1.1 集合、势及其运算.doc

第1章 集合论与测度论1.1 集合、势及其运算1.1.1 集合的基本概念定义1.1.1 由具有某种共同特点的个体构成的集体称为集合，（或：集，族，类，簇等）。集合中的个体称为元素。，（或：），空集， 或（或：或），.称为集与集的并集（或：和（集）；称为集与集的交集（或：通（集）；， ，其中称为的指标集.定义1.1.2 若（），则称集与集不相交（相交）；若的任何两个集没有公共元素，则是一个不相交的集族.定义1.1.3 称为与的差（集），（读作减去，或差）.当时，称差（集）为关于的补（集）或余集；记为.当从上下文能清楚地知道是对哪一个较大的集取余集时，的余集记为.称集为集与集的对称差，记为, 即.注 下列记号在本课程中是固定的： : 全体自然数构成的集合； 全体整数构成的集合； 全体有理数构成的集合； 全体实数构成的集合； ：全体复数构成的集合.设是一个集合，用表示的所有子集构成的集合（或：的所有子集构成的集簇，或：的所有子集构成的集类），称之为的幂集（合）。1.1.2 集合的运算1) ； （并、交的幂等性）若，则，；2) （空集是加法的零元），3) （并的交换律） （交的交换律）4) （并的结合律） （交的结合律）设是指标集，则5) ;（分配律）6) ； ；， ； （德摩根（De Mongan）律）7) ；8) ； （“减法”分配律）9) ，；10) .1.1.3 上限集、下限集及其他定义1.1.4 设是任意一列集，称 (1.1.1)为集列的上限集；它是由属于集列中无数多个集的元素的全体所组成的集合，即：.称 (1.1.2)为集列的下限集；它是由属于集列中从某个指标（这个指标不是固定的，与元素有关）以后的所有集都包含的元素的全体（即除去有限多个集外的所有集所含有的元素）所组成的集合，即.定理1.1.1 设是任意一列集，则， . (1.1.3)证 (1) 记，. 往证.对，由上限集的定义，属于中无限个集，不妨设同时属于. 于是，对任意自然数，当时，故，即.反之，对，往证：在中必有无限个集同时含有元素. In fact，取，因为，所以必存在自然数，使得；又因为，所以必存在自然数，使得；这样的过程一直进行下去，得到一列自然数，而集都含有元素，因此，于是又有.综上所述，有. (2) 记，. 往证.对，由下限集的定义，存在自然数（与有关），当时，. 于是，对，即.反之，对，往证：存在自然数，当时，. In fact，因为，所以存在自然数，使，即当时，. 因此，于是又有.综上所述，有. 证毕！ 注 若从有关集本身所具有的含义去理解，等式(1.1.3)的成立是很明显的。事实上，集正是命题“集列中从第号以后必有集包含它”成立的元素的全体，而是使命题“一切都包含它”成立的元素的全体。因此就是使命题“对，集列中必存在第号以后的集包含它”成立的元素的全体。显然，命题“对，集列中必存在第号以后的集包含它”和命题“集列中有无限个集包含它”等价，所以. 用同样方式可以考察. 性质 设是任意一列集，是任意一个集，则(1) ，； (1.1.4)(2) . (1.1.5)例1.1.1 设（）是如下一列点集：求的上限集和下限集.解 ，. ， ，；而对，存在自然数，当时，恒有；即当时，但. 换句话说，对于开区间中的点，具有充分大的奇数指标的集都含有，从而中有无限多个集含有，而充分大的偶数指标的集都不含有，即中也有无限多个集不含有. 这说明，.由. 再由，得. 而. 再由，得 . 例1.1.2 设. 类似于例1.1.1的讨论，立即得到. 定义1.1.4 若，则称集列收敛，称为集列的极限，记为.若集列满足 则称是单调增加（或单调减少）集列；单调增加和单调减少的集列统称为单调集列.性质 单调集列是收敛的；且 (1) 若是单调增加的，则；(2) 若是单调减少的，则.显然，例1.1.2中的集列就是单调减少集列，且收敛，其极限是.1.1.4 映射基本概念定义1.1.5 设和是两个非空集，若存在一个规则，使对每个元素，按照规则，在中有一个确定的元素与对应，记为；则称是集到集（中）的一个映射（或映照，或变换）。元素称为元素（在映射下）的象，记作；对任一个固定的，称满足关系的的全体为（在映射下）的原象，记作，即.的定义域是，记为；的值域是，记为.将集到集的映射也记为. 若及，则称为（在映射下）的象；称为（在映射下）的原象（或逆象）。注1 特别地，若是一个数集（实数集或复数），则映射就是定义在集上的函数；若，都是数集，则映射就是数学分析中所研究的函数。由此可见，映射的概念就是函数概念的推广.注2 对来说，即使，但也可能是空集。定义1.1.6 设和是两个非空集，是集到集的一个映射. 若，则称是到上的映射（或称是到的满射，或把映射到上）。对每一个，我们习惯上用代替.对每一个，若至多由一点组成，则称是可逆映射（或单（映）射，或一对一的映射）。换言之，若对中任意两个元素，当时，必有，则就是可逆映射。若是可逆映射，则也是一个映射，称为到的逆映射（或逆映照）；其定义域是；而值域是.若是到上的可逆映射，则称是到的一一对应（或双射）。注1 任何可逆映射一定是到的一一对应。注2 可逆映射必有逆映射。逆映射是反函数概念的推广。定义1.1.7 设及，定义到的映射为：对，则称是的复合映射，记为，即：.若且，则习惯上用代替. 1.1.5 映射的运算 设为集到集的一个映射，是的子集，是的子集，是的子集，是的子集，是的指标集；则(1) 若，则； 若，则；(2) ； ；(3) ； ；(4) ； ；(5) ； （一般地，） (6) ； ;(7) ； ； (8) ； .1.1.6 集合的特征函数定义1.1.8 设是一个非空集，是的一个子集，称上的函数为集的特征函数。（即：或）注 显然，子集与它的特征函数之间是一一对应的。特征函数与集之间的常见的重要的等价关系：(1) 等价于 ； 等价于 ；(2) 等价于 ； 等价于 ；(3) ； ；(4) 设是一列集，则； ；(5) 设是一列集，则极限存在的充分必要条件是存在；且当极限存在时，.定义1.1.9 设，是两个集，若存在一个到的一一对应，则称集与集对等（或相似），记为，或简记为. 规定：空集和自身对等.性质1 对等是一种等价关系;性质2 设，是两个集族，是指标集. 若对每个，有 且 ，则. 判断两个集合对等，常用下面的定理：伯恩斯坦（F. Bernstein, 1898）定理 设，是两个集，若对等于的一个子集，又对等于的一个子集，则.1.1.7 映射的延拓定义1.1.10 设分别是定义域到集的映射，若，且对于中的每个元素，有， 即与在上一致，则称映射是映射在上的延拓. 记成，并称映射是映射在上的部分或限制，记为.例1.1.3 设；，则就是在上的延拓，即. 例1.1.4 设；，解析函数就是的延拓. 1.1.8 集合的势1.1.8.1 基本概念定义1.1.11 设，是两个集， (1) 若，则与具有相同的势（或基数）；记的势为. 当与具有相同的势时，记为. (2) 若对等于的某个子集，则的势小于或等于的势，或称的势大于或等于的势，记为，或； 若，且，则称的势小于的势，或称的势大于的势，记为，或.注 势这个概念的直观背景就是元素的个数。两个集和，若有相同的势（或简称等势），就意味着集和集的元素的个数是“一样多”。 势的大、小就意味着元素个数的“多、少”。注意，即使，且，也不必然意味着. 伯恩斯坦定理（F. Bernstein, 1898） 若，且，则.定义1.1.12 设是自然数，记. 若集能与某个对等，则称是有限集。当时，称为集的计数.规定：空集为有限集，且其计数为零.引理1.1.1 集与其任何真子集不对等.定理1.1.2 有限集具有惟一的计数.定义1.1.13 称不是有限集的集为无限集.定理1.1.3 无限集必与它的一个真子集对等.推论1 凡不能与自己的任一真子集对等的集必是有限集.推论2 集是有限集的充分必要条件是：不能和它的真子集对等；集是无限集的充分必要条件是：能和它的某个真子集对等.定义1.1.14 凡与自然数集对等的集称为可列集（或：可数（无限）集）。可列集的势记为（读作“阿列夫零”）。注 可列集是最“小”的无限集，即任何无限集必含有一个可列子集. 定理1.1.4 可列集的任何子集，不是有限集，就是可列集.定理1.1.5 有限个或可列个有限集或可列集的并是有限集或可列集.定理1.1.6 设是有限集或可列集，则是有限集或可列集.例1.1.4 有理数的全体是可列集.例1.1.5 整系数多项式的全体是可列集.例1.1.6 代数数的全体是可列集.（整系数多项式的实数根称为代数数.）定理1.1.7 设是有限集或可列集，是任一无限集，则.定义1.1.15 称0与1之间实数的全体构成的集合的势为连续点集的势，这个势记作（读作“阿列夫”）。定理1.1.8 实数全体的势为.推论1 无理数全体的势为.推论2 设是自然数，则进位无限小数全体的势为；进位小数全体的势为.推论3 超越数全体的势为.（不是代数数的实数称为超越数。）注 推论3告诉我们：超越数不仅是存在的，而且远比代数数多。例1.1.7 设实数列全体，则.例1.1.8 设维欧几里得空间，则.例1.1.9 上实值连续函数全体的势为. 注 上实值函数全体的势.定理1.1.9 (1) 设是由两个元素作成的元素列的全体，则；(2) 若是可列集，则集的势为. 即：若，则.1.1.8.2 势的运算定义1.1.16 设，若，则规定：（势的加法）；和的乘积（集）的势规定为：（势的乘法）.注 当都是有限集时，这时势就是计数，上述规定的势的计算与计数的运算是一致的。作为对一般的集（不一定是有限集）所规定的势的上述运算也保留了计数运算的某些性质。例如：加法和乘法的结合律、分配律、交换律等等。但也有不少计数的运算所具有的性质未被保留下来。例如：定理1.1.10 设是无限集，且，是有限集，且，则必有(1) ，；(2) ，；(3) . 一般地，；(4) 是自然数