高三数学复习《空间几何体的结构及其三视图和直观图》讲义.doc

空间几何体的结构及其三视图和直观图自主梳理1.多面体的结构特征(1)棱柱的上下底面_平行_，侧棱都_平行_且_长度相等_，上底面和下底面是_全等_的多边形.(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个_公共顶点_的三角形.(3)棱台可由_平行于棱锥底面_的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形_相似_.正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形内切圆半径或外接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角形中解决.台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行.2.旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由矩形绕其_一边所在直线_旋转得到.(2)圆锥可以由直角三角形绕其_一条直角边所在直线_旋转得到.(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由_平行于圆锥底面_的平面截圆锥得到.(4)球可以由半圆或圆绕其_直径_旋转得到.3.空间几何体的三视图的概念及画法空间几何体的三视图是用_正投影_得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是_完全相同_的，三视图包括_正视图_、_侧视图_、_俯视图_.画空间几何体的三视图的两个步骤第一步，确定三个视图的形状；在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线.分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”.第二步，将这三个视图摆放在平面上. 三视图的安排规则是：正视图与侧视图分别在左右两边，俯视图画在正视图的下方三视图与空间几何体中的几何量的关系空间几何体的数量关系体现在三视图中，正视图和侧视图的“高平齐”，正视图和俯视图的“长对正”，侧视图和俯视图的“宽相等”.其中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度. 空间几何体的三视图是该几何体在两两垂直的三个平面上的正投影.同一几何体摆放的角度不同，其三视图可能不同，不要忽视这一点.4.空间几何体的直观图的概念及斜二测画法画空间几何体的直观图常用_斜二测_画法，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点o，画直观图时，把它们画成对应的x轴、y轴，两轴相交于点o，且使xoy_45(或135)_.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度_保持不变_，平行于y轴的线段，长度变为_原来的一半_.(2)画几何体的高在已知图形中过o点作z轴垂直于xoy平面，在直观图中对应的z轴也垂直于xoy平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z轴且长度_不变_.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积s与原平面图形的面积s之间的关系是ss 5中心投影与平行投影我们把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影。中心投影的优缺点：它能非常逼真的反映原来的物体，主要应用于绘画领域，也常用来概括的描绘一个结构或一个产品的外貌。由于投影中心，投影面和物体的相对位置改变时，直观图的大小和形状亦将改变，因此在另外的一些领域，比如工程制图或技术图样，一般不采用中心投影。我们把在一束平行光线照射下形成的投影，称为平行投影。平行投影按照投射方向是否正对着投影面，可以分为斜投影和正投影两种。（如图）(1)平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点(2)从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的图形基础自测1如下图几何体中是棱柱的有( )a.1个b.2个c.3个d.4个2以下命题：直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；其中正确的命题序号是_.3.一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号).三棱锥；四棱锥；三棱柱；四棱柱；圆锥；圆柱.4如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(d)a b c d在各自的三视图中正方体的三个视图都相同；圆锥有两个视图相同；三棱台的三个视图都不同；正四棱锥有两个视图相同5将正三棱柱截去三个角(如图1所示)，a，b，c分别是ghi三边的中点，得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为(a) 原几何体是正三棱柱，且ae在平面eg中，在侧视图中，ae应为竖直的6.如图，abc为正三角形，aabbcc，cc平面abc且3aabbccab，则多面体abcabc的正视图(也称主视图)是(d)由aabbcc及cc平面abc，知bb平面abc.又ccbb，且abc为正三角形，故正视图应为d中的图形7若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(d)a，b的正视图不符合要求，c的俯视图显然不符合要求，答案选d.8如图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图其中真命题的个数是(a)a3 b2 c1 d0底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的两个相等的矩形，因此正确；当圆柱侧放时(即侧视图为圆时)，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此正确9.利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是_.(写出所有正确的序号)三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形；圆的直观图是椭圆；菱形的直观图是菱形.10某几何体的三视图如图所示，则它的体积是()a8 b8c82 d.解析圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即v2221228，正确选项为a.题型分类剖析题型一空间几何体的结构特征例1给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；棱台的侧棱延长后交于一点存在每个面都是直角三角形的四面体；其中正确命题的序号是_解析错误，因为棱柱的底面不一定是正多边形，故侧面不一定都全等；错误，必须用平行于底面的平面去截棱锥，才能得到棱台；正确，因为三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；正确，如图所示，正方体ac1中的四棱锥c1abc，四个面都是直角三角形；正确，由棱台的概念可知因此，正确命题的序号是.变式训练1 （1）下面是关于四棱柱的四个命题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱.其中，真命题的编号是_.（2）下列结论正确的是()a各个面都是三角形的几何体是三棱锥b以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥c棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥d圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线a错误如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥b错误如下图，若abc不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥c错误若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长d正确（3）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是 ()a等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等b等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补c等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆d等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即a正确；底面四边形必有一个外接圆，即c正确；在高线上可以找到一个点o，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即d正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)故仅命题b为假命题选b.题型二空间几何体的三视图例2已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为(b)探究提高根据几何体的直观图，画三视图，要根据三视图的画法规则进行.要严格按以下几点执行：三视图的安排位置.正视图、侧视图分别放在左、右两边，俯视图放在正视图的下边.注意实虚线的区别.变式训练2 （1）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为(c)（2）如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是(c)解题导引三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线解决此类问题的关键是弄清三视图“长、宽、高”的关系c当俯视图为a中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为b中圆时，几何体为底面半径为，高为1的圆柱，体积为；当俯视图为c中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为；当俯视图为d中扇形时，几何体为圆柱的，且体积为.（3）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为(d)由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形，故应选d.（4） 一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号)三棱锥；四棱锥；三棱柱；四棱柱；圆锥；圆柱解三棱锥的正视图是三角形；当四棱锥的底面是四边形放置时，其正视图是三角形；把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的正视图是三角形；对于四棱柱，不论怎样放置， 其正视图都不可能是三角形；当圆锥的底面水平放置时，其正视图是三角形；圆柱不论怎样放置，其正视图也不可能是三角形答案（5）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为 () 沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为 (b ) 题型三空间几何体的直观图及斜二测画法例3已知abc的直观图abc是边长为a的正三角形，求原abc的面积.解建立如图所示的坐标系xoy，abc的顶点c在y轴上，ab边在x轴上，把y轴绕原点逆时针旋转45得y轴，在y轴上取点c使oc2oc，a、b点即为a、b点，长度不变.已知abaca，在oac中，由正弦定理得，所以ocaa，所以原三角形abc的高oca，所以sabcaaa2.探究提高对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积s与其直观图面积s之间的关系ss，能进行相关问题的计算.变式训练3 （1）如图所示，直观图四边形abcd是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是_2_.（2）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()a按照斜二测画法的作图规则，对四个选项逐一验证，可知只有选项a符合题意（3）一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于(b)a.a2 b2a2 c.a2 d.a2根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知，在x轴上(或与x轴平行)的线段，其长度保持不变；在y轴上(或与y轴平行)的线段，其长度变为原来的一半，且xoy45(或135)，所以，若设原平面图形的面积为s，则其直观图的面积为sss.可以得出一个平面图形的面积s与它的直观图的面积s之间的关系是ss，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积s2a2.题型四几何体的截面问题例4棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形(正四面体的截面)的面积.解如图所示，abe为题中的三角形，由已知得ab2，be2，bfbe， af ，abe的面积为sbeaf .所求的三角形的面积为.探究提高解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征，发挥自己的空间想象能力，把立体图和截面图对照分析，有机结合，找出几何体中的数量关系，为了增加图形的直观性，常常画一个截面圆作为衬托.变式训练4 在棱长为6的正四面体内有一个内切球(球与正四面体的四个面都相切)，经过四面体的一条棱及高作截面如图.求内切球的半径.解ab为正四面体的一条棱，所以ab6. bd为正四面体的一个面的高，所以bd63，同理ad3，又hdbd，ah2，又aoeadh，即，oe，内切球的半径为.试题：一个空间几何体的三视图，如图所示，则这个空间几何体的表面积是_.审题视角(1)由三视图还原成直观图，并注意数据的对应.(2)表面积包括哪些部分.正确答案4(1)解析这是一个由轴截面割开的半个圆柱与一个球的组合体，其表面积是圆柱的上下两个底面半圆、圆柱的侧面积的一半、圆柱的轴截面和球的表面积之和，故这个表面积是21221222424(1).空间几何体的结构及其三视图和直观图一、选择题1.给出四个命题：各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；对角面是全等矩形的六面体一定是 长方体；有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；长方体一定是正四棱柱.其中正确的命题个数是()a.0 b.1 c.2 d.32.如图是一个正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是(b)3用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(c)a圆柱 b圆锥 c球体 d圆柱、圆锥、球体的组合体解析当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面4一个棱柱是正四棱柱的条件是()a底面是正方形，有两个侧面是矩形b底面是正方形，有两个侧面垂直于底面c底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直d每个侧面都是全等矩形的四棱柱5下列说法正确的是()a有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱b有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱c有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥d棱台各侧棱的延长线交于一点二、填空题6.对于四面体abcd，下列命题正确的是_.(写出所有正确命题的编号)相对棱ab与cd所在的直线异面；由顶点a作四面体的高，其垂足是bcd三条高线的交点；若分别作abc和abd的边ab上的高，则这两条高所在的直线异面；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱.7.用半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是_r_.8棱长为a的正四面体abcd的四个顶点均在一个球面上，则此球的半径r_.解析如图所示，设正四面体abcd内接于球o，由d点向底面abc作垂线，垂足为h，连接ah，oa，则可求得aha， dh，在rtaoh中，22r2，解得ra. 三、解答题9画出下列几何体的三视图解图(1)中几何体的三视图如图、，图(2)中几何体的三视图如图、.10.已知圆锥的底面半径为r，高为h，且正方体abcda1b1c1d1内接于圆锥，求这个正方体的棱长.解如图所示，过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面a1acc1的一组邻边的长分别为x和x.va1c1vmn，x.即圆锥内接正方体的棱长为.11.已知正三棱锥vabc的正视图、侧视图和俯视图如图所示.(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积.解(1)如图所示.(2)根据三视图间的关系可得bc2，侧视图中va2，svbc226.一、选择题1.已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为()a. b. c. d.2.一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图为 (c)3.在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，过对角线bd1的一个平面交aa1于e，交cc1于f，得四边形bfd1e，给出下列结论：四边形bfd1e有可能为梯形；四边形bfd1e有可能为菱形；四边形bfd1e在底面abcd内的投影一定是正方形；四边形bfd1e有可能垂直于平面bb1d1d；四边形bfd1e面积的最小值为.其中正确的是()a. b.c. d.4一个几何体的三视图如图所示(单位：m)则该几何体的体积为_m3.解析由三视图可知该几何体是组合体，下面是长方体，长、宽、高分别为3、2、1，上面是一个圆锥，底面圆半径为1，高为3，所以该几何体的体积为32136(m3)答案65已知水平放置的abc的直观图abc(斜二测画法)是边长为a的正三角形，则原abc的面积为()a.a2 b.a2c.a2 d.a2d斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为1，则易知s(a)2，sa2.6有一个正三棱柱，其三视图如图所示：则其体积等于()a3 cm3 b1 cm3 c. cm3 d4 cm3d由给出的三视图可以得知该正三棱柱的高等于正视图和侧视图的高为 cm，若设该正三棱柱的底面边长为a cm，则有a2，所以a，故该正三棱柱的体积为v24 (cm3)7如下图，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是()a. b. c. d.c由三视图知