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第一章行列式 要点和公式 1 全排列及其逆序数、对换 排列的逆序数=各元素的逆序数之和.(一个元素的逆序数是指排在其前面并且大于它的元素个数) n个元素所有排列的种数Pn=n!，其中奇、偶排列各占一半。 一次对换改变排列的奇偶性。 奇排列 调成标准排列需要的对换次数为奇数.偶排列 调成标准排列需要的对换次数为偶数.2 行列式的定义 n阶行列式的定义： det(aij)= 其中，行标p1,p2,pn取一个特定的n元排列；列标q1,q2,qn取所有可能的n元排列.或者，列标q1,q2,qn取一个特定的n元排列；行标p1,p2,pn取所有可能的n元排列.t1, t2分别是行标排列和列标排列的逆序数S 表示对所有可能性求和.特别是，(1) 当行标排列取成标准排列时，det(aij) 其中，t是列标排列的逆序数.(2) 当行标排列取成标准排列时，det(aij) 其中，t是行标排列的逆序数. 特殊行列式 对角行列式 / 上三角行列式 / 下三角行列式 (1-1) (1-2) 副对角行列式 / 其它三角形行列式 (1-3) (1-4)3 行列式的性质 行列式的性质： D=DT 以下都是行列式等于零的充分条件： 两行(列)完全相同；某一行(列)的元素全为零；两(列)的元素对应成比例. 若行列式的某一行(列)元素都是两数之和，则行列式可分解为两个行列式之和. 重要的行列式计算方法： 化为三角形行列式 (基本方法) 分块法分块对角行列式 / 分块上三角行列式 / 分块下三角行列式 (1-5)分块副对角行列式 / 其它分块三角形 (1-6)注意，以上两式中，A,B分别是kk和mm的正方形数表. 拆分法4 行列式按行(列)展开法则 余子式Mij和代数余子式Aij的概念 改变行列式的某一行(列)元素，不会改变这些元素的余子式和代数余子式. 行列式按行(列)展开法则按行，或按列 (i=1,2,n)(其中D是行列式的值，) 重要的行列式的计算方法： 降阶展开法 (基本方法) 递推法和数学归纳法 范德蒙德行列式法 (1-7)5 克拉默法则和有关定理 克拉默法则: 对于n个变量n个方程的线性方程组 简记为 (i=1,2,n)若系数行列式D0，则方程组有唯一解： (i=1,2,n)其中Dj是用方程组的常数项b1, b2, , bn替换系数行列式D的第j列得到的行列式。 克拉默法则的两个条件：方程个数=未知量个数系数行列式D0 定理：对于非齐次线性方程组 (i=1,2,n) 方程组有唯一解 系数行列式D0； (等价命题) 方程组无解或有多组解 D=0. 定理：对于齐次线性方程组 (i=1,2,n) 方程组只有零解系数行列式D0； (等价命题) 方程组(除零解外)有非零解 D=0. 典型题型 1 全排列的逆序数、奇偶性计算n元排列的逆序数的常用方法是：算出排列中每个元素前面比它大的元素的个数(即每个元素的逆序数)，这些元素的逆序数之和就是所求排列的逆序数.判断排列的奇偶性的常用方法有两种：方法一：算出排列的逆序数，若逆序数为奇数，则为奇排列；若逆序数为偶数，则为偶排列；方法二：将所给排列进行对换，使其变成标准排列(偶排列)，若所需对换次数为奇数，则为奇排列；若所需对换次数为偶数，则为偶排列. (因为每次对换都会改变排列的奇偶性)例1 计算排列134782695的逆序数，并判断奇偶性解 逆序数t(134782695) = = 10该排列为偶排列.例2 以下排列中( )是偶排列。(A) 4312 (B) 51432 (C) 45312 (D) 654321分析 对于(A)4312，将4和右边的元素进行相邻对换，直至其排在第四位，需3次相邻对换；再将3和右边的元素进行相邻对换，直至其排在第三位，需2次相邻对换. 于是，经过总计5次相邻对换，可使4312变成标准排列1234，因此4312是奇排列。对其它选项可作类似分析。解一 四个选项中，只有(C)可通过偶数次对换变成标准排列，答案为(C).解二 逆序数 同理，t (51432)=7，t (45312)=8，t (654321)=15. 答案为(C).练习1 求排列13(2n-1)24(2n) 的逆序数, 并讨论奇偶性.答案 t=n(n-1)/2当n=4k,4k+1时，为偶排列；n=4k+2, 4k+3时，为奇排列.例3设排列p1p2pn-1pn的逆序数为k, 则pnpn-1p2p1的逆序数为多少？ 解 在n个元素中任选两个元素pi , pj (共有种可能)，则pi , pj 必在两个排列之一中构成逆序，因此两个排列的逆序数之和为. 2 求行列式中的项例4在六阶行列式中，如下的项带什么符号：a23a31a42a56a14a65解一 调换项中元素的位置，使元素的行标排列变成标准排列，即 a14a23a31a42a56a65再求出列标排列的逆序数，t(431265)=6，故该项带正号.解二 分别求出行标排列和列标排列的逆序数t1 (234516)=4 t2 (312645)=4由于t1+t2=8，故该项带正号例5 写出五阶行列式中包含因子a13a25且带负号的所有项分析 设项为(-1)ta13a25a3ia4ja5k，显然ijk是124的某个排列，共有六种可能性，其中有三种使乘积带负号，三种使乘积带正号。不妨设下标ijk = 124，此时，列标排列的逆序数为t(35124)=5，是奇排列，于是该项带负号。再对124进行两次对换(这不会改变整个排列的奇偶性)，可得ijk的另两组使项带负号的取值: 412, 241。解 设(-1)ta13a25a3ia4ja5k，并令下标ijk = 124，此时列标排列的逆序数为t(35124)=5，是奇排列。再对124进行两次对换，得ijk=412, 241.ijk的这些取值使含a13a25的项带负号，即所求的项为-a13a25a31a42a54，-a13a25a34a41a52， -a13a25a32a44a51练习2 写出四阶行列式中所有带负号且包含a23的项.答案 -a11a23a32a44 -a12a23a34a41 -a14a23a31a42 例6 求中x4和x3的系数.分析 从行列式定义的一般项入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所有可能值，并注意每一项的符号.设行列式的一般项为 ，求x4和x3的系数就是分别求有4个以及3个元素含x时的项。若4个元素皆含x，各行元素的列标可取如下值：q1: 1 q2: 1, 2 q3: 3 q4: 1, 4仅当p1p2p3p4= 1234时才能构成四元排列。若有3个元素含x，各行元素的列标有以下四种情形 q1: 2, 3, 4 1 1 1q2: 1, 2 3, 4 1, 2 1, 2q3: 3 3 1, 2, 4 3 q4: 1, 4 1, 4 1, 4 2, 3第一列中的数值可组成两个4元排列：2134, 4231，而表格后三列所示的允许值中都缺少一个数，不能构成4元排列.解4个元素含x的项只有= 6x4.有3个元素含x的项有两个，+= 4x3-2x3 2x3 x4和x3 的系数分别是6和2. 练习3 求中x4、x3的系数以及常数项。提示 行列式的4!项中，含x4和x3的只有1项，即主对角线上四个元素的乘积(-1)t(1234)，其余的项至多含x2；而f(x)的常数项就是f(0).答案 1, a11+a22+a33+a44, 3 行列式的性质例7 设, 则 = ( )(A) -3D (B) 3D (C) 12D (D) -12D解一 =3D 答案为(B).解二 将按照第2列拆分为两个行列式之和，得上式右端第一个行列式等于零(因为第1,2列成比例)，而第二个行列式的各列分别提取公因子，得 例8 设abcd=1, 证明行列式=0.证 将行列式按第1列拆分为两个行列式之和，即D= 对D1的各行分别提取a,b,c和d，并利用abcd=1,得D1 = = D= 0. 练习4 设, 则 ( )(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (D)2提示 将D左右翻转、再上下翻转可得到，而左右(上下)翻转可通过n(n-1)/2次相邻列(行)的交换实现，参见教材习题一的第7题.答案 (A)例9 如果n阶行列式满足, 则称D为反对称行列式, 证明: 奇数阶的反对称行列式等于零. 证 反对称行列式满足，故主对角元，即 (主对角元全为零).设， 则 由n是奇数，得D = -D，所以D=04 行列式的计算和证明计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用. 除了本章介绍的方法，以后还会陆续学习到一些新的方法，平时应注意归纳、整理.在计算行列式时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察是否能用常用的几种方法. 对角线法则，只适用于二、三阶行列式 利用n阶行列式的定义利用定义计算行列式是最基本的方法。“要点和公式”中的公式(1-1) (1-4)就是用定义法证明的.例10 用行列式的定义计算分析 根据定义，行列式的一般项为 ，当其中任一元素为零时，乘积为零.若不考虑各行元素中的零，各行元素的列标分别可取如下值：q1: 2, 3 q2: 1, 2, 3, 4, 5 q3: 1, 2, 3, 4, 5 q4: 2, 3 q5: 2, 3上面的这些数值无法使q1q2q3q4q5组成任何一个5元排列 (因为其中的q1, q4, q5只能取2或3)，也就是说，一般项中的5个元素至少有一个为零，故行列式的值等于零.解 从不同行、不同列取5个元素相乘，其中必然有0，因此该行列式所有的项都为零，于是D=0. 练习5 用行列式的定义计算 (n2)答案 行列式的n！项中只有1项不等于0，即 利用行列式性质，化为三角形行列式利用性质将行列式化为三角形行列式是最常用的方法之一. “要点和公式”中的公式(1-5)和(1-6)就是用此法证明的.其基本步骤是，利用ri+krj (ci+kcj)、提取公因子、rirj (cicj)等运算，将对角线以下或以上的元素化为零，然后利用公式(1-1)(1-4)计算出结果.例11 计算五阶行列式解 (注意上面标有*的步骤，其目的是为了避免出现繁琐的分数运算)例12 计算n阶三对角行列式.分析 三对角行列式 可通过逐行(或逐列)的倍加运算，将主对角线以下或以上的元素化成零.解 = n+1例13 计算n阶行列式.分析 型的行列式可看作是 的变形，可通过逐行的倍加运算，将主对角线以上的元素化为零.解 自倒数第2行开始往上，每行加后行，Dn 例14 计算n阶爪型行列式.分析 称为爪型或箭型，可利用主对角元，通过 r1+kri或c1+kci (i=2, 3, , n)运算，将其化为 或 .解 注 对于以上关于 型行列式的例题，它们的翻转、旋转等形式，可循类似的思路进行计算. 练习6 计算n阶行列式答案 例15 计算n阶行列式 分析 此行列式的特点是：各行(列)元素之和相等. 可将第2,3,n列(行)都加到第一列(行)上，对第1列(行)提取公因子后，再化为三角形行列式.或者，利用主对角线上下的元素皆为a的特点，将第一行乘以(1)并加至其它各行，化为爪形行列式计算.解一将第2,3,n行都加到第一行上，并对第一行提取公因子 将第一行乘以(a)加到其它各行，解二 将第1行乘以(-1)并加至其它各行，再将各列都加至第一列，例16 已知xia (i=1,2,n)，证明：分析 用第一行(列)乘以(1)并加至其它各行(列)，即可化为爪形行列式.证 由于xia，将第i行(i=2, 3, , n)乘a/(xia)加到第一行上，得 练习7. 计算4阶行列式.提示 利用各行元素之和相等的特点进行计算，或者化为爪型.答案 .例17 计算(n2)阶行列式, 其中 。分析 此行列式的特点是：在主对角线上方或下方，相邻行(列)中的对应元素相差1.这种行列式可通过逐行相减的方式：从第一行(列)开始，前行(列)减后行(列)，或者，从最后行(列)开始，后行(列)减去前行(列)，将主对角线以上或以下的元素化为相同的数，然后再计算.解 依题意，行列式为再将第一列加到后面各列 (注意，这样做是根据行列式的什么特点？) 练习8 计算(n2)阶行列式, 其中, 提示 依题意，有在副对角线及其上方，各行的对应元素相同. 从第一行开始，前行减后行，即ri-ri+1 (i=1, 2, , n-1)，可将副对角线以上元素全化为0，即得公式(1-4)的形式. 或者，也可利用副对角线下方相邻列元素相同的特点计算.答案 分块法若行列式是公式(1-5)和(1-6)所示的分块三角形，或者容易变换成这种形式，则可用分块法计算. 注意公式中的A和B必须是“行数=列数”的数表.例18 计算 分析 该行列式可分块为的形式，其中，于是可利用公式(1-6)进行计算.解练习9 用分块法计算“练习5”中的行列式.练习10 用分块法计算行列式 提示 对换第2,3行，再对换第2,3列，然后分块计算答案 拆分法若行列式的某些行(列)为几个数之和，则可以考虑将行列式按这些行(列)拆分为几个行列式之和，前面的例8采用的就是拆分法.特别是，当每个元素都是两数之和时，行列式可拆分为2n个行列式之和，在某些情况下，这个2n个行列式中有很多等于零，那些不等于零的行列式也很容易计算.例19 证明 .分析 等号左端，每列可看作为两个子列之和，各列取两个子列之一，可将该行列式分解为 23=8个行列式之和.左端行列式中，子列1-(2)和2-(1)相同，2-(2)和3-(1)相同，3-(2)又和1-(1)相同. 因此，在拆分所得的8个行列式中，只有两个可能不为零，即，各列都取第1子列，或都取第2子列 其它情形下行列式中都有两列相同，从而等于零.证 对于左端行列式，每列取子列之一，可拆分为23=8个行列式之和，其中只有两个可能不为0，即(再将第二个行列式的第3列依次和左边的两列对换) 例20 计算n阶行列式 (n2)分析 该行列式的特点是：任意两列(行)的第一子列(行)相同、第二子列(行)成比例.解一 当n=2时，当n3时，将行列式按列拆分，得2n个行列式之和，其中每个行列式都至少有两列相同或成比例，故Dn=0. 说明 可以看出，Dn=0的结论只有在n3时才成立. 计算n阶行列式时，要特别留心Dn的结果是否能用一个表达式统一表示，否则，应分开讨论.解二 当n=2时，当n3时，将第1列乘以(-1)并分别加到后面各列，得=0(第2,n列两两成比例)练习11 用拆分法计算(n2)答案 当n=2时，当n3时，Dn=0例21 计算n阶行列式(n2)分析 把原行列式表示成如下形式各列的第一子列成比例.将行列式拆分为2n个行列式之和，这些行列式中可以不等于零的有n+1个，即全取第二子列，或者除了某一列取第一子列，其余的都选第二子列.解 + 练习12 用拆分法计算“练习7”中的行列式.练习13 用拆分法解“练习3”. 降阶展开法 - 行列式按行(列)展开法则利用行列式的性质，将行列式的某行(列)元素尽可能多地化为零，然后将行列式按该行(列)展开，从而变成n-1阶行列式的计算，这称为降阶展开法，也是最常用的计算方法之一.例22 计算4阶行列式 分析 对于数字行列式，常用的计算方法是化为上(下)三角行列式或者用降阶展开法，这里采用降阶展开法.解先将第3行元素尽可能多的化为零，再按该行展开 注 展开时注意不要遗漏了代数余子式的符号.练习14 用降阶展开法计算“练习5”中的行列式.提示 按最后一行(列)展开.练习15 用降阶展开法计算提示 按第一行(列)展开后分块计算.答案 (a2a3-b2a3)(a1a4-b1b4) 递推法当n阶行列式的结构具有重复性时，可通过按某行(列)展开，得出它的线性递推公式，然后递推出结果.例23 计算2n阶行列式 分析 将行列式按第1行(列)展开，得两项之和，并进而建立递推公式.解 按第1行展开，得 于是，递推可得注 本题也可按如下方式给出递推公式例24 计算n阶三对角行列式 分析 三对角行列式按第一行(列)或最后一行(列)展开，可建立递推公式.解 按最后一行展开，有再将右端的第二个n-1阶行列式按最后一列展开，有把递推公式重新写成，继续递推下去， 由于，因此，将上式中的 n 分别用 n, n-1, n-2, 2 代替，给出n-1个等式，然后对各个等式分别乘1, a, a2, ., an-2，得将以上等式两端相加，得把 D1=a+b 代入上式，移项，得练习16 用递推法证明以下n阶行列式的结论： 提示 这三个行列式按最后一行展开，可得递推公式如下： 练习17 试用递推法计算“例12-14”中的n阶行列式.例25 设ab，计算n阶(n2)行列式 分析 该行列式的特点是主对角线上面都是a，下面都是b，其转置行列式DT相当于把原行列式中的a和b互换.求解思路：若能找出一个递推公式，则利用 D=DT可得出另一个递推公式(即把第一个递推公式中的a,b互换)，再联立求解.解 将行列式的最后一列写成如下形式的两数之和，并进行拆分其中，第二个行列式按最后一列展开，得.第一个行列式 于是，递推公式如下，Dn的转置行列式相当于把Dn的a和b互换了位置，因此由于ab，且DnT =Dn，联立上面的两个递推公式，可解得 注 a=b的情形参见例16. 练习18 计算n阶行列式 (n2)提示 方法：采用例25的方法，可得Dn=-yDn-1+(x+y)yn-1和Dn=yDn-1+(x-y)(-y)n-1；方法：先“r1-r2”，“c1-c2”，然后按第一行展开，再按第一列展开，可得.答案 n为偶数时, Dn=yn; n为奇数时, Dn=xyn-1. 归纳法如果得出的递推公式难以计算，可考虑通过n=1,2,3的低阶行列式去猜想一般结果，然后结合递推公式用归纳法证明猜想成立.如果行列式已告诉结果，而要证明与自然数n有关的结论时，也可考虑用数学归纳法证明.例26 计算解 将行列式按最后一行展开后，可得递推公式由于，于是，猜想 (*)用归纳法证明猜想：已知(*)式对n=1,2成立. 假设结论对n-1, n-2阶行列式成立，即，代入递推公式，得 故结论对一切自然数n成立。注 本例中递推公式为三项的递推公式. 如果是两项递推公式，则归纳假设时只需假设结论对n-1成立.练习19 设ab, 用数学归纳法证明：提示 采用例25的方法，得递推公式 加边法*加边法是一种升阶计算的方法：对行列式添加一行一列，构成与Dn相等的n+1阶行列式. 通常，所加的行(列)为 1, 0, , 0，而所加的列(行)则根据具体情况而定.例27 计算 分析 若忽略 xi，则每行(列)元素都是a1, a2, , an的倍数. 可通过在左上角添加一行一列：行(列)为“1, a1, a2, , an”，列(行)是“1, 0, , 0”，从而构成与Dn相等的 n+1 阶行列式，再加以化简.解 按如下方式添加一行一列，构成与Dn相等的n+1阶行列式，(n+1阶) 将第1行乘以a1加到第2行，乘以a2加到第3行，.，乘以an加到第n+1行，即(爪形)由于，将第2, 3, , (n+1)列分别乘以a1/x1, a2/x2, , an/xn 并加至第1列，即例28 计算n阶行列式 (n2)解 按如下方式添加一行一列，构成与Dn相等的n+1阶行列式，(n+1阶) 当n3时，将上面的n+1阶行列式按第一行展开，则每个相应的余子式都至少有两列元素成比例，从而为0.当n=2时，练习20 用加边法计算“例20”和“例21”中的行列式. 利用范德蒙德行列式法范德蒙德行列式是重要的特殊行列式，要善于识别其变式，得出展开结果.例29 计算分析 从第2行开始，每行减去前行，即得范德蒙德行列式.解 例30 计算 分析 对各第1,2,n行分别提取公因子1, 2, 3, ,n，即可得范德蒙德行列式的转置行列式.解 练习21 已知，计算如下的n+1阶行列式： 提示 对各第1, 2, , n+1行分别提取 答案 例31 证明分析 通过添加一行一列，使其成为n+1阶的范德蒙德行列式Vn+1，再讨论Vn+1与Dn之间的关系.证添加一行一列，使其成为n+1阶范德蒙德行列式Vn+1，将Vn+1按最后一列展开，得展开式中的余子式都不含y，其中就是题设行列式Dn 将展开式看作是y的n次多项式，其中yn-1的系数是 (*)又，根据范德蒙德行列式的结论，有上式中yn-1的系数是 (*) 结合(*)和(*)两式，得 析因子法*如果行列式中某些元素是x的多项式，则行列式可作为一个多项式f(x). 若通过某些变换，求出了多项式f(x)的全部互素线性因式(即一次因式)，则这些因式的乘积g(x)与行列式多项式f(x)只相差常数乘因子k，于是，根据多项式恒等的定义，通过比较g(x)和f(x)的某一项系数，可进一步求出k.例32 求的展开式分析 根据行列式的定义，容易看出f(x)是x的4次多项式，设f(x)的4个根为a,b,c,d，则f(x)可等价表示为k(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)，其中k可利用f(x)中x4的的系数来确定.解 f(x)是x的4次多项式.当x=1时，行列式的第1,2行相同，有f(x)=0；当x=2时，行列式的3,4行相同，亦得f(x)=0. 即，f(x)的四个根为x=1,2. 设 f(x)=k(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) (*)行列式中含x4的项为(-1)t(1234)a11a22a33a44+(-1)t(3214)a13a22a31a44= (2-x2)(9-x2)-2(2-x2)2(9-x2)=-3(2-x2)(9-x2)故f(x)中x4的系数是-3，于是，(*)式中k=-3，得f(x)=-3(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)练习22 用析因子法计算提示 Dn+1是x的n+1次多项式，其n+1个根分别是答案 注 本题也可以利用行列式各行元素之和相等的特点进行计算.5 和代数余子式有关的计算例33 设, 求D中x的一次项的系数.分析 注意到行列式中只有(1,2)元为x，于是，将行列式按第一行展开：，得x的系数为A12.解 将行列式按第一行展开，得x的系数为例34 设, 求第四行元素的代数余子式之和.分析 将第四行元素替换为1,1,1,1，这不会改变第四行元素的代数余子式.再将替换所得的行列式按第四行展开，即得.解 练习23 对“例34”中的行列式，求: 提示 将余子式变换成代数余子式，可看出所求的和式就是第三列元素与第二列对应元素的代数余子式乘积之和，或者，通过替换行列式的第二列元素进行计算.答案 练习24 设, 求所有元素的代数余子式之和.提示 第一列元素的代数余子式之和就是Dn，而其它各列元素的代数余子式之和皆为0.答案 n-2例35已知, 求: ; . 解 将行列式按第四行展开，有又，第二行元素和第四行对应元素代数余