概率论与数理统计期末试题.doc

1(4分)一袋中有4个白球，4个红球，2个黑球，现作有放回抽取3次，每次从中取一个，求下列事件的概率。 (1)第三次才取到白球 (2)3个颜色不全相同解:设为“第三次才取到白球”的事件；为“3个颜色不全相同”的事件(1) (2) 2(6分)设随机变量的概率密度为又知，求()的取值范围，(2)的分布函数解：(1) 显然故满足的的取值范围是(2) 的分布函数3、(9分)设连续型随机变量的分布函数为求(1)常数；(2)密度函数；()解：(1) 由(2) 的密度函数(3) 3、(13分) 设离散型随机变量具有分布律 0.25 2 0.15 (1) 求常数；(2)求的分布函数；(3)计算；(4) 求的分布律；(5)计算.解：(1) 由分布律的性质(2) 的分布函数(3) (4) 的分布律为 2 5 6 0.15 0.45 0.4(5) 4(10分)设的联合密度函数(1) 求常数； (2)求关于X及关于Y的边缘密度函数；(3) X与Y是否独立？说明理由。解：(1) 由联合密度函数的性质(2) X的边缘密度函数Y的边缘密度函数(3) 由于，故X与Y不相互独立5(6分)设与相互独立，其中的分布律如下，而的概率密度为已知，求230208的概率密度.解：6、已知一批产品中有是合格品，检验产品质量时，一个合格品被判为次品的概率为0.04，一个次品被判为合格品的概率为0.02， 从这批产品中任取一个产品，求其被判为合格品的概率。解：。 7、已知离散型随机变量的分布律为-101（1）求常数；（2）求的分布函数解: （1）由分布律的性质可得 （2）由（1）知的分布律为-101由分布函数的定义可得218设连续型随机变量的分布函数为：（1） 求常数；（2）求的概率密度函数.解：（1）由分布函数性质： 因此可得 （2）代入的值，可得故9二维连续型随机变量的概率密度函数为，（1）求常数；（2）求概率.解：（1）由题意可以得到 （2）把代入密度函数10总体的概率密度函数为，其中是未知参数，是来自的一个简单样本，求的最大似然估计量.解： 11已知连续型随机变量的概率密度函数为，若随机变量,求.解： 由数学期望的定义 12设随机变量X的概率密度函数为求：（1）常数；（2）EX；(3)P1X3；（4）X的分布函数F(x)解：(1)由得到1/2(2)(3)(4)当x0时，当0x2时，当x2时，F（x）=1故13设与相互独立，且服从的指数分布，服从的指数分布，试求：（1）联合概率密度与联合分布函数；（2）；（3）在取值的概率。解:（1）依题知 所以联合概率密度为当时，有所以联合分布函数 （2）； （3）14设总体X的概率密度为 其中未知参数，是取自总体的简单随机样本，用极大似然估计法求的估计量。解：设似然函数对此式取对数，即：且令可得设总体的概率密度为 15据来自总体的简单随机样本，求未知参数的最大似然估计量，此即的极大似然估计量。解：由得总体的样本的似然函数 再取对数得： 再求对的导数：令，得所以未知参数的最大似然估计量为。16将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率(1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球.解：把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果-3分（1）A=4个球全在一个盒子里共有5种等可能结果,故P(A)=5/625=1/125-5分(2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有种方法-7分4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法因此，B=恰有一个盒子有2个球共有43=360种等可能结果.故-10分17设随机变量的分布密度为(1) 求常数A; (2) 求P(1)； (3) 求的数学期望.解：（1）-3分 （2）-6分（3）-10分18设二维随机变量(,)的联合分布是1=24500.050.120.150.0710.030.100.080.1120.070.010.110.10(1) 与是否相互独立? (2) 求的分布及；解：（1）的边缘分布为-2分的边缘分布为-4分因,故与不相互独立-5分（2）的分布列为01245810P0.390.030.170.090.110.110.10因此，19某工厂有三种机床：钻床、磨床和刨床，它们的台数之比为5：3：2，它们在一定的期限内需要修理的概率分别为0.1，0.2，0.3.期限到后，随机抽检一台机床， 发现其需要修理，求这台机床为钻床的概率。解：设此机床需要修理；,所求概率 20已知连续型随机变量的概率密度函数为，（1）求常数；（2）求概率. 解：（1）由密度函数的性质 即 故（2）由题意21已知连续型随机变量的分布函数为，（1）求常数；（2）求概率；（3）求的概率密度函数.解：（1）由分布函数的性质 因此可得 （2）由分布函数的性质 （3）由密度函数的定义22已知二维连续型随机变量的联合概率密度函数为，（1）求概率；（2）求出边缘密度函数，并判断是否相互独立。解：（1）由题意 （2）由题意因，故不独立23已知二维离散型随机变量的联合分布律为-1012-10.10.050.050.100.10.1500.0510.050.050.150.15 （1） 分别求出关于的边缘分布律；（2）求解：（1）由题意关于的边缘密度函数为关于的边缘密度函数为（2）由（1）可得又的分布律为，故因此24已知总体的概率密度函数， 其中是未知参数，是来自总体的一个简单样本,求的最大似然估计量. 解： 25某商店购进甲厂生产的产品20箱, 乙厂生产的同种产品15箱, 其中甲厂每箱装有一等品74个，二等品6个；乙厂每箱装有一等品95个，二等品5个. 从这35箱中任取一箱,从中任取一个，(1)求取到二等品的概率；(2) 若取到二等品，问这个二等品来自甲厂的概率解：设:某保险人在一年中没出事故；:保险人为第类人,，则所求概率为 26设随机变量的概率密度函数为,且，求：（1）常数（2）设，求的概率密度函数.解：（1）由密度函数的性质（2）由数学期望的定义27二维随机变量的联合密度函数为：求：（1）；（2）关于的边缘密度函数；（3）条件概率.解：（1）由分布函数的性质（2）由分布函数的性质（3）由密度函数的定义设随机变量在区间(0,3)上服从均匀分布，随机变量.求：（1）的联合分布律；（2）的相关系数.解：（1）由题意（2）由题意（3）28设总体的概率密度函数为=，其中是未知参数. 设为该总体的一个容量为的简单样本.（1）求的最大似然估计量；（2）判断是否为的无偏估计量.解：（1） （2）因为 由最大似然估计的传递性，的最大似然估计量为29（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率。 解：设从箱中任取2件都是一等品 丢失等号 . 则 ； 所求概率为.30（10分）设随机变量的概率密度为 求（1）常数； （2）的分布函数； （3） 解：（1） （2）的分布函数为 （3）.31（12分）设的概率密度为 求（1）边缘概率密度； （2）； （3）的概率密度.x+y=1yy=xx0 解：（1） （2） . （3） zyz=xx0z=2x 当 时 时 所以 32设总体的概率密度为 试用来自总体的样本，求未知参数的矩估计和极大似然估计. 解：先求矩估计 故的矩估计为 再求极大似然估计 所以的极大似然估计为 .33（8分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为的泊松分布，而进入超市的每一个人购买种商品的概率为，若顾客购买商品是相互独立的， 求一天中恰有个顾客购买种商品的概率。 解：设一天中恰有个顾客购买种商品 一天中有个顾客进入超市 则 .34、（10分）设考生的外语成绩（百分制）服从正态分布，平均成绩（即参数之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生的成绩，以表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）的分布列. （2）和. 解：（1），其中 由 得 ，即，故 所以 . 故的分布列为 （2），.35、（10分）设在由直线及曲线所围成的区域上服从均匀分布， （1）求边缘密度和，并说明与是否独立. （2）求.y01e2xy=1/xD 解：区域的面积 的概率密度为 （1） （2）因，所以不独立. （3） .36、（8分）二维随机变量在以为顶点的三角形区 域上服从均匀分布，求的概率密度。yx+y=z101xD1 解1： 的概率密度为 设的概率密度为，则 11zy0y 当 或时 当 时 所以的密度为 解2：分布函数法，设的分布函数为，则 故的密度为 37、（9分）已知分子运动的速度具有概率密度 为的简单