高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.3 最大值与最小值课件 苏教版选修11.ppt

3 3 3最大值与最小值 第3章导数及其应用 学习导航 第3章导数及其应用 1 函数的最大值与最小值如果在函数定义域i内存在x0 使得对任意的x i 总有f x f x0 则f x0 为函数f x 在定义域上的最大值 最大值是相对函数定义域整体而言的 如果存在最大值 那么最大值 如果在函数定义域i内存在x0 使得对任意的x i 总有 则f x0 为函数f x 在定义域上的 一般地 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 函数的最值必在端点处或极值点处取得 惟一 f x f x0 最小值 注意 开区间 a b 上连续函数y f x 的最值有如下几种情况 图 中的函数y f x 在开区间 a b 上有最大值无最小值 图 中的函数y f x 在开区间 a b 上有最小值无最大值 图 中的函数y f x 在开区间 a b 上既无最大值也无最小值 图 中的函数y f x 在开区间 a b 上既有最大值也有最小值 2 函数的最值与极值的区别和联系 1 函数的最值是一个整体性的概念 函数极值是在局部上对函数值的比较 具有相对性 而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况 是对整个区间上的函数值的比较 2 函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值 则最大值或最小值只能各有一个 具有惟一性 而极大值和极小值可能多于一个 也可能没有 例如 常数函数就既没有极大值也没有极小值 3 极值只能在区间内取得 最值则可以在端点处取得 有极值的不一定有最值 有最值的也未必有极值 极值有可能成为最值 最值只要不在端点处取必定是极值 3 求函数y f x 在区间 a b 上的最值的步骤第一步 求f x 在区间 a b 上的 第二步 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 注意 1 若函数在闭区间 a b 上连续单调 则最大 最小值在端点处取得 2 当连续可导函数f x 在开区间 a b 内只有一个导数为零的点时 若在这一点处f x 有极大值 或极小值 则可以判定f x 在该点处取得最大值 或最小值 这里 a b 也可以是无穷区间 极值 1 判断正误 正确的打 错误的打 1 定义在闭区间 a b 上的函数f x 一定有最大值和最小值 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则f x 的最大值是f b f x 的最小值是f a 3 定义在开区间 a b 上的函数f x 没有最大值 4 函数的所有极小值中最小的一个就是最小值 2 函数f x x3 12x 16 x 2 3 的最大值是 解析 f x 3x2 12 0 x 2 f 2 8 24 16 32 f 2 8 24 16 0 f 3 27 36 16 7 ymax 32 32 4 若函数f x g x 在区间 a b 上可导 且f x g x f a g a 则在区间 a b 上有f x 与g x 的大小关系为 解析 f x g x f x g x 单调递增 x a f x g x f a g a 即f x g x 0 即f x g x f x g x 求函数的最值 当x 0时 f x 有最小值f 0 0 当x 2 时 f x 有最大值f 2 2 f x x2 4x 3 x 3 x 1 由f x 0 解得x 1或x 3 列表 若函数f x 在闭区间 a b 上连续 在开区间 a b 上可导 则f x 在 a b 上必有最大值和最小值 其最值一定在极值点处或区间端点处取得 因此在求闭区间 a b 上连续 开区间 a b 内可导的函数的最值时 可将过程简化 即不用判断导数为零的点是极大值点还是极小值点 直接将极值点与端点的函数值进行比较 就可判定最大 小 的函数值 对于开区间 a b 内可导的函数 定义域为开区间或半开半闭区间 求最值 除求出函数的极大值 极小值外 还应考虑函数在区间端点处的函数值或画出函数的大致图象 再判定函数的最大 小 值 否则会犯错误 但定义在开区间 a b 上的可导函数 如果只有一个极值点 该极值点必为最值点 解 f x 2x 2x3 解方程2x 2x3 0 得x 0或x 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 含参数的最值问题 求函数在闭区间上的最值时 如果含有参数 则应进行分类讨论 由于函数的最值只能在极值点和端点处取得 所以只需比较极值点和端点处的函数值的大小即可 最后再将讨论的情况进行合并整理 2 已知a是实数 函数f x x2 x a 1 若f 1 3 求a的值及曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 求f x 在区间 1 0 上的最大值 函数最值的应用 有关恒成立问题 一般是转化为求函数的最值问题 即 若f x f x max 若f x c恒成立 则c f x min 求方程x3 6x2 9x 4 0的根的个数 解 法一 转化为求f x x3 6x2 9x 4的零点的个数问题 f x 3x2 12x 9 令f x 0得x 3或x 1 当x变化时 f x f x 随x变化情况如下表 又当x 时 f x x 时 f x 故f x 的图象大致如图所示 方程x3 6x2 9x 4 0的根的个数为2个 法二 转化为求f1 x x3 6x2 9x与f2 x 4图象交点的个数问题 f1 x x3 6x2 9x f 1 x 3x2 12x 9 令f 1 x 0得x 3或x 1 当x变化时 f 1 x f1 x 随x变化情况如下表 又当x 时 f1 x 当x 时 f1 x 故f1 x 与f2 x 的图象大致如图所示 由此知y f1 x 与y f2 x 图象有两个交点 故方程x3 6x2 9x 4 0的根的个数为2个 名师点评 1 方程的根就是函数的零点 也就是函数图象与x轴的交点的横坐标 因此研究方程的根的问题 可以转化为求函数的零点问题 通过研究函数的图象加以解决 2 在讨论函数的大致图象时 利用导数得到函数的单调性以及极值和最值的情况 然