高中数学 第一章 立体几何初步 6.2 垂直关系的性质课件 北师大版必修2.ppt

6 2垂直关系的性质 第一章 6垂直关系 学习目标1 掌握直线与平面垂直 平面与平面垂直的性质定理 2 能运用性质定理解决一些简单问题 3 了解直线与平面 平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一直线与平面垂直的性质定理 在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆 一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直 这些电线杆之间的位置关系是什么 答案 答案平行 性质定理 梳理 平行 知识点二平面与平面垂直的性质 思考 黑板所在平面与地面所在平面垂直 你能否在黑板上画一条直线与地面垂直 答案 答案容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直 因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线 则所画直线必与地面垂直 性质定理 梳理 一个平面内 交线 垂直 a l 题型探究 例1如图所示 正方体a1b1c1d1 abcd中 ef与异面直线ac a1d都垂直相交 求证 ef bd1 类型一线面垂直的性质及应用 证明 证明如图 连接ab1 b1c bd b1d1 又ac bd dd1 bd d ac 平面bdd1b1 ac bd1 同理 bd1 b1c bd1 平面ab1c ef a1d 且a1d b1c ef b1c 又 ef ac ac b1c c ef 平面ab1c ef bd1 证明线线平行的常用方法 1 利用线线平行定义 证共面且无公共点 2 利用三线平行公理 证两线同时平行于第三条直线 3 利用线面平行的性质定理 把证线线平行转化为证线面平行 4 利用线面垂直的性质定理 把证线线平行转化为证线面垂直 5 利用面面平行的性质定理 把证线线平行转化为证面面平行 反思与感悟 跟踪训练1如图 l pa pb 垂足分别为a b a a ab 求证 a l 证明 证明 同理pb l pa pb p l 平面pab a ab pa ab a a 平面pab a l 例2如图 在三棱锥p abc中 pa 平面abc 平面pab 平面pbc 求证 bc ab 证明 类型二面面垂直的性质及应用 证明如图 在平面pab内 作ad pb于点d 平面pab 平面pbc 且平面pab 平面pbc pb ad 平面pbc 又 pa ad a bc 平面pab 证明线面垂直 一种方法是利用线面垂直的判定定理 另一种方法是利用面面垂直的性质定理 本题已知面面垂直 故可考虑面面垂直的性质定理 利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时 要注意以下三点 1 两个平面垂直 2 直线必须在其中一个平面内 3 直线必须垂直于它们的交线 反思与感悟 跟踪训练2如图所示 p是四边形abcd所在平面外的一点 abcd是 dab 60 且边长为a的菱形 侧面pad为正三角形 其所在平面垂直于底面abcd g为ad边的中点 求证 1 bg 平面pad 证明 证明平面pad 平面abcd 平面pad 平面abcd ad 又 四边形abcd是菱形且 dab 60 abd是正三角形 bg ad bg 平面pad 2 ad pb 证明 证明由 1 可知bg ad 由题意知 pad为正三角形 g是ad的中点 pg ad 又bg pg g ad 平面pbg 又pb 平面pbg ad pb 命题角度1线线 线面 面面垂直的转化例3如图 在四棱锥p abcd中 ab cd ab ad cd 2ab 平面pad 底面abcd pa ad e和f分别是cd和pc的中点 求证 1 pa 底面abcd 类型三垂直关系的综合应用 证明 证明 pa ad 平面pad 平面abcd 平面pad 平面abcd ad 由平面和平面垂直的性质定理可得pa 平面abcd 2 be 平面pad 证明 证明 ab cd ab ad cd 2ab e和f分别是cd和pc的中点 故四边形abed为平行四边形 故有be ad 3 平面bef 平面pcd 证明 证明在平行四边形abed中 由ab ad 可得abed为矩形 故有be cd 由pa 平面abcd 可得pa ab 再由ab ad可得ab 平面pad cd 平面pad 故有cd pd 再由e f分别为cd和pc的中点 可得ef pd cd ef 而ef和be是平面bef内的两条相交直线 故有cd 平面bef 1 证明线面垂直 一种方法是利用线面垂直的判定定理 另一种方法是利用面面垂直的性质定理 本题已知面面垂直 故可考虑面面垂直的性质定理 2 利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时 要注意以下三点 两个平面垂直 直线必须在其中一个平面内 直线必须垂直于它们的交线 反思与感悟 跟踪训练3如图 在四面体abcd中 平面abc 平面bcd ab ac dc bc 求证 平面abd 平面acd 证明 证明 平面abc 平面bcd 平面abc 平面bcd bc 在平面abc内 作ae bc于点e 如图 则ae 平面bcd 命题角度2垂直中的探索性问题例4已知在三棱锥a bcd中 bcd 90 bc cd 1 ab 平面bcd adb 60 e f分别是ac ad上的动点 且 0 1 1 求证 不论 为何值 总有平面bef 平面abc 证明 证明 bcd 90 bc cd ab 平面bcd ab cd 又 ab bc b cd 平面abc 故不论 为何值 总有平面bef 平面abc 2 当 为何值时 平面bef 平面acd 解答 要使平面bef 平面acd 只需be ac 解决开放性问题一般先从结论入手 分析得到该结论所需的条件或与其等价的条件 此种类型题考查空间想象能力 推理论证能力 分析问题和解决问题的能力 反思与感悟 跟踪训练4如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e为棱c1d1的中点 f为棱bc的中点 1 求证 ae da1 证明 证明连接ad1 bc1 由正方体的性质可知 da1 ad1 da1 ab 又ab ad1 a da1 平面abc1d1 2 在线段aa1上是否存在一点g 使得ae 平面dfg 并说明理由 解答 又df a1d d ae 平面dfa1 即ae 平面dfg 解如图所示a1点即为g点 证明如下 连接a1f 由 1 可知ae da1 取cd的中点h 连接ah eh 由df ah df eh ah eh h 可证df 平面ahe 当堂训练 1 在空间中 下列命题正确的是a 垂直于同一条直线的两直线平行b 平行于同一条直线的两个平面平行c 垂直于同一平面的两个平面平行d 垂直于同一平面的两条直线平行 答案 2 3 4 5 1 解析a项中垂直于同一条直线的两直线可能平行 异面或相交 b项中平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交 c项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交 d项正确 解析 2 平面 平面 直线a 则a a b a c a与 相交d 以上都有可能 答案 2 3 4 5 1 解析因为a 平面 平面 平面 所以直线a与 垂直 相交 平行都有可能 解析 3 已知直线l 平面 直线m 平面 有下面四个命题 l m l m l m l m 其中正确的两个命题是a b c d 答案 2 3 4 5 1 解析 4 如图 在三棱锥p abc中 侧面pac 底面abc 且 pac 90 pa 1 ab 2 则pb 2 3 4 5 1 答案 解析 侧面pac 底面abc 交线为ac pac 90 即pa ac pa 平面abc 解析 5 如图所示 在四棱锥s abcd中 底面abcd是矩形 侧面sdc 底面abcd 求证 平面scd 平面sbc 2 3 4 5 1 证明 证明因为底面a