高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 4.1 曲线与方程（一）课件 北师大版选修21.ppt

第三章 4曲线与方程 4 1曲线与方程 一 学习目标1 了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系 2 初步领会 曲线的方程 与 方程的曲线 的概念 3 学会根据已有的情境资料找规律 学会分析 判断曲线与方程的关系 强化 形 与 数 的统一以及相互转化的思想方法 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一曲线与方程的概念 设平面内有一动点p 属于下列集合的点组成什么图形 1 p pa pb a b是两个定点 线段ab的垂直平分线 答案 2 p po 3cm o为定点 以o为圆心 3cm为半径的圆 答案 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么 为什么 解答 y x 在直角坐标系中 到两坐标轴距离相等的点m的坐标 x0 y0 满足y0 x0或y0 x0 即 x0 y0 是方程y x的解 反之 如果 x0 y0 是方程y x或y x的解 那么以 x0 y0 为坐标的点到两坐标轴距离相等 思考2 梳理 一般地 在平面直角坐标系中 如果某曲线c 看作满足某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下的关系 1 都是这个方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都在上 那么 这个方程叫作 这条曲线叫作 曲线上点的坐标 曲线 曲线的方程 方程的曲线 知识点二曲线的方程与方程的曲线解读 思考1 曲线c上的点的坐标都是方程f x y 0的解 能否说f x y 0是曲线c的方程 试举例说明 不能 还要验证以方程f x y 0的解为坐标的点是否都在曲线上 例如曲线c为 以原点为圆心 以2为半径的圆的上半部分 与 方程x2 y2 4 曲线上的点都满足方程 但曲线的方程不是x2 y2 4 答案 方程 0能否表示直角坐标系中的第一 三象限的角平分线 方程x y 0呢 解答 方程 0不能表示直角坐标系中的第一 三象限的角平分线 因为第一 三象限角平分线上的点不全是方程 0的解 例如 点a 2 2 不满足方程 但点a是第一 三象限角平分线上的点 方程x y 0能够表示第一 三象限的角平分线 思考2 梳理 1 曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念 是从不同角度出发的两种说法 曲线c的点集和方程f x y 0的解集之间是一一对应的关系 曲线的性质可以反映在它的方程上 方程的性质又可以反映在曲线上 定义中的条件 说明曲线上的所有点都适合这个方程 条件 说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏 2 曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系 通过曲线上的点与实数对 x y 建立了关系 使方程成为曲线的代数表示 通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质 一一对应 题型探究 类型一曲线与方程的概念理解与应用 命题角度1曲线与方程的判定例1命题 曲线c上的点的坐标都是方程f x y 0的解 是正确的 下列命题中正确的是a 方程f x y 0的曲线是cb 方程f x y 0的曲线不一定是cc f x y 0是曲线c的方程d 以方程f x y 0的解为坐标的点都在曲线c上 答案 解析 不论方程f x y 0是曲线c的方程 还是曲线c是方程f x y 0的曲线 都必须同时满足两层含义 曲线上的点的坐标都是方程的解 以方程的解为坐标的点都在曲线上 所以a c d错误 举例 曲线c 一 三象限角平分线 方程为 x y 显然满足已知条件 但a c d错 解决 曲线 与 方程 的判定这类问题 即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线 只要一一检验定义中的 两性 是否都满足 并作出相应的回答即可 判断点是否在曲线上 就是判断点的坐标是否适合曲线的方程 反思与感悟 跟踪训练1设方程f x y 0的解集非空 如果命题 坐标满足方程f x y 0的点都在曲线c上 是不正确的 那么下列命题正确的是a 坐标满足方程f x y 0的点都不在曲线c上b 曲线c上的点的坐标都不满足方程f x y 0c 坐标满足方程f x y 0的点有些在曲线c上 有些不在曲线c上d 一定有不在曲线c上的点 其坐标满足f x y 0 答案 解析 坐标满足方程f x y 0的点都在曲线c上 不正确 即 坐标满足方程f x y 0的点不都在曲线c上 是正确的 不都在 包括 都不在 和 有的在 有的不在 两种情况 故a c错 b显然错 命题角度2曲线与方程的概念应用例2证明与两条坐标轴的距离的积是常数k k 0 的点的轨迹方程是xy k 证明 如图 设m x0 y0 是轨迹上的任意一点 因为点m与x轴的距离为 y0 与y轴的距离为 x0 所以 x0 y0 k 即 x0 y0 是方程xy k的解 设点m1的坐标 x1 y1 是方程xy k的解 则x1y1 k 即 x1 y1 k 而 x1 y1 正是点m1到纵轴 横轴的距离 因此点m1到这两条直线的距离的积是常数k 点m1是曲线上的点 由 可知 xy k是与两条坐标轴的距离的积为常数k k 0 的点的轨迹方程 解决此类问题要从两方面入手 1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 即直观地说 点不比解多 称为纯粹性 2 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 即直观地说 解不比点多 称为完备性 只有点和解一一对应 才能说曲线是方程的曲线 方程是曲线的方程 反思与感悟 跟踪训练2写出方程 x y 1 0表示的曲线 解答 即x y 1 0 x 1 或x 1 方程表示直线x 1和射线x y 1 0 x 1 类型二曲线与方程关系的应用 例3已知方程x2 y 1 2 10 1 判断点p 1 2 q 3 是否在此方程表示的曲线上 解答 12 2 1 2 10 2 3 1 2 6 10 p 1 2 在方程x2 y 1 2 10表示的曲线上 q 3 不在此曲线上 解答 判断曲线与方程关系问题时 可以利用曲线与方程的定义 也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断 反思与感悟 跟踪训练3若曲线y2 xy 2x k 0过点 a a a r 求k的取值范围 解答 曲线y2 xy 2x k 0过点 a a a2 a2 2a k 0 当堂训练 2 3 4 5 1 1 曲线f x y 0关于直线x y 3 0对称的曲线方程为a f x 3 y 0b f y 3 x 0c f y 3 x 3 0d f y 3 x 3 0 由对称轴x y 3 0得x y 3 y x 3可知d正确 答案 解析 2 3 4 5 1 2 方程xy2 x2y 2x所表示的曲线a 关于x轴对称b 关于y轴对称c 关于原点对称d 关于直线x y 0对称 同时以 x代替x 以 y代替y 方程不变 所以方程xy2 x2y 2x所表示的曲线关于原点对称 答案 解析 2 3 4 5 1 3 方程4x2 y2 6x 3y 0表示的图形为 原方程可化为 2x y 2x y 3 0 即2x y 0或2x y 3 0 原方程表示直线2x y 0和直线2x y 3 0 答案 解析 两条相交直线 2 3 4 5 1 4 若曲线ax2 by2 4过点a 0 2 则a b 答案 解析 4 1 2 3 4 5 1 5 方程 x2 4 2 y2 4 2 0表示的图形是 方程 x2 4