材料力学第9章压杆稳定土木.ppt

第九章压杆稳定 a 木杆的横截面为矩形 1 2cm 高为3cm 当荷载重量为6kN时杆还不致破坏 b 木杆的横截面与 a 相同 高为1 4m 细长压杆 当压力为0 1KN时杆被压弯 导致破坏 a 和 b 竟相差60倍 为什么 细长压杆的破坏形式 突然产生显著的弯曲变形而使结构丧失工件能力 并非因强度不够 而是由于压杆不能保持原有直线平衡状态所致 这种现象称为失稳 问题的提出 不稳定平衡 稳定平衡 微小扰动就使小球远离原来的平衡位置 微小扰动使小球离开原来的平衡位置 但扰动撤销后小球回复到平衡位置 9 1压杆稳定的概念 随遇平衡 临界状态 稳定平衡 压杆能恢复到原 直线 状态的平衡 不稳定平衡 压杆不能恢复到原 直线 状态的平衡 实验演示 压杆的稳定性试验 失稳 注意 临界压力是压杆所具有的维持稳定平衡能力的一个力学指标 压杆丧失其稳定平衡状态而过渡到不稳定平衡状态的现象 压杆由 直线 稳定平衡过渡到微弯不稳定平衡的压力临界值 临界压力是否是作用在杆上的力 屈曲 buckling Fcr 悬索桥的索塔 1 1907年加拿大在圣劳伦斯河架奎伯克桥时 由于悬臂桁架中的一根压杆失稳 造成桥梁倒塌 9000吨钢材变成一堆废墟 压杆失稳的实例 倒塌后成为一片废墟 2 1922年冬天下大雪 美国华盛顿尼克尔卜克尔剧院由于屋顶结构中的一根压杆超载失稳 造成剧院倒塌 死98人 伤100余人 3 2000年10月25日上午10时30分 在南京电视台演播中心演播厅屋顶的浇筑混凝土施工中 因脚手架失稳 造成演播厅屋顶模板倒塌 死5人 伤35人 结构的其它失稳形态 梁的侧向失稳 侧弯 扭曲 薄壁圆筒的局部失稳 两端铰支杆受压力F作用 考察微弯平衡状态 x处截面的弯矩 挠曲线的近似微分方程 9 2两端铰支细长压杆的临界压力 引入记号 通解为 其中 A B为积分常数 由边界条件确定 边界条件为 因为临界压力是微弯平衡状态下的最小压力 所以 应取n 1 这就是两端铰支细长压杆的临界压力公式 当取n 1时 由 挠曲线方程为 其中 A为杆中点的挠度 A的数值不确定 欧拉公式与精确解曲线 精确解曲线 理想受压直杆非理想受压直杆 时 0 x l 半个正弦波 适用条件 理想压杆 轴线为直线 压力与轴线重合 材料均匀 线弹性 小变形 两端为铰支座 例 图示细长圆截面连杆 长度 直径 材料为Q235钢 E 200GPa 试计算连杆的临界载荷Fcr 解 1 细长压杆的临界载荷 2 从强度分析 半个正弦波 个正弦波 MA MB 0 MA MA 0 相当长为2l的两端简支杆 2 一端固定 一端自由 9 3不同支座条件下细长压杆的临界压力 1 两端铰支 3 一端固定 一端铰支 4 两端固定 l 0 7l Pcr l 0 5l Pcr 图形比拟 失稳时挠曲线上拐点处的弯矩为0 故可设想此处有一铰 而将压杆在挠曲线上两个拐点间的一段看成为两端铰支的杆 利用两端铰支的临界压力公式 就可得到原支承条件下的临界压力公式 两拐点间的长度 l称为原压杆的相当长度 即相当 l这么长的两端铰支杆 不同约束情况下 细长杆的临界压力欧拉公式可统一写成 长度系数 l 相当长度 欧拉公式普遍形式 两端铰支 1 一端固定 一端自由 2 一端固定 一端铰支 0 7 两端固定 0 5 问题 压杆为空间实体 在轴向力作用下如果失稳 它朝哪个方向弯 xz平面内弯 xy平面内弯 绕z轴转动 截面绕y轴转动 Pcr 维持微弯平衡状态最小的压力 1 各方向约束情况相同时 为常数 I Imin 最小形心主惯性矩 2 各方向约束情况不同时 使Pcr最小的方向为实际弯曲方向 I为挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩 朝哪个方向弯 欧拉公式 对细长杆 一 临界应力与柔度 9 4欧拉公式的适用范围经验公式 柔度 长细比 因为 cr p 欧拉公式成立的条件 欧拉公式适用范围 p Q235钢 E 206GPa p 200MPa 二 欧拉公式的适用范围 欧拉公式 小柔度杆 中柔度杆 大柔度杆 直线经验公式 临界应力总图 越大 cr越小 Pcr crA越小 越容易失稳 小柔度杆 中柔度杆 柔度 的四种取值情况 2 1 0 7 0 5 临界柔度 比例极限 屈服极限 临界应力 大柔度杆 欧拉公式 直线公式 强度问题 B 例题 A3钢制成的矩形截面杆的受力及两端约束情形如图所示 其中a为正视图 b为俯视图 在A B两处用螺栓夹紧 已知L 2 0m b 40mm E 210GPa h 60mm 求此杆的临界载荷 解 压杆AB在正视图x z平面内失稳时 A B两处可以自由转动 相当于铰链约束 在俯视图x y平面内失稳时 A B两处不能自由转动 可简化为固定端约束 在x z平面内 A3钢的 p 102 y p 属于细长压杆稳定问题 在x y平面内 A3钢的 s 61 6 s p 属于中长压杆稳定问题 故此杆的临界载荷为373kN 由表9 2查得 a 304MPa b 1 12MPa cr a b 304 1 12 86 6 207MPa Pcr crA 207 40 60 496 8kN 例题 A3钢制成的矩形截面杆的受力及两端约束情形如图所示 其中a为正视图 b为俯视图 在A B两处用螺栓夹紧 已知L 2 0m b 40mm E 210GPa h 60mm 求此杆的临界载荷 在最大柔度平面失稳 1 安全系数法 一 稳定条件 稳定安全系数 稳定许用压力 稳定许用压应力 2 折减系数法 许用应力 折减系数 与压杆的柔度和材料有关 9 5压杆的稳定校核 Q235钢折减系数表 0 10 20 30 40 50 60 70 0 842 1 000 0 995 0 981 0 958 0 927 0 888 0 789 80 90 0 731 160 0 272 0 669 170 0 243 100 0 604 180 0 218 110 0 536 190 0 197 120 0 466 200 0 180 130 0 401 140 150 0 349 0 306 插值公式 二 稳定计算 1 校核稳定性 2 设计截面尺寸 3 确定外荷载 三 注意 强度的许用应力和稳定的许用应力的区别 强度的许用应力只与材料有关 稳定的许用应力不仅与材料有关 还与压杆的支承 截面尺寸 截面形状有关 稳定计算的一般步骤 分别计算各个弯曲平面内的柔度 y z 从而得到 max 计算 s p 根据 max确定计算压杆临界压力的公式 小柔度杆 cr s 中柔度杆 cr a b 大柔度杆 计算Fcr crA 利用稳定条件 进行稳定计算 解 CD梁 AB杆 AB杆 AB为大柔度杆 AB杆满足稳定性要求 例 图示结构 立柱CD为外径D 100mm 内径d 80mm的钢管 其材料为Q235钢 3m C F B 3 5m 2m A D P 200MPa s 240MPa E 206GPa 稳定安全系数为nst 3 试求容许荷截 F 解 由杆ACB的平衡条件易求得外力F与CD杆轴向压力的关系为 A C FN F B xA yA 3m 2m 已知 外径D 100mm 内径d 80mm的钢管 两端铰支 1 p 已知 杆长l 3 5m 惯性半径i 0 032m 可用欧拉公式 由稳定条件 由平衡条件 例 图示千斤顶 已知丝杆长度l 0 375m l d P 直径为d 0 04m 材料为Q235钢 强度许用应力 160MPa 符合钢结构设计规范 GBJ17 88 中b类杆件要求 最大起重量为P 80kN 试校核该丝杆的稳定性 解 首先计算该压杆柔度 该丝杆可简化为图示下端固定 上端自由的压杆 查表 故此千斤顶稳定性足够 P l 0 375m 内插值得 0 76 解题思路 判断失稳 求临界力 稳定计算 max平面失稳 Fcr F 安全系数法 折减系数法 欧拉公式 越大越稳定 减小压杆长度l 减小长度系数 增强约束 增大截面惯性矩I 合理选择截面形状 增大弹性模量E 合理选择材料 11 6 9 6提高压杆的稳定性的措施 减小压杆长度l 减小长度系数 增强约束 增大截面惯性矩I 合理选择截面形状 合理截面是使压杆的临界压力尽可能大的截面 从横截面的角度 要使 小 只有i增大 即截面I大 尽可能使I增大 尽可能使各方向 值相等 增大弹性模量E 合理选择材料 大柔度杆 中柔度杆 但是对于各种钢材来讲 弹性模量的数值相差不大 1 大柔度杆 采用不同钢材对稳定性差别不大 2 中