1.1集合1.2充要条件.doc

2015高考总复习1.1集合的概念与运算教学目标考点分析1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能使用Venn图表达集合的关系及运算自主梳理1集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性2元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或表示3集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法4集合间的基本关系对任意的xA，都有xB，则AB(或BA)若AB，且在B中至少有一个元素xB，但xA，则 AB(或BA)若AB且BA，则AB.5集合的运算及性质设集合A，B，则ABx|xA且xB，ABx|xA或xB设全集为S，则SAx|xS且xAA，ABA，ABB，ABAAB.AA，ABA，ABB，ABBAB.AUA；AUAU.自我检测1(2011无锡高三检测)下列集合表示同一集合的是_(填序号)M(3,2)，N(2,3)；M(x，y)|xy1，Ny|xy1；M4,5，N5,4；M1,2，N(1,2)答案2(2009辽宁改编)已知集合Mx|3x5，Nx|5x5，则MN_.答案x|3x5解析画数轴，找出两个区间的公共部分即得MNx|3x53(2010湖南)已知集合A1,2,3，B2，m，4，AB2,3，则m_.答案3解析AB2,3，3B，m3.4(2010常州五校联考)集合My|yx21，xR，集合Nx|y，xR，则MN_.答案1,3解析yx211，M1，)又y，9x20.N3,3MN1,35已知集合A1，3，a，B1，a2a1，且BA，则a_.答案1或2解析由a2a13，a1或a2，经检验符合由a2a1a，得a1，但集合中有相同元素，舍去，故a1或2.探究点一集合的基本概念例1若a，bR，集合1，ab，a0，b，求ba的值解题导引解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性解由1，ab，a0，b可知a0，则只能ab0，则有以下对应法则： 或由得符合题意；无解ba2.变式迁移1设集合A1，a，b，Ba，a2，ab，且AB，求实数a，b.解由元素的互异性知，a1，b1，a0，又由AB，得或解得a1，b0.探究点二集合间的关系例2设集合Mx|x54aa2，aR，Ny|y4b24b2，bR，则M与N之间有什么关系？解题导引一般地，对于较为复杂的两个或两个以上的集合，要判断它们之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何然后将所给集合化简整理，弄清每个集合中的元素个数或范围，再判断它们之间的关系解集合Mx|x54aa2，aRx|x(a2)21，aRx|x1，Ny|y4b24b2，bRy|y(2b1)21，bRy|y1MN.变式迁移2设集合Pm|1m0，Qm|mx24mx40对任意实数x恒成立，且mR，则集合P与Q之间的关系为_答案PQ 解析Pm|1m0，Q：或m0.1m0.Qm|1m0PQ.探究点三集合的运算例3设全集是实数集R，Ax|2x27x30，Bx|x2a0(1)当a4时，求AB和AB；(2)若(RA)BB，求实数a的取值范围解题导引解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性解(1)Ax|x3当a4时，Bx|2x2，ABx|x2，ABx|2x3(2)RAx|x3当(RA)BB时，BRA，即AB.当B，即a0时，满足BRA；当B，即a0时，Bx|x，要使BRA，需，解得a0.综上可得，a的取值范围为a.变式迁移3已知Ax|xa|3(1)若a1，求AB；(2)若ABR，求实数a的取值范围解(1)当a1时，Ax|3x5，Bx|x5ABx|3x1(2)Ax|a4xa4，Bx|x5，且ABR，1a2m1，即m2时，B，满足BA；9分若B，且满足BA，如图所示，则即2m3.13分故m2或2m3，即所求集合为m|m314分【突破思维障碍】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答【易错点剖析】(1)容易忽略a0时，S这种情况(2)想当然认为m1”或“”两种情况解答集合问题时应注意五点：1注意集合中元素的性质互异性的应用，解答时注意检验2注意描述法给出的集合的元素如y|y2x，x|y2x，(x，y)|y2x表示不同的集合3注意的特殊性在利用AB解题时，应对A是否为进行讨论4注意数形结合思想的应用在进行集合运算时要尽可能借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn图表示，元素连续时用数轴表示，同时注意端点的取舍5注意补集思想的应用在解决AB时，可以利用补集思想，先研究AB.的情况,然后取补集.课后训练 (满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1(2010北京改编)集合PxZ|0x3，MxZ|x29，则PM_.2(2011南京模拟)设P、Q为两个非空集合，定义集合PQab|aP，bQ若P0,2,5，Q1,2,6，则PQ_.3满足1A1,2,3的集合A的个数是_4(2010天津改编)设集合Ax|xa|1，xR，Bx|1x4，Nx|1，则如图中阴影部分所表示的集合是_6(2011泰州模拟)设集合A1,2，则满足AB1,2,3的集合B的个数为_7(2009天津)设全集UABxN*|lg x0，求AB和AB.10(14分)(2011南通模拟)已知集合Ax|0ax15，集合Bx|x2若BA，求实数a的取值范围11(14分)已知集合Ax|0，Bx|x22xm0，(1)当m3时，求A(RB)；(2)若ABx|1x4，求实数m的值1答案0,1,2解析由题意知：P0,1,2，M3，2，1,0,1,2,3，PM0,1,22答案1,2,3,4,6,7,8,11解析PQ1,2,3,4,6,7,8,113答案3解析A1B，其中B为2,3的子集，且B非空，显然这样的集合A有3个，即A1,2或1,3或1,2,34答案a0或a6解析由|xa|1得1xa1，即a1xa1.由图可知a11或a15，所以a0或a6.5答案x|12或x2，集合N为 x|1x3，由集合的运算，知(UM)Nx|1x26答案4解析由题意知B的元素至少含有3，因此集合B可能为3、1,3、2,3、1,2,37答案2,4,6,8解析ABxN*|lg x0x|x0(6分)如图所示，ABx|6x1x|x0R.(10分)ABx|6x1x|x0x|6x3，或0x1(14分)10解当a0时，显然BA；(2分)当a0时，若BA，如图，则(6分)a0时，如图，若BA，则(11分)0a2.(13分)综上知，当BA时，a2.(14分)11解由0，所以1x5，所以Ax|1x5(3分)(1)当m3时，Bx|1x3，则RBx|x1或x3，(6分)所以A(RB)x|3x5(10分)(2)因为Ax|1x5，ABx|1x4，(12分)所以有4224m0，解得m8.此时Bx|2x4，符合题意，故实数m的值为8.(14分)1.2命题及其关系、充分条件与必要条件学习目标考点分析1.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义 自主梳理1命题用语言、符号或式子表达的，可以叫做命题，其中判断为真的语句叫做，判断为假的语句叫做2四种命题及其关系(1)四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是原命题：若p则q(pq)；逆命题：；否命题：；逆否命题：(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假性两个命题互为命题，它们有相同的真假性两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系3充分条件与必要条件若pq，则p叫做q的条件；若qp，则p叫做q的条件；如果pq，则p叫做q的条件1判断真假的语句真命题假命题2若q则p(qp)若p则q(pq)若q则p(qp) 逆否3充分必要充要探究点一四种命题及其相互关系例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧解题导引给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定变式迁移1有下列四个命题：“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x22xq0有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题其中真命题的序号为_探究点二充要条件的判断例2给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件(1)p：x20；q：(x2)(x3)0.(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等(3)p：m2；q：方程x2xm0无实根(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等变式迁移2下列各小题中，p是q的充要条件的是_(填序号)p：m6；q：yx2mxm3有两个不同的零点；p：1；q：yf(x)是偶函数；p：cos cos ；q：tan tan ；p：ABA；q：UBUA.探究点三充要条件的证明例3设a，b，c为ABC的三边，求证：方程x22axb20与x22cxb20有公共根的充要条件是A90.变式迁移3已知ab0，求证：ab1的充要条件是a3b3aba2b20.1解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数真命题否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数真命题逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数真命题(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高真命题否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等真命题逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高假命题(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线真命题否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧真命题逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线真命题E1答案解析的逆命题是“若x，y互为相反数，则xy0”，真；的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；若q1，则44q0，所以x22xq0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假2解(1)x20(x2)(x3)0；而(x2)(x3)0x20.p是q的充分不必要条件(2)两个三角形相似两个三角形全等；但两个三角形全等两个三角形相似p是q的必要不充分条件(3)m2方程x2xm0无实根；方程x2xm0无实根m0q：m6p；当f(x)0时，由qp；若，k(kZ)时，显然cos cos ，但tan tan ；p：ABAp：ABq：UAUB.故符合题意3解题导引有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”“结论”是证明命题的充分性，由“结论”“条件”是证明命题的必要性证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性证明(1)必要性：设方程x22axb20与x22cxb20有公共根x0，则x2ax0b20，x2cx0b20，两式相减可得x0，将此式代入x2ax0b20，可得b2c2a2，故A90，(2)充分性：A90，b2c2a2，b2a2c2.将代入方程x22axb20，可得x22axa2c20，即(xac)(xac)0.将代入方程x22cxb20，可得x22cxc2a20，即(xca)(xca)0.故两方程有公共根x(ac)所以方程x22axb20与x22cxb20有公共根的充要条件是A90.E3证明(1)必要性：ab1，ab10.a3b3aba2b2(ab)(a2abb2)(a2abb2)(ab1)(a2abb2)0.(2)充分性：a3b3aba2b20，即(ab1)(a2abb2)0.又ab0，a0且b0.a2abb2(a)2b20.ab10，即ab1.综上可知，当ab0时，ab1的充要条件是a3b3aba2b20.转化与化归思想例(14分)已知两个关于x的一元二次方程mx24x40和x24mx4m24m50，且mZ.求两方程的根都是整数的充要条件【答题模板】解mx24x40是一元二次方程，m0. 2分另一方程为x24mx4m24m50，两方程都要有实根，解得m，1 6分两根为整数，故和与积也为整数， 10分m为4的约数，m1或1，当m1时，第一个方程x24x40的根为非整数，而当m1时，两方程均为整数根，两方程的根均为整数的充要条件是m1. 14分【突破思维障碍】本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想0.求出m的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数【易错点剖析】易忽略一元二次方程这个条件隐含着m0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数1研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“如果，那么”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性2在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出p与q是否可以相互推出的两次判断，同时还要弄清是p对q而言，还是q对p而言还要分清否命题与命题的否定的区别3.本节体现了转化与划归的数学思想。课内练习与训练自我检测1(2011南京模拟)设集合A，Bx|0xbd，q：ab且cd；p：a1，b1，q：f(x)axb(a0，且a1)的图象不过第二象限；p：x1.q：x2x；p：a1，q：f(x)logax(a0，且a1)在(0，)上为增函数3设a、b都是非零向量，那么命题“a与b共线”是命题“|ab|a|b|”的_条件4与命题“若aM，则b M”等价的命题是_5给出下列命题：原命题为真，它的否命题为假；原命题为真，它的逆命题不一定为真；一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；“若m1，则mx22(m1)xm30的解集为R”的逆命题其中真命题是_(把你认为正确命题的序号都填在横线上)(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1(2010天津模拟)给出以下四个命题：若ab0，则a0或b0；若ab，则am2bm2；在ABC中，若sin Asin B，则AB；在一元二次方程ax2bxc0中，若b24acb”是“|a|b|”的充分条件；“a5”是“a3”的必要条件其中真命题的个数为_3(2009北京改编)“2k(kZ)”是“cos 2”的_条件4(2010徐州模拟)关于命题“若抛物线yax2bxc的开口向下，则x|ax2bxc0”的逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数为_5(2011扬州模拟)集合Ax|x|4，xR，Bx|x5”的_条件6“x10且x20”是“x1x20且x1x20”的_条件7(2011镇江模拟)已知p：(x1)(y2)0，q：(x1)2(y2)20，则p是q的_条件8已知p(x)：x22xm0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为_二、解答题(共42分)9(12分)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假(1)若q1，则方程x22xq0有实根；(2)若ab0，则a0或b0；(3)若x2y20，则x、y全为零9解(1)逆命题：若方程x22xq0有实根，则q1，为假命题否命题：若q1，则方程x22xq0无实根，为假命题逆否命题：若方程x22xq0无实根，则q1，为真命题(4分)(2)逆命题：若a0或b0，则ab0，为真命题否命题：若ab0，则a0且b0，为真命题逆否命题：若a0且b0，则ab0，为真命题(8分)(3)逆命题：若x、y全为零，则x2y20，为真命题否命题：若x2y20，则x、y不全为零，为真命题逆否命题：若x、y不全为零，则x2y20，为真命题(12分)10(14分)(2011连云港模拟)设p：实数x满足x24ax3a20，其中a0，且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围10解设Ax|px|x24ax3a20，a0x|3axa，a0x|x2x60x|x22x80x|2x3x|x2x|x4或x2(8分)p是q的必要不充分条件，qp，且pq.则x|qx|p，而x|qRBx|4x2，x|pRAx|x3a或xa，a0，x|4x2x|x3a或xa，a0，则或(13分)综上，可得ab”是“|a|b|”的既不充分也不必要条件3答案充分不必要解析由2k(kZ)可得到cos 2.由cos 2得22k(kZ)k(kZ)所以cos 2不一定得到2k(kZ)4答案1解析对于原命题：“若抛物线yax2bxc的开口向下，则x|ax2bxc0”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若x|ax2bxc0，则抛物线yax2bxc的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2bxc0，即抛物线的开口可以向上因此否命题也是假命题5答案必要不充分解析Ax|4x4，若AB，则a4，a4a5，但a5a4.6答案充要7答案必要不充分解析由(x1)(y2)0得x1或y2，由(x1)2(y2)2 0得x1且y2，所以由q能推出p，由p推不出q, 所以填必要不充分条件8答案3,8)解析因为p(1)是假命题，所以12m0，解得m3；又因为p(2)是真命题，所以44m0，解得m8.故实数m的取值范围是3m8.自我检测答案：1答案充分不必要解析Ax|0x1，Bx|0xb，cdacbd，而acbd却不一定推出ab，cd，故中p是q的必要不充分条件；中，当a1，b1时，函数f(x)axb不过第二象限，当f(x)axb不过第二象限时，有a1，b1，故中p是q的充分不必要条件；中，因为x1时有x2x，但x2x时不一定有x1，故中p是q的充分不必要条件；中p是q的充要条件3答案必要不充分解析|ab|a|b|a、b同向a与b共线；反之，当a与b共线时，不一定有|ab|a|b|，故a与b共线是|ab|a|b|的必要不充分条件4答案若bM，则a M解析因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可5答案解析原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故错误，正确又因为不等式mx22(m1)xm30的解集为R，由m1.故正确补充试题一、集合1（2008江苏4）则的元素个数为 。【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。由得因为，所以，因此，元素的个数为0。答案02.（2009江苏卷）已知集合，若则实数的取值范围是，其中= . 【解析】 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。 由得，；由知，所以4。3.【2010江苏卷】设集合A=-1,1,3，B=a+2,a2+4,AB=3，则实数a=_.【答案】1【解析】 考查集合的运算推理.3B, a+2=3, a=1.4.（2011江苏1）1、已知集合 则答案：【解析】考察简单的集合运算，容易题5.【2010湖南文数】已知集合A=1,2,3，B=2，m，4，A