高二数学上学期期末复习备考讲练 专题02 点、线、面的位置关系课件 文.ppt

第二讲点 直线 平面的位置关系 一 学习目标1 理解掌握空间点 直线 平面之间的位置关系 2 熟练应用直线 平面平行和垂直的判定及其性质解决立体几何问题 3 通过本章学习逐步提高学生的空间想像能力 学会用数学方法认识世界改造世界 1 平面 1 平面的概念 a 描述性说明 b 平面是无限伸展的 2 平面的表示 通常用希腊字母表示 如平面 通常写在一个锐角内 也可以用两个相对顶点的字母来表示 如平面bc 二 知识梳理 2 公理即推论 1 公理 即直线在平面内 或者平面经过直线 应用 检验桌面是否平 判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1 如果一条直线的两点在一个平面内 那么这条直线是所有的点都在这个平面内 2 公理2 推论 一直线和直线外一点确定一平面 两相交直线确定一平面 两平行直线确定一平面 公理2及其推论作用 它是空间内确定平面的依据 它是证明平面重合的依据 经过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 3 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号 平面 和 相交 交线是a 记作 符号语言 公理3的作用 它是判定两个平面相交的方法 它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系 交线必过公共点 它可以判断点在直线上 即证若干个点共线的重要依据 a 4 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 3 空间直线与直线之间的位置关系 1 异面直线定义 不同在任何一个平面内的两条直线 2 异面直线性质 既不平行 又不相交 3 异面直线判定 过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 4 异面直线所成角 直线a b是异面直线 经过空间任意一点o 分别引直线a a b b 则把直线a 和b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a和b所成的角 两条异面直线所成角的范围是 0 90 若两条异面直线所成的角是直角 我们就说这两条异面直线互相垂直 说明 1 判定空间直线是异面直线方法 根据异面直线的定义 异面直线的判定定理 2 在异面直线所成角定义中 空间一点o是任取的 而和点o的位置无关 3 求异面直线所成角步骤 a 利用定义构造角 可固定一条 平移另一条 或两条同时平移到某个特殊的位置 顶点选在特殊的位置上 b 证明作出的角即为所求角 c 利用三角形来求角 4 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 那么这两角相等或互补 5 空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内 有无数个公共点 6 平面与平面之间的位置关系 平行 没有公共点 相交 有一条公共直线 b 7 空间中的平行问题 1 直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内一条直线平行 则该直线与此平面平行 线线平行线面平行 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直线和交线平行 线面平行线线平行 2 平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 线面平行 面面平行 如果在两个平面内 各有两组相交直线对应平行 那么这两个平面平行 线线平行 面面平行 3 垂直于同一条直线的两个平面平行 两个平面平行的性质定理 如果两个平面平行 那么某一个平面内的直线与另一个平面平行 面面平行 线面平行 如果两个平行平面都和第三个平面相交 那么它们的交线平行 面面平行 线线平行 8 空间中的垂直问题 1 线线 面面 线面垂直的定义 两条异面直线的垂直 如果两条异面直线所成的角是直角 就说这两条异面直线互相垂直 线面垂直 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直 就说这条直线和这个平面垂直 平面和平面垂直 如果两个平面相交 所成的二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 是直二面角 平面角是直角 就说这两个平面垂直 2 垂直关系的判定和性质定理 线面垂直判定定理和性质定理判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直线垂直这个平面 性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面 那么这两条直线平行 面面垂直的判定定理和性质定理判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 性质定理 如果两个平面互相垂直 那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面 9 空间角问题 1 直线与直线所成的角 两平行直线所成的角 规定为 两条相交直线所成的角 两条直线相交其中不大于直角的角 叫这两条直线所成的角 形成两条相交直线 这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角 两条异面直线所成的角 过空间任意一点o 分别作与两条异面直线a b平行的直线 2 直线和平面所成的角 平面的平行线与平面所成的角 规定为 平面的垂线与平面所成的角 规定为 平面的斜线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角 叫做这条直线和这个平面所成的角 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角 一作 二证 三计算 在 作角 时依定义关键作射影 由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线 在解题时 注意挖掘题设中两个主要信息 1 斜线上一点到面的垂线 2 过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直 由面面垂直性质易得垂线 3 二面角和二面角的平面角 二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面 二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为顶点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫二面角的平面角 直二面角 平面角是直角的二面角叫直二面角 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角 那么这两个平面垂直 反过来 如果两个平面垂直 那么所成的二面角为直二面角 求二面角的方法定义法 在棱上选择有关点 过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法 已知二面角内一点到两个面的垂线时 过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角 三 热点题型展示 例1 如图所示 空间四边形abcd中 e f分别为ab ad的中点 g h分别在bc cd上 且bg gc dh hc 1 2 求证 1 e f g h四点共面 2 ge与hf的交点在直线ac上 证明 1 bg gc dh hc gh bd 又ef bd ef gh e f g h四点共面 2 g h不是bc cd的中点 ef gh 又ef gh eg与fh不平行 则必相交 设交点为m hf 面acd eg 面abc m 面abc且m 面acd m在面abc与面acd的交线上 m ac ge与hf的交点在直线ac上 变式练习1 如图所示 ab p cd p a d与b c分别在平面 的两侧 ac q bd r 求证 p q r三点共线 解析 ab p cd p ab cd p ab cd可确定一个平面 设为 a ab c cd b ab d cd a c b d ac bd 平面 相交 ab p ac q bd r p q r三点是平面 与平面 的公共点 p q r都在 与 的交线上 故p q r三点共线 例2 如图 在四棱锥p abcd中 菱形abcd的对角线交于点o e f分别是pc dc的中点 平面pad 平面abcd pd ad 求证 1 平面efo 平面pda 2 pd 平面abcd 3 平面pac 平面pdb 证明 1 四边形abcd是菱形 o是ac的中点 e f分别是pc dc的中点 ef pd 又ef 平面pad pd 平面pad ef 平面pad 同理fo 平面pad 而ef fo f ef fo 平面efo 平面efo 平面pda 2 平面pad 平面abcd pd ad 平面pad 平面abcd ad pd 平面pad pd 平面abcd 方法规律 1 证明两平面平行 要寻找一个平面内两相交直线平行于另一平面内两相交直线 2 利用面面垂直的性质定理可证明线面垂直 3 pd 平面abcd ac 平面abcd ac pd 四边形abcd是菱形 ac bd 又pd db d ac 平面pbd ac 平面pac 平面pac 平面pdb 变式练习2 如图 在四面体abcd中 cb cd ad bd 点e f分别是ab bd的中点 求证 1 直线ef 面acd 2 平面efc 平面bcd 证明 1 在 abd中 e f分别是ab bd的中点 ef ad 又ad 平面acd ef 平面acd 直线ef 平面acd 2 在 abd中 ad bd ef ad ef bd 在 bcd中 cd cb f为bd的中点 cf bd cf ef f bd 平面efc 又 bd 平面bcd 平面efc 平面bcd 例3 如图 正方体的棱长为1 b c bc o 求 1 ao与a c 所成角的度数 2 ao与平面abcd所成角的正切值 3 平面aob与平面aoc所成角的度数 方法规律 求线线角 线面角 面面角 先找出 或作出 它们的平面角 再用解三角形的办法求其大小 3 oc oa oc ob oa ob o oc 平面aob 又 oc 平面aoc 平面aob 平面aoc 即平面aob与平面aoc所成角的度数为90 变式练习3 如图所示 在 abc中 ab bc sa 平面abc de垂直平分sc 且分别交ac sc于点d e 又sa ab sb bc 求二面角e bd c的大小 解析 e为sc的中点 且sb bc be sc 又de sc be de e sc 平面bde bd sc 又sa 平面abc 可得sa bd sc sa s bd 平面sac 从而bd ac bd de edc为二面角e bd c的平面角 设sa ab 1 在 abc中 ab bc sb bc ac sc 2 在rt sac中 dcs 30 edc 60 即二面角e bd c为60 答案 60 例4 在四棱锥p abcd中 底面abcd是正方形 侧棱pd 底面abcd pd dc e是pc的中点 过e作ef pb于点f 1 求证 pa 平面edb 2 求证 pb 平面efd 3 求二面角c pb d的大小 解析 1 证明 连接ac交bd于点o 连接eo 底面abcd是正方形 o是ac的中点 在 pac中 eo是中位线 pa eo 又 eo 平面edb pa 平面edb pa 平面edb 2 证明 pd 底面abcd 且dc 底面abcd pd dc pd dc pdc是等腰直角三角形 又 de是斜边pc的中线 de pc pd 底面abcd pd bc 底面abcd是正方形 dc bc bc 平面pdc 又 de 平面pdc bc de bc pc c de 平面pbc 又 pb 平面pbc de pb 又 ef pb 且de ef e pb 平面efd 方法规律 证线面平行 线面垂直可用判定定理或用性质定理 变式练习4 如图 1 在边长为1的等边三角形abc中 d e分别是ab ac边上的点 ad ae f是bc的中点 af与de交于点g 将 abf沿af折起 得到如图 2 所示的三棱锥a bcf 其中bc 1 证明 de 平面bcf 2 证明 cf 平面abf 3 当ad 时 求三棱锥f deg的体积vf deg 四 课堂