高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.2.2 绝对值不等式的解法课件 北师大版选修45.ppt

2 2绝对值不等式的解法 1 解绝对值不等式的主要依据解含绝对值的不等式的主要依据为绝对值的定义 绝对值的几何意义及不等式的性质 2 绝对值不等式 x a和 x a的解法 做一做1 若不等式 x 2a 1的解集为r 则实数a的取值范围是 3 绝对值不等式 ax b c c 0 和 ax b c c 0 的解法 1 不等式 ax b c c 0 的求解 先化为不等式组 c ax b c 再利用不等式的性质求出原不等式的解集 2 不等式 ax b c c 0 的求解 先化为不等式组ax b c和ax b c 再利用不等式的性质求出原不等式的解集 名师点拨解含绝对值不等式的核心任务是去绝对值 将不等式恒等变形为不含绝对值的常规不等式 然后利用已经掌握的解题方法求解 注意不可盲目平方去绝对值符号 做一做2 1 不等式 2x 1 2的解集为 解析 1 由 2x 1 2可得x 4 2或x 46或x6或x6或x 2 4 x a x b c和 x a x b c型不等式的解法解法一 可以利用绝对值的几何意义 简称几何法 解法二 利用分类讨论的思想 以绝对值的 零点 为分界点 将数轴分成几个区间 然后确定各个绝对值中的多项式的符号 进而去掉绝对值符号 简称分段讨论法 解法三 可以通过构造函数 利用函数图像得到不等式的解集 简称图像法 由上可以看出 解含有绝对值的不等式 关键在于利用绝对值的意义设法去掉绝对值符号 把它转化为一个或几个普通不等式或不等式组 即不含绝对值符号的不等式 特别提醒对于绝对值不等式 x a x b c和 x a x b c 也可采用上述三种方法进行求解 做一做3 不等式 x 2 x 3 4的解集为 解析 因为 x 2 x 3 x 2 x 3 5 即 x 2 x 3 的最小值为5 所以不等式 x 2 x 3 4恒成立 即解集为r 答案 r 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 2 不等式 x a x b m的解集不可能为空集 3 不等式 x a x b m的解集不可能是全体实数集 4 不等式 x2 2x 3 0的解集为全体实数集r 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例1 解下列不等式 1 5x 2 8 2 2 x 2 4 分析 1 直接利用 ax b c c 0 型不等式的解法求解 2 转化为不等式组求解 由 x 2 2 得x 2 2或x 2 2 所以x 0或x 4 由 x 2 4 得 4 x 2 4 所以 2 x 6 故原不等式的解集为 x 2 x 0或4 x 6 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟形如 f x a a 0 和 f x a a 0 型的不等式 均可采用等价转化法进行求解 即 f x a a f x a f x a f x a或f x a 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例2 解下列不等式 1 x 1 x 1 3 2 x 3 x 1 1 分析这类不等式均可采用三种方法 1 利用绝对值的几何意义 2 利用各绝对值的零点分段讨论 3 构造函数 利用函数图像分析求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 方法一 如图 设数轴上与 1 1对应的点分别为a b 那么点a b之间的点到a b两点的距离和为2 因此区间 1 1 上的数都不是不等式的解 设在点a左侧有一点a1到a b两点的距离之和为3 a1对应数轴上的x 同理设点b右侧有一点b1到a b两点的距离之和为3 b1对应数轴上的x 从数轴上可看到 点a1 b1之间的点到a b的距离之和都小于3 点a1的左边或点b1的右边的任何点到a b的距离之和都大于3 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟形如 x a x b c和 x a x b c型的不等式 均可采用三种解法 分区间 分类 讨论法 图像法和几何法 分区间讨论的方法具有普遍性 但较麻烦 几何法和图像法直观 但只适用于数据较简单的情况 所以在具体求解时 应灵活选用求解方法 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2求解下列不等式 1 x 1 5 x 2 2 2x 1 3x 2 8 解 1 原不等式即为 x 1 x 5 2 其等价于解得 无解 的解集为 x 45 故原不等式的解集为 x x 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例3 设函数f x x a 3x 其中a 0 1 当a 1时 求不等式f x 3x 2的解集 2 若不等式f x 0的解集为 x x 1 求a的值 分析 1 化为 ax b c型不等式求解 2 先解不等式f x 0 得出解集后与集合 x x 1 相等 进而得到a的值 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 当a 1时 f x 3x 2可化为 x 1 2 即x 1或x 3 故不等式f x 3x 2的解集为 x x 1或x 3 2 由f x 0 得 x a 3x 0 将此不等式化为不等式组 得 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟解含参数的不等式 一类要对参数进行讨论 讨论要做到不重不漏 另一类对参数并没有进行讨论 而是去绝对值符号时对变量进行讨论 得到两个不等式组 最后把两个不等式组的解集进行合并 即得原不等式组的解集 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3解关于x的不等式 x a x b a b 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得本题错误在于忽视了对参数a的分类讨论而导致的 在求解含参数的绝对值不等式时 要注意结合绝对值的性质 对参数进行分类讨论 并要做到不重不漏 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练解关于x的不等式a x 1 2 a r 1 2 3 4 5 1 不等式 x 3 2的解集为 a x 1 x 5 b x 1 x 5 c x x 5 d x 1 x 5 解析 由 x 3 2 得 2 x 3 2 所以1 x 5 即原不等式的解集为 x 1 x 5 答案 b 6 1 2 3 4 5 答案 a 6 1 2 3 4 5 答案 c 6 1 2 3 4 5 答案 a 6 1 2 3 4 5 5 若不等式 x 2 x 3 m有解 则实数m的取值范围是 解析 由于 1 x 2