3第三章多维随机变量及其分布.ppt

联合分布边沿分布条件分布 第三章多维随机变量及其分布 独立性随机变量函数的分布 本章着重讨论二维随机变量 它的很多结论不难推广到n大于2的情形 前面我们讨论了一个随机变量的情况 但在实际问题中 某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述 例如 为了研究儿童的身体发育情况 需要同时考虑身高X和体重Y 又如 考察某地区的气候情况 需要同时考虑气温X1 气压X2 风力X3和湿度X4四个随机变量 二维随机变量 3 1 定义1设X Y为定义在同一概率空间 F P 上的二个随机变量 则 X Y 称为二维随机变量 也称为二维随机向量 定义2设 X Y 为一个二维随机变量 记 称二元函数F x y 为X与Y的联合分布函数 或简称为 X Y 的分布函数 显然 几何上 若把 X Y 看成平面上随机点的坐标 则分布函数F x y 在 x y 处的函数值就是随 参见图3 1 机点 X Y 落在以 x y 为顶点 位于该点左下 方的无穷矩形内的概率 联合分布函数F x y 具有下列性质 对任意固定的x 当y2 y1时 F x y 是变量x 或y 的单调不减函数 即 对任意固定的y 当x2 x1时 对任意固定的x 对任意固定的y 关于x和关于y均右连续 即 以上性质的证明略 有 对任意固定的 利用分布函数及其几何意义不难看出 随机点 X Y 落在矩形域 内的概率为 如图 x2 y2 x2 y1 x1 y1 x1 y2 y y2 y1 x1 x2 x O 0 可以证明 若二元实值函数F x y 具有以上 注 二维随机变量 X Y 的联合分布函数必须满足 四条性质 而一维随机变量X的分布函数只须满足 三条性质 四条性质 则必存在随机变量X和Y 使F x y 是 X Y 的联合分布函数 例1判断二元函数 是否是某二维随机变量的分布函数 F x y 对任意的x1 x2 y1 y2 应有 解 作为二维随机变量的分布函数 而本题中 若取 因此 函数F x y 不能作为某二维随机变量的联合分布函数 满足性质1 3 但不满足性质4 1二维离散型随机变量 则称 X Y 为二维离散型随机变量 X Y 在各个可能取值处的概率为 定义若二维随机变量 X Y 所取的值为有限多对 设二维离散型随机变量 X Y 的所有可能取值为 或可列无穷多对 称 为 X Y 的 联合 分布律 也称为 联合 概率函数 与一维类似 X Y 的联合分布律还可以写成如下表格形式 2 可以证明 若数集 具有以上两条性质 则它必可作为某二维离散型随机变量的分布律 X Y 的分布律具有下列性质 1 例2设 X Y 的分布律为 求a的值 或 解 由分布律性质 所以 即 负值舍去 的联合分布律可求得它的联合分布函数F x y 此时有 根据 X Y 的联合分布函数F x y 的定义 由 X Y 例3设 X Y 的 求 1 P X 0 2 P Y 2 3 P X 1 Y 2 4 P X Y 2 分布律为 解 1 且事件 X 0 Y 1 X 0 Y 2 X 0 Y 3 两两互不相容 所以 P X 0 0 1 0 1 0 3 0 5 X 0 X 0 Y 1 X 0 Y 2 X 0 Y 3 P X 0 Y 1 P X 0 Y 2 P X 0 Y 3 且事件 两两互不相容 X 0 Y 1 X 1 Y 1 X 0 Y 2 X 1 Y 2 所以 3 且事件 所以 4 互不相容 解 X与Y的可能值均为1 2 3 利用概率乘法公式 例4现有1 2 3三个整数 X表示从这三个数字中随机抽取的一个整数 Y表示从1至X中随机抽取的一个整数 试求 X Y 的分布律 可得 X Y 取各对数值的概率分别是 类似地有 而 X 1 Y 2 及 X 1 Y 3 X 2 Y 3 为不可能事件 所以其概率为零 即 X Y 的分布律为 例5 二维两点分布 设X Y由下表给出 二维两点分布显然满足联合分布率的两条性质 称 X Y 服从二维两点分布 0 p 1 2二维连续型随机变量 二维随机变量 X Y 的可能取值范围则为xoy 平面上的某个或某些区域 甚至为整个平面 一维连续型随机变量X的可能取值为某个区间 或某些区间 甚至是整个数轴 一维连续型随机变量X的概率特征为存在一个概率密度函数f x 满足 类似地 我们有下面的定义 分布函数 且 设二维随机变量 X Y 的分布函数F x y 若存在非负可积函数f x y 使得对任意的实数x y 有 则称 X Y 为二维连续型随机变量 并称f x y 为 X Y 的联合密度函数 简称密度 按定义 定义 联合密度f x y 有以下性质 1 2 反之 任一定义在整个实平面上的二元函数 如果具有以上两条性质 则它必可作为某二维连续型随机向量的联合概率密度 因而在f x y 的连续点 x y 处 可由联合分布函数F x y 求出联合概率密度f x y 若f x y 在 x y 处连续 则有 由微积分的理论可知 如果已知 X Y 的概率密度f x y 则 X Y 在平面区域D内取值的概率为 由二重积分的几何意义可知 随机点 X Y 落在平面区域D上的概率在数值上等于以平面区域D为底 以曲面 为顶的曲顶柱体的体积 例6设 X Y 的联合概率密度为 求 X Y 的分布函数F x y 解 根据 当x 0 y 0时 其他区域 从而 设二维随机变量 X Y 的分布函数为 求 1 常数a b c 2 X Y 的概率密度 解 1 由分布函数的性质知 例7 从上面第二式得 从上面第三式得 再从上面第一式得 从而概率密度函数为 定义设D为平面上的有界区域 其面积为S且 下面介绍两种重要的二维连续型随机变量的分布 均匀分布与正态分布 则称 X Y 服从区域D上的均匀分布 S 0 如果二维随机变量 X Y 的概率密度为 记作 X Y UD 两个特殊情形 此时 1 D为矩形区域 2 D为圆形区域 如 X Y 在以原点为圆心 R为半径的圆域上服从均匀分布 此时 例8设 X Y 服从下列区域D上 如图 的均匀分布 求 解 如图 D的面积S 所以 X Y 的概率密度为 事件 意味着随机点落在阴影区域 其概率为 其中D 都是常数 且 则称 X Y 服从二维正态分布 记为 若二维随机变量 X Y 概率密度为 X Y 二维正态分布的图形是曲面 其中 显然f x y 0 下面证明 令 先计算 记 所以 同样可得 若令 例9 设函数g x 满足g x 0 且 问 是否为某个二维连续型 X Y 的联合密度函数 解 显然f x y 0 下面证明 所以 令 是联合密度 f x y 例10 设二维随机变量 X Y 具有概率密度 1 求分布函数F x y 2 求概率P Y X 解 F x y 即有 F x y 1 2 将 X Y 看作是平面上随机点的坐标 即有 Y X X Y G 其中G为平面xOy上直线y x及其下方的部分 于是 P Y X P X Y G 3 2边沿分布 定义 设 X Y 的联合分布函数为 F x y F1 x F x F2 y F y 令 分别称F1 x 和F2 y 为F x y 关于X和Y的边沿 根据定义可知 分布函数 由此可见 F x y 关于X和Y的边沿分布函数 下面分别研究连续型和离散型的边沿分布 对于二维连续型随机变量 X Y 若 X Y 的联合概率密度为f x y 则 分别称为 X Y 关于X和Y的边缘概率密度 即单个随机变量X和Y的概率密度 就是单个随机变量X和Y的分布函数 对于二维离散型随机变量 X Y 若 X Y 的联合概率函数为 显然有 同理 为关于X的边沿分布律 记为 称 即 为关于Y的边沿分布律 同样 称 显然 关于X或Y的边沿分布律 随机变量X或Y的分布列 也就是单个 因此 边沿分布律满足 例11 12 n 12 n Y X 设关于X和Y的联合分布律如下表 例12求例4中 X Y 关于X和Y的边缘分布律 解 X和Y的可能取值均为l 2 3 X Y 关于X的边缘分布律为 X Y 关于Y的边缘分布律为 可以将分布律与边缘分布律写在同一张表上 值得注意的是 对于二维随机变量 X Y 虽然由它的联合分布可以确定它的两个边缘分 布 但在一般情况下 由 X Y 的两个边缘分布是 不能确定 X Y 的联合分布的 例13设盒中有2个红球 3个白球 从中每次任取一球 连续取两次 X Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数 分别对有放回摸球与不放回摸球两种情形求出 X Y 的联合分布律与边缘分布律 解 1 有放回抽样 P X 0 Y 0 P X 0 Y 1 事件 X i 与 Y j 独立 i j 0 1 所以 P X 1 Y 0 P X 1 Y 1 有放回摸球情形 2 不放回抽样 类似地有 不放回摸球情形 比较两表可看出 在有放回与不放回两种情况下 X Y 的边沿分布律完全相同 但联合分布律却不 相同 这表明 X Y 的联合分布不仅反映了两个分量 的概率分布 还反映了X与Y之间的关系 若两个分量的概率分布完全相同 但分量之间的关系 却不同 则它们的联合分布律也会不同 因此在研究 二维随机变量时 不仅要考察两个分量X与Y各自的 个别性质 还需要考虑它们之间的关系 即应将 X Y 作为一个整体来研究 例14 若 X Y 服从矩形区域上的均匀分布 即联合密度为 容易证明 关于X的边沿密度为 关于Y的边沿密度为 例15 若 X Y 服从单位圆上的均匀分布 即联合密度为 求边沿密度 解 当 x 1时 f x y 0 所以 当 x 1时 即 同理可得 注 1 矩形区域 2 单位圆上的均匀分布的边沿分布不是一维均匀分布 上的均匀分布的边沿分布是一维均匀分布 例16 若 X Y 前面已经证明 X Y 1 边沿分布就是普通的分布 并无特殊的意义 只是说明 这个分布是从联合分布派生出来的 注 从联合分布可以得到其任一分量的边沿分布 但反之不一定 2 3 3条件分布 由事件的条件概率引出随机变量的条件分布 一个随机变量或向量X的条件概率分布 就是 例如 考虑一大群人 从其中随机抽取一个 在某种给定的条件下 X的概率分布 它一般采取 如下的形式 设有两个随机变量X Y 在给定了Y 取某个值或某些值的条件下 去求X的条件分布 分别以X和Y记其体重和身高 则X Y都是随机 变量 它们都有一定的概率分布 现在如限制1 7 Y 1 8 米 在这个条件下去 求X的条件分布 这就意味着要从这一大群人 中把其身高在1 7米和1 8米之间的那些人都挑 出来 然后在挑出的人群中求其体重的分布 容易想像 这个分布与不设这个条件的分布 无条件分布 是不一样的 例如 在条件分布 中体重取大值的概率会显著增加 从这个例子也看出条件分布这个概念的重要性 在本例中 弄清了X的条件分布随Y的值变化的 情况 就能了解身高对体重的影响在数量上的 刻划 由于在许多问题中有关的变量往往是彼 此有影响的 这使条件分布成为研究变量之间 相依关系的一个有力的工具 1离散型 条件分布列 设 X Y 是二维离散型随机变量 若 则称 P Y yj 0 P X xi Y yj i 1 2 为在Y yj条件下随机变量X的条件概率函数 下面分别讨论离散型和连续型的条件分布 容易验证 上述条件分布列具有分布列的两条性质 则称 为在X xi条件下随机变量Y的条件概率函数 P X xi 0 P Y yj X xi j 1 2 条件分布列 同样 若 称 记为 为在Y yj条件下X的条件分布函数 P X x Y yj 或 为在X xi条件下Y的条件分布函数 同样 称 记为 P Y y X xi 或 F x yj F y xi 显然 F x yj 不仅依赖于x且依赖于yj 2连续型 先考虑在限定a Y b的条件下 X的条件分布 有 P X x a Y b 而 P X x a Y b P a Y b P X x a Y b 由此得到 此为X的条件分布函数 对x求导 得到条件密度函数 下面研究在Y y时X的条件分布P X x Y y 设 X Y 的联合密度为f x y 显然不能使用上面的离散型的方法 因为P Y y 0 也不能使用前面a Y b 令a b 设P y Y y y 0 P X x y Y y y 则有 F x y Y y y 利用积分中值定理 存在y y y y y 使 F x y Y y y 令 y 0 如果上式极限存在 则应有 F x Y y 对上式求导数 得到其密度函数为 f x Y y 如果上式极限存在意味着fY y 0 且fY y 在y点 连续 f u y 在y点连续 但在高等概率论中 对连续不满足时也可证明上式成立 定义设连续型二维随机变量 X Y 的联合密度函 为在Y y条件下X的条件概率密度 记为fX Y x y 即 称 为在Y y条件下X的条件分布函数 记为 P X x Y y 或FX Y x y 数为f x y Y的边沿密度为fY y 且fY y 0 则称 类似地可以定义fY X y x 和FY X y x 可以证明 条件分布函数满足分布函数的三个条件 条件密度满足密度函数的两个条件 条件密度公式fX Y x y 可以改写成 这个公式相应于条件概率的公式P AB P B A P A 同样 还有 例1 设 X Y 求 解 由此可以看出 二元正态分布的条件分布仍然是正态分布 这是正态分布的一个重要性质 正态分布N 2 关于点 对称 就是分布的中心位置 而正态分布 的中心位置为 从这里可以看出 刻画了X Y之间的相依关系 若 0 则随着x的增加 Y 在X x时 的条件分 布的中心点m x 随x的增加而增加 这意味着 当x增加时 Y取大值的可能性增加 即Y有随着 X的增加而增加的倾向 如身高和体重的关系 反之 若 0 则Y有随着X的增加而减少的倾向 由于这个原因 通常把 0的情况称为 正相关 0的情况称为 负相关 例2 X Y 服从单位圆x2 y2 1上的均匀分布 当 y 1时 即X在Y y时的条件分布为区间 上的均匀分布 例3 设 X Y 的联合密度函数为 求 X的边沿密度为 解 所以 因此 同事件的独立性一样 随机变量的独立性也 3 4随机变量的独立性 X x 与 Y y 相互独立意味着 X x Y y 的 是概率统计中的一个重要的概念 我们从两个事件相互独立的概念引出两个 随机变量相互独立的概念 事件 X x 与 Y y 的积事件是 X x Y y 概率等于 X x 与 Y y 的概率的乘积 由此 引入随机变量X Y相互独立的定义 定义设X Y是两个随机变量 若对任意实数x y 则称X与Y相互独立 由此可知 随机变量X与Y相互独立 即对任意 有 实数x y 事件 X x 与 Y y 相互独立 若F x y FX x 和FY y 分别是X Y两个随机变量 F x y FX x FY y 下面分别讨论二维离散型和连续型的独立性 的联合分布函数和边缘分布函数 则 式等价于 1二维离散型随机变量的独立性 设 X Y 为二维离散型随机变量 其分布律为 边缘分布律为 X与Y相互独立的充要条件为 对一切i j 有 注意 X与Y相互独立要求对所有i j的值 式都成立 只要有一个i或j的值使得 式不成立 则X Y不独立 式也可写为 证 若 式成立 即 F x y FX x FY y 反之 若 式成立 即F x y FX x FY y 则对于任意实数x1 x2 y1 y2 其中x1 x2 y1 y2 有 P x1 X x2 FX x2 FX x1 P y1 Y y2 FY y2 FY y1 上面两式左 右端相乘 得 P x1 X x2 P y1 Y y2 Fx x2 FY y2 Fx x1 FY y2 FX x2 FY y1 FX x1 FY y1 F x2 y2 F x1 y2 F x2 y1 F x1 y1 P x1 X x2 y1 Y y2 根据概率连续性定理 令 x1 x2 y1 y2 则有 再根据x2 y2的任意性 可得 式成立 P X x2 Y y2 P X x2 P Y y2 2二维连续型随机变量的独立性 设二维连续型随机变量 X Y 的概率密度为f x y fX x fY y 分别为 X Y 关于X和Y的边缘概率密 证 若 式成立 即F x y FX x FY y 对上式两端关于x y求导 得 度 则X与Y相互独立的充要条件是 反之 若 式成立 则有 F x y FX x FY y 注 1 实际应用中 式较常用 式较少用 2若X Y独立 则由它们的边沿分布可以确定联合分布 3若X Y不独立 则称它们是相依的 例1设 X Y 的联合密度为 证 证明X Y相互独立 当x 0时 当x 0时 即 同理 因此 有 所以 X Y相互独立 例2 设X和Y的分布列为 且X Y相互独立 求 X Y 的联合分布列 解 a b 例3设 X Y 的分布律为 解 先求出边沿分布 如上表 且X与Y相互独立 求常数a b之值 Y X 123 12 a b 可得 根据 P X 2 P Y 2 b a 另一解法 再根据X与Y相互独立 得 P X 2 P Y 2 P X 2 Y 2 即 所以 a b 根据X与Y相互独立 得 所以 例4设 X Y 在以原点为圆心 半径为1的单位圆上服从均匀分布 问X与Y是否相互独立 解 X Y 的概率密度为 当 x 1时 当 x 1时 关于X的边缘密度为 同理关于Y的边缘密度为 易见 当 x 1 y 1时 例5设 X Y 证明 X Y 的概率密度为 先证充分性 设 0 此时 证明X与Y相互独立的充分必要条件是 0 若X与Y相互独立 则对任意的x y有 再证必要性 令 代入上式有 从而知 即 例6 设 X Y 的联合分布函数为 1 X Y 的联合密度函数 求 2 X Y的边沿分布函数和边沿密度函数 3 X Y是否独立 解 2 边缘分布 X Y 的联合概率密度函数为 1 因为f x y fX x fY y 因此X与Y相互独立 或F x y FX x FY y 3 例7 设 X Y 的联合分布函数为 求 1 X Y 的联合密度 2 X Y的边沿分布函数和边沿密度 3 X和Y是否独立 解 1 2 FX x F x FY y F y 3 f x y fX x fY y 不独立 我们在前面曾讨论了联合分布与边缘分布的关系 是不能确定联合分布的 然而由随机变量相互独立 的定义及充要条件可知 当X与Y独立时 X Y 的分布 可由它的两个边缘分布完全确定 联合分布可确定边缘分布 但一般情形下 边缘分布 解 由已知条件得X Y的概率密度分别为 例8设X与Y为相互独立的随机变量 X在 1 1 上服从均匀分布 Y服从参数 2的指数分布 求 X Y 的概率密度 因为X与Y相互独立 所以 X Y 的概率密度为 最后需要说明的是 根据X和Y相互独立的定义 还可以得出 fX Y x y fX x 或fY X y x fY y P X x Y y P X x P a1 X b1 a2 Y b2 P a1 X b1 P a2 Y b2 等等 即FX Y x y FX x 在实际问题中 判断两个随机变量是否相互独立 往往不是用数学定义去验证 而是由随机变量的实际意义 去考证它们是否相互独立 如掷两颗骰子的试验中 两颗 骰子出现的点数 两个彼此没有联系的工厂一天产品 中各自出现的废品件数等都可以认为是相互独立的随 机变量 3 5两个随机变量的函数的分布 一般地 设 X Y 的联合密度为f x y FZ z P Z z 对FZ z 求导 可得fZ z 而Z g X Y 则 但是 在一般情况下 积分区域g x y z较难确定 P g X Y z 而Z g X Y 离散型的情况完全类似 设 X Y 的联合分布率为P X xi Y yj pij i j 1 2 则Z的分布律为 P Z zk P g X Y zk 例1 设X和Y的分布列为 且X Y相互独立 解 一和的分布 X Y 的联合分布律为 求 Z2 X Y Z1 X Y 的分布列 p X Y Z1 X YZ2 X Y 0 18 1 2 3 1 1 4 5 3 3 2 51 3 4 7 1 0 12 0 42 0 28 所以 Z1和Z2的分布列为 Z1 Z2 357 0 180 540 28 3 11 0 120 460 42 定理 离散卷积公式 设X和Y是相互独立的随机变量 它们都取非负整数值 其分布列分别为 ak 和 bk k 0 1 2 则Z X Y的分布列为 n 0 1 2 证 Z n X Y n 再根据X和Y的独立性 有 P Z n P X Y n P X 0 P Y n P X 1 P Y n 1 P X n P Y 0 P X 0 Y n P X 1 Y n 1 P X n Y 0 a0bn a1bn 1 anb0 X 0 Y n X 1 Y n 1 X n Y 0 例2 设X和Y相互独立 且分别服从参数为 1和 2的泊松分布 求Z X Y的分布 P Z n P X Y n 解 Z的可能取值为0 1 2 n 0 1 2 此式说明 两个独立的且均服从泊松分布的随机变量 其和也服从泊松分布 Z X Y P 1 2 例3 设X和Y相互独立 且X B n1 p Y B n2 p 求Z X Y的分布 P Z n 解 Z的可能取值为0 1 2 n1 n2 n 0 1 2 n1 n2 所以 Z X Y B n1 n2 p 证明中用到 此式是由 即Z X Y B n1 n2 p 比较等式两端xn的系数所得到 例4 设 X Y 的联合分布律为 求 1 Z X Y 2 Z X Y 3 Z XY 5 Z max X Y 4 的分布列 解 1 Z X Y 由此可得各函数的分布列 定理 若 X Y 的联合密度为f x y 则Z X Y为连续型 其密度为 证 FZ z P Z z P X Y z 令y v x 得 因此 FZ z 此时 FZ z 已经表示为方括号内函数的变上限积分 于是 Z X Y仍是连续型 且 fZ z 同理 改变积分次序可得另一表达式 fZ z 特别地 当X和Y相互独立时 上面两式变为 fZ z 这两个公式称为fX x 和fY y 的卷积公式 褶积公式 记为fX x fY y 即fX x fY y 或fX x fY y 定理 若X和Y均为连续型随机变量且相互独立 则Z X Y也是连续型随机变量 并且其密 度函数为X和Y的密度函数的卷积 解 因为X Y都服从N 0 1 所以 例5 设X和Y相互独立 且它们都服从N 0 1 则 Z X Y服从N 0 2 因为X和Y相互独立 用卷积公式可得 此处用到 所以Z X Y N 0 一般地 若X和Y相互独立 且分别服从 逆命题也成立 若Z X Y服从正态分布 且 N 1 12 N 2 22 则Z X Y N 1 2 12 22 X Y相互独立 则X和Y都服从正态分布 称为正态 分布的 再生性 证明较难 不难证明 即使X Y不独立 只要其联合分布为二 维正态分布N 1 12 2 22 则Z X Y仍为正 态 且Z X Y N 1 2 12 22 2 1 2 例6 解 因为X和Y相互独立 所以 X Y 的联合密度为 f x y fX x fY y Z的分布函数 FZ z P Z z P X2 Y2 z 当z 0时 FZ z 0 设X和Y相互独立 且都服从N 0 1 求Z X2 Y2的分布 当z 0时 FZ z 所以 FZ z 例7 解 要使卷积公式 中被积函数不为0 必须有x 0且z x 0 当z 0时 设X和Y相互独立 且都服从 1的指数分布 求Z X Y的分布 即0 x z fZ z 0 fZ z 当z 0时 由此可见 指数分布的卷积不再是指数分布 fZ z fZ z 所以 例8 设X和Y相互独立 X N 2 求Z X Y的概率密度 Y在 上服从均匀分布 解 因为X Y相互独立 根据卷积公式 FN z 1 1 FX z 1 FY z 二极大极小分布 设X和Y相互独立 它们的分布函数分别为FX x 和FY y 又设M max X Y N min X Y 则M N的分布函数分别为 FM z FX z FY z 证 FM z 因为事件 max X Y z 等价于 X z Y z FX z FY z P X z Y z P M z P max X Y z P X z P Y z 所以 FN z 1 P X z Y z 1 P X z P Y z 1 1 FX z 1 FY z 同样 P N z 1 P N z N min X Y 1 P min X Y z 设 X Y 的联合密度为 例9 求max X Y 和 min X Y 的分布 解 注意 此题并没有说X Y相互独立 不能套用前面的公式 设Z max X Y 1 当z 0时 FZ z P Z z P max X Y z P X z Y z 0 当z 1时 FZ z P Z z P X z Y z P X 1 Y 1 1 当0 z 1时 FZ z P X z Y z z3 所以 Z max X Y 的分布为 2 设Z min X Y 当z 0时 FZ z P Z z P min X Y z 1 P min X Y z 1 P X z Y z 1 1 0 当z 1时 FZ z P min X Y z 1 P X z Y z 当0 z 1时 FZ z P min X Y z 1 P X z Y z 1 0 1 综上 Z min X Y 的分布为 例10 设 X Y 的联合密度为 求Z X Y的密度 当z 0时 解 如图 FZ z 0 当z 1时 FZ z 1 y 1 当0 z 1时 FZ z P Z z P X Y z 1 P X Y z 所以 fZ z 1 3 6n维随机变量 定义 若随机变量X1 X2 Xn定义在同一概率空间 F P 上 变量或n维随机向量 则称 X1 X2 Xn 为一个n维随机 Xi称为第i i 1 2 n 个分量 固然可以对每一个分量单独研究 但把它们 作为一个整体 则不仅能研究各个分量的性质 还可以考察它们之间的联系 称n元函数 x1 x2 xn n维随机变量的分布 一 定义 为n维随机变量 X1 X2 Xn 的联合分布函数 F x1 x2 xn P X1 x1 X2 x2 Xn xn 类似一维随机变量的情形 可以证明n元联合 分布函数的一些性质 n维随机变量也有离散型和连续型之分 关于每个变量单调不降 例如 关于每个变量 右连续 以及 F x1 x2 xn 0 F 1 若n维随机变量 X1 X2 Xn 的每一个分量Xi 都是离散型 则称 X1 X2 Xn 是离散型的 若Xi i 1 2 n 的所有可能取值为 称为 X1 X2 Xn 的概率函数 联合分布律 ai1 ai2 则事件 的概率 p j1 j2 jn j1 j2 jn 1 2 X1 X2 Xn 的概率函数满足 p j1 j2 jn 0 1 2 F x1 x2 xn 若存在n元非负函数f x1 x2 xn 使 对于任意实数x1 x2 xn 有 则称 n维随机变量 X1 X2 Xn 是连续型的 n元函数f x1 x2 xn 称为联合密度函数 密度函数满足 f x1 x2 xn 0 1 2 均匀分布和正态分布是比较常见的两种多维 连续型分布 若G为Rn中的有限区域 其测度S 0 则由密度函数 f x1 x2 xn 给出的分布称为G上的均匀分布 若B bij 是n阶正定矩阵 用B 1 rij 表示B的逆矩阵 B 表示B的行列式的值 a a1 a2 an 是任意实值行向量 则由密度函数 定义的分布称为n元正态分布 简记N a B 这个密度函数也可改写为向量形式 f x1 x2 xn f x 此处 x a T是 x a 的转置 x x1 x2 xn n 2时 二元正态分布 B称为协方差矩阵 例如 a1 1 a2 2 二边沿分布 X1 X2 Xk 的 F x1 x2 xn 令 F1 2 k x1 x2 xk F x1 x2