模 与系统的微分方程相对应 b 传递函数只适用于线性定常系统 c 传递函数是系统本身的一种属性 与输入量的大小和性质无关 d 传递函数描述的是一对确定的变量之间的传递关系 f 零初始条件有两方面的含义 一是输入在t 0以后才作用于系统 即输入及其各阶导数在t 0的值为零 二是系统在输入作用前是相对静止的 即输出量及其各阶导数在t 0的值为零 g 传递函数是在零初始条件下定义的 因而它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况 零状态解 h 传递函数一般为复变量s的有理分式 它的分母多项式是系统的特征多项式 且阶次总是大于或等于分子多项式的阶次 即n m 并且所有的系数均为实数 i 传递函数与脉冲响应一一对应 是拉氏变换与反变换的关系 j 一定的传递函数有一定的零 极点分布图与之对应 因此 传递函数的零 极点分布图也可表征系统的动态性能 因此对系统的研究 可变成对系统传函的零 极点的研究了 这就是根轨迹法 自动控制系统是由若干元件组成的 从结构及作用原理上来看 有各种不同的元件 但从动态性能或数学模型来看 却可以分成为数不多的基本环节 这就是典型环节 一般认为典型环节有6种 分述如下 1 比例环节 杠杆 齿轮系 电位器 变压器等 运动方程式c t K r t 传递函数G s K单位阶跃响应C s G s R s K sc t K 1 t 可见 当输入量r t 1 t 时 输出量c t 成比例变化 2 6典型环节及其传递函数 r t 1 c t K 2 惯性环节微分方程式 传递函数 式中 T是惯性环节时间常数 惯性环节的传递函数有一个负实极点p 1 T 无零点 1 T 单位阶跃响应 3 积分环节微分方程式 0 632 0 865 0 95 0 982 1 0 T 2T 3T 4T 传递函数 阶跃响应曲线是按指数上升的曲线 单位阶跃响应 1 1 T 当输入阶跃函数时 该环节的输出随时间直线增长 增长速度由1 T决定 当输入突然除去 积分停止 输出维持不变 故有记忆功能 4 微分环节微分方程式为 c t T t 由于阶跃信号在时刻t 0有一跃变 其他时刻均不变化 所以微分环节对阶跃输入的响应只在t 0时刻产生一个响应脉冲 理想的微分环节在物理系统中很少独立存在 常见的为带有惯性环节的微分特性 传递函数为 传递函数为 G s Ts单位阶跃响应 1 T 传递函数为 或 式中 T 0 0 1 n 1 T T称为振荡环节的时间常数 为阻尼比 n为无阻尼振荡频率 振荡环节有一对位于s左半平面的共轭极点 5 振荡环节微分方程式为 单位阶跃响应 式中 cos 1 响应曲线是按指数衰减振荡的 故称振荡环节 1 6 延迟环节微分方程式为 c t r t 传递函数为 G s e s单位阶跃响应 c t 1 t 1 1 2 7系统的结构图 2 7 1结构图的定义及基本组成1 结构图的定义定义 由具有一定函数关系的环节组成的 并标明信号流向的系统的方框图 称为系统的结构图 例如讨论过的直流电动机转速控制系统 用方框图来描述其结构和作用原理 见图 把各元件的传递函数代入方框中去 并标明两端对应的变量 就得到了系统的动态结构图 2 结构图的基本组成1 画图的4种基本元素如下 信号传递线是带有箭头的直线 箭头表示信号的传递方向 传递线上标明被传递的信号 r t R s 分支点表示信号引出或测量的位置 从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同 r t R s r t R s 方框表示对信号进行的数学运算 方框中写入元部件的传递函数 R s R s U s U s C s G s R s 相加点对两个以上的信号进行代数运算 号表示相加 可省略不写 号表示相减 2 结构图的基本作用 a 简单明了地表达了系统的组成和相互联系 可以方便地评价每一个元件对系统性能的影响 b 信号的传递严格遵照单向性原则 对于输出对输入的反作用 通过反馈支路单独表示 c 对结构图进行一定的代数运算和等效变换 可方便地求出整个系统的传递函数 2 7 2结构图的绘制步骤 1 列写每个元件的原始方程 要考虑相互间负载效应 2 设初始条件为零 对这些方程进行拉氏变换 并将每个变换后的方程 分别以一个方框的形式将因果关系 表示出来 而且这些方框中的传递函数都应具有典型环节的形式 3 将这些方框单元按信号流向连接起来 就组成完整的结构图 例2 16画出下图所示RC网络的结构图 解 1 列写各元件的原始方程式 i 2 取拉氏变换 在零初始条件下 表示成方框形式 3 将这些方框依次连接起来得图 由图可知 U s G1 s R s C s G2 s U s 消去变量U s 得C s G1 s G2 s R s G s R s 2 7 3结构图的基本连接形式1 三种基本连接形式 1 串联 相互间无负载效应的环节相串联 即前一个环节的输出是后一个环节的输入 依次按顺序连接 故环节串联后等效的传递函数等于各串联环节传递函数的乘积 2 并联 并联各环节有相同的输入量 而输出量等于各环节输出量之代数和 由图有C1 s G1 s R s C2 s G2 s R s R s C s C s C1 s C2 s 消去G1 s 和G2 s 得C s G1 s G2 s R s G s R s 故环节并联后等效的传递函数等于各并联环节传递函数的代数和 3 反馈连接 连接形式是两个方框反向并接 如图所示 相加点处做加法时为正反馈 做减法时为负反馈 由图有C s G s E s B s H s C s E s R s B s 消去B s 和E s 得C s G s R s H s C s 上式称为闭环传递函数 是反馈连接的等效传递函数 G s 前向通道传函H s 反馈通道传函H s 1单位反馈系统G s H s 开环传函 2 闭环系统的常用传递函数考察带有扰动作用下的闭环系统如图所示 它代表了常见的闭环控制系统的一般形式 1 控制输入下的闭环传递函数令D s 0有 2 扰动输入下的闭环传递函数令R s 0有 至此 可以给出求单回路闭环传递函数的一般公式为 式中负反馈时取 号 正反馈时取 号 3 两个输入量同时作用于系统的响应 4 控制输入下的误差传递函数 5 扰动输入下的误差传递函数 6 两个输入量同时作用于系统时的误差 2 7 4结构图的等效变换变换的原则 变换前后应保持信号等效 1 分支点后移 R 1 G R 2 分支点前移 C 1 G C 4 比较点前移 3 比较点后移 F F 5 比较点互换或合并 2 7 5结构图的简化对于复杂系统的结构图一般都有相互交叉的回环 当需要确定系统的传函时 就要根据结构图的等效变换先解除回环的交叉 然后按方框的连接形式等效 依次化简 例2 17用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数 解 方法1 方法2 例2 18用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数 解 2 8 1信号流图的基本概念1 定义 信号流图是表示一组联立线性代数方程的图 先看最简单的例子 有一线性系统 它由下述方程式描述 x2 a12x1式中 为输入信号 变量 x2为输出信号 变量 a12为两信号之间的传输 增益 即输出变量等于输入变量乘上传输值 若从因果关系上来看 x1为 因 x2为 果 这种因果关系 可用下图表示 x1 a12 x2 2 8信号流图及梅逊公式 a43 a44 x1 a12 x2 x3 x4 x5 a23 a34 a45 a24 a25 a32 下面通过一个例子 说明信号流图是如何构成的 设有一系统 它由下列方程组描述 x2 a12x1 a32x3x3 a23x2 a43x4x4 a24x2 a34x3 a44x4x5 a25x2 a45x4 2 信号流图的基本元素 1 节点 用来表示变量 用符号 O 表示 并在近旁标出所代表的变量 2 支路 连接两节点的定向线段 用符号 表示 支路具有两个特征 有向性限定了信号传递方向 支路方向就是信号传递的方向 用箭头表示 有权性限定了输入与输出两个变量之间的关系 支路的权用它近旁标出的传输值表示 混合节点既有输入支路 又有输出支路的节点 如图中x2 x3 3 信号流图的几个术语节点及其类别输入节点 源节点 只有输出支路的节点 它代表系统的输入变量 如图中x1 输出节点 汇节点 阱节点 只有输入支路的节点 它代表系统的输出变量 如图中x4 1 x2 通道及其类别通道从某一节点开始 沿着支路的箭头方向连续经过一些支路而终止在另一节点的路径 用经过的支路传输的乘积来表示 开通道如果通道从某一节点开始 终止在另一节点上 而且通道中的每个节点只经过一次 如a12a23a34 闭通道 回环 如果通道的终点就是起点的开通道 如a23a32 a33 自回环 前向通道从源节点到汇节点的开通道 不接触回路回路之间没有公共的节点和支路 4 信号流图的基本性质1 信号流图只能代表线性代数方程组 2 节点标志系统的变量 表示所有流向该节点的信号之和 而从该节点流向各支路的信号 均用该节点变量表示 3 信号在支路上沿箭头单向传递 后一节点变量依赖于前一节点变量 即只有 前因后果 的因果关系 4 支路相当于乘法器 信号流经支路时 被乘以支路增益而变换为另一信号 5 对于给定的系统 信号流图不唯一 2 8 2信号流图的绘制方法1 直接法例2 19RLC电路如图2 28所示 试画出信号流图 解 1 列写原始方程 2 取拉氏变换 考虑初始条件 i 0 uc 0 3 整理成因果关系 4 画出信号流图如图所示 Ur s Uc s I s uc 0 ic 0 2 翻译法例2 20画出下图所示系统的信号流图 解 按照翻译法可直接作出系统结构图所对应的信号流图 R s E1 s C s E2 s G2 s G1 s H s 系统结构图信号流图变量在信号线上 节点输入变量 输入节点比较点和引出点 混合节点信号线和方框 支路 2 8 3梅逊增益公式1 梅逊增益公式输入输出节点间总传输的一般式为 式中P 总传输 增益 n 从源节点至汇节点前向通道总数 Pk 第K条前向通路的传输 信号流图的特征式 k 余因子式 把第K条前向通道除去后的特征式 解 信号流图的组成 4个单回环 一条前向通道 1 bi dj fk bcdefgm bidj bifk djfk bidjfkP1 abcdefgh 1 1 0 1 例2 21求图所示系统的信号流图输入x0至输出x8的总传输G 例2 22已知系统的信号流图如下 求输入x1至输出x2和x3的传输 解 单回路 ac abd gi ghj aegh 两两互不接触回路 ac与gi ghj abd与gi ghjx1到x2的传输 P1 2ab 1 1 gi ghj