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文档简介

第7课时 合情推理与演绎推理一、复习要求1.了解合情推理的含义,利用归纳与类比等进行简单的推理。2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能进行简单的推理。二、知识回顾1、我们学过的合情推理包括 和 。2、从 出发,推出某个 ,这种推理成为演绎推理。是由 到 的推理。3、三段论推理的一般模式(用符号表示):(1)大前提: .(2)小前提: .(3)结论: .4、尽可能少地选取 和不加证明的 (公理、公设),以此为出发点,应用 ,推出尽可能多的结论的方法,称为公理化方法。三、典型例题例1 从平面外一点向这个平面引两条斜线,它们的夹角为,这两条斜线在平面内的射影夹角为,如果、(0,),判断、的大小( )。A. = B. C. D. 、大小不定 设AB平面BCD,BC、BD是AC、AD在平面BCD 内的射影,CBD=,CAD=。(见图1) 观察图1,凭直觉似应选B:;再观察图2,我们视ABD和ABE是两个叠合在一起的直角三角形,可立得=EADEBD=0;如果我们把问题特殊化,设AB=BE=1,AD=2,BD= ,点C是点E以AB为轴旋转所至,那么,当点C刚刚离开点E一丁点时,凭直觉仍有;但把点C旋转至与点B、E共线位置时,则有=/3+/4=;再考虑到、从到的大小变化是连续的,则直觉告诉我们应该在某一时刻恰好=。现证明如下:设CD=x,在CAD和CBD中,依余弦定理得,COS= ,COS= ,如果 = ,化简得x=0,故方程在,上有解,所以,点C离开点E旋转到某一位置,可使COS= COS,根据0,得,=;综上所述,本题中、大小不定,应选D。点评:本题的解决虽然没有离开逻辑思维,但对逻辑思维模式有所突破,充分体现了合情推理、直觉判断、大胆猜想、小心求证的数学方法,这其中推理者的思维过程,是内在的、有序的、深刻的,且具有鲜明的个性化特征,绝非套用来自“题型教学”的所谓固定程式所至。经常进行此类问题的解题训练,强化合情推理的教育功能,对学生摆脱“题型教学”的羁绊是大有裨益的。例2 观察以下各等式:,分析上述各式的共同特点,猜想出反映一般规律的等式,并对等式的正确性作出证明。猜想:。 证明: 例3 已知数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列;是公差为的等差数列;是公差为的等差数列().(1)若,求;(2)试写出关于的关系式,并求的取值范围;(3)续写已知数列,使得是公差为的等差数列,依次类推,把已知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题(2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论? 解:(1). (2), ,当时,. (3)所给数列可推广为无穷数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列,当时,数列是公差为的等差数列. 研究的问题可以是:试写出关于的关系式,并求的取值范围. 研究的结论可以是:由, 依次类推可得 当时,的取值范围为等. 四、基础测试课后评测7一、 选择题1、 下列表述正确的是( ). 归纳推理是由部分到整体的推理;归纳推理是由一般到一般的推理;演绎推理是由一般到特殊的推理;类比推理是由特殊到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理. A; B; C; D.2、下面使用类比推理正确的是 ( ). A.“若,则”类推出“若,则”B.“若”类推出“” C.“若” 类推出“ (c0)”D.“” 类推出“”3、 有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线平面,直线平面,直线平面,则直线直线”的结论显然是错误的,这是因为 ( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误4、当1,2,3,4,5,6时,比较和的大小并猜想 ( ).A.时, B. 时,C. 时, D. 时,二、 填空题5、一同学在电脑中打出如下若干个圈:若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的的个数是 。6、 类比平面几何中的勾股定理:若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直,则三角形三边长之间满足关系:。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直,则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为: .7、从,,,,推广到第个等式为_.8、已知a1=3,an+1=,试通过计算a2,a3,a4,a5的值,推测出an_.9、对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题: “ ”,这个类比命题的真假性是 。10、平面内的1条直线把平面分成两部分,2条直线把平面分成4部分,3条相交直线但不共点的直线把平面分成7部分, n条彼此相交而无3条直线共点的直线把平面分成 部分。11、若数列an,(nN)是等差数列,则有数列bn=(nN)也是等差数列,类比上述性质,相应地:若数列cn是等比数列,且cn0(nN),则有dn=_ (nN)也是等比数列。 参考答案课后评测71、D 2、C 3、A 4、D 5、146、7、8、 9、如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直,则这两个二面角相等或互补。(答案不唯一)假命题。 10、 11、第8课时 直接证明与间接证明一、复习要求1.了解直接证明的两种基本方法:分析法与综合法,了解两种方法的思考过程与特点。2.了解间接证明的一种基本方法:反证法,了解他的思考过程与特点。二、知识回顾1.证明分为 与 ,直接证明包括 、 等;间接证明主要是 .2.综合法:(1)一般的,利用 等,经过一系列 ,最后 ,这种证明方法叫做综合法。(2).综合法的模式;若用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:3.分析法:一般的,从 出发,逐步寻找使它成立的 ,直至最后,把要证明的结论归结为 (已知条件、定义、定理、公理等)。这种证明方法叫做分析法。4.反证法:一般的,假设 (即在原命题的条件下,结论不成立),经过 ,最后得出 ,因此说明 ,从而 ,这样的证明方法叫做反证法。5、数学归纳法证明的步骤:(1)归纳奠基: ;(2)归纳递推: . 三、典型例题例1、设a,b,x,yR,且,试证。分析:可以用综合法与分析法-略例2、若a,b,c均为实数,且,,求证:a,b,c中至少有一个大于0。分析:可以用反证法-略例3、求证:对任意自然数n都成立。分析:从问题的反面促进学生对归纳原理的理解, 学生验证了n=1时成立后,假设n=k时,等式成立;而令n=k+1得到当学生大惑不解时,老师提出,若n=k+1时等式成立,就应该有,解出k=1或2,这说明根据k=1时等式成立能推出k=2时等式成立;根据k=2时等式成立能推出k=3时等式成立;而k=3时虽等式成立,但推不出k=4时等式成立,所以,原命题不正确,这例子是何等深刻。四、基础测试课后评测8一、选择题1、用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是( )(A)假设三内角都不大于60度; (B) 假设三内角都大于60度;(C) 假设三内角至多有一个大于60度;(D) 假设三内角至多有两个大于60度。2、对“a,b,c是不全相等的正数”,给出两个判断:;不能同时成立,下列说法正确的是( ) A对错B错对C对对 D错错3、某个命题与正整数n有关,如果当时命题成立,那么可推得当时命题也成立. 现已知当时该命题不成立,那么可推得( )A当n=6时该命题不成立B当n=6时该命题成立C当n=8时该命题不成立D当n=8时该命题成立4、则下列等式不能成立的是( )A BC D (其中)二、填空题5、数列中,a1=1,Sn表示前n项和,且Sn,Sn+1,2S1成等差数列,通过计算S1,S2,S3,猜想当n1时,Sn= . 6、利用数学归纳法证明“1aa2an1= (a1,nN)”,在验证n=1成立时,左边应该是 .7、由图(1)有面积关系。则由图(2)有体积关系:= . 8、已知,,则 三、解答题9、求证:(1) (2) 10、已知数列an满足Snan2n1,(1)写出a1, a2, a3,并推测an的表达式;(2)用数学归纳法证明所得的结论。11、已知函数,证明:(1)经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于轴。(2)这个函数的图像关于直线成轴对称图形。参考答案课后评测81、B 2、A 3、A 4、C 5、 6、1aa27、 8、9、证明:(1) ,则, ;将此三式相加得,. (2)要证原不等式成立只需证(+)(2+),即证。上式显然成立, 原不等式成立.10、解:(1) a1, a2, a3, 猜测 an2 (2) 由(1)已得当n1时,命题成立;假设nk时,命题成立,即 ak2,当nk1时, a1a2akak1ak12(k1)1, 且a1a2ak2k1ak 2k1ak2ak12(k1)12k3, 2ak122, ak12, 即当nk1时,命题成立.根据得nN*, an2都成立. 11、解:(1)设时函数图像上任意两个不同的点,则,且,即,故直线AB不平行于x轴。(2)设A是函数图像上的任意一个点,则且,否则有,得2=1,这是不可能的。因此由式得:此式表示:点A关于直线y=x的对称点在函数图像上,由于A的任意性,知函数的图像关于直线y=x成轴对称图形。练习(三)一、选择题1数列中的等于( ) A B C D2设则( ) A都不大于 B都不小于 C至少有一个不大于 D至少有一个不小于3已知正六边形,在下列表达式;中,与等价的有( ) A个 B个 C个 D个4如果为各项都大于零的等差数列,公差,则( ) A B C D5函数在点处的导数是 ( ) A B C D二、填空题1从中得出的一般性结论是_。2已知实数,且函数有最小值,则=_。3已知是不相等的正数,则的大小关系是_。4若正整数满足,则5若数列中,则。三、解答题1观察(1)(2)由以上两式成立,推广到一般结论,写出你的推论。2设函数中,均为整数,且均为奇数。 求证:无整数根。3的三个内角成等差数列,求证:4设图像的一条对称轴是. (1)求的值; (2)求的增区间; (3)证明直线与函数的图象不相切。参考答案一、选择题1B 推出2D ,三者不能都小于3D ; ;,都是对的4 B 由知道C不对,举例5 D 二、填空题1 注意左边共有项2

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