山西省太原市现代双语学校高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

山西省太原市现代双语学校2015届高三上学期期中数学试卷 （理科）一、选择题（本题12个，每小题5分，共60分）1（5分）设p和q是两个集合，定义集合pq=x|xp，且xq，如果p=x|log2x1，x|x2|1，那么pq=（）ax|0x1bx|xx1cx|1x2dx|2x32（5分）已知a、b、c满足abc，且a+b+c=0，那么下列选项中不一定成立的是（）aabacbc（ba）0ccb2ab2dac（ac）03（5分）下列几个命题；是一元二次不等式ax2+bx+c0的解集为r的充要条件；设函数y=f（x）的定义域为r，则函数f（x）与f（x）的图象关于y轴对称；若函数y=acos（x+）（a0）为奇函数，则=+k（kz）；已知x（0，），则y=sinx+的最小值为2；期中正确的有（）a0个b1个c2个d3个4（5分）复数（）2=（）a34ib3+4ic34id3+4i5（5分）已知函数y=x33x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）a2或2b9或3c1或1d3或16（5分）在abc中，sin2asin2b+sin2csinbsinc，则a的取值范围是（）a（0，b，）c（0，d，）7（5分）下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）abcd8（5分）设m1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（）a（1，）b（，+）c（1，3）d（3，+）9（5分）已知非零向量与满足且= 则abc为（）a等边三角形b直角三角形c等腰非等边三角形d三边均不相等的三角形10（5分）已知等比数列an中，a2a8=4a5，等差数列bn中，b4+b6=a5，则数列bn的前9项和s9等于（）a9b18c36d7211（5分）已知数列an的首项a1=1，an+1=3sn（n1），则下列结论正确的是（）a数列an是等比数列b数列a2，a3，an是等比数列c数列an是等差数列d数列a2，a3，an是等差数列12（5分）若函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c0）没有零点，则的取值范围是（）a（1，+）b1，+）c（2，+）d2，+）二、填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，br）的值域为0，+），若关于x的不等式f（x）c的解集为（m，m+6），则实数c的值为14（5分）关于函数，有下列命题其图象关于y轴对称；当x0时，f（x）是增函数；当x0时，f（x）是减函数；f（x）的最小值是lg2；f（x）在区间（1，0）、（2，+）上是增函数；f（x）无最大值，也无最小值其中所有正确结论的序号是15（5分）设曲线y=xn+1（nn*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an=lgxn，则a1+a2+a99的值为16（5分）已知定义在r上的函数f（x），g（x）满足，且f（x）g（x）f（x）g（x），若有穷数列的前n项和等于，则n=三、解答题（本大题共5小题，共70分，应写出文字说明，演算过程，把答案填在答题卡上）17（12分）已知向量=（sinx，），=（cosx，1）（1）当时，求2cos2xsin2x的值；（2）求f（x）=（+）在，0上的最大值18（12分）在abc中，a，b，c分别为内角a，b，c的对边，abc的面积是30，cosa=（1）求； （2）若cb=1，求a的值19（12分）已知等差数列an满足a3=7，a5+a7=26，an的前n项和为sn（1）求an及sn；（2）令bn=（nn），求数列bn的前n项和tn20（12分）已知单调递增的等比数列an满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=anan，sn=b1+b2+bn，求使sn+n2n+150成立的正整数n的最小值21（12分）设f（x）=ex（ax2+x+1），且曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行（1）求a的值，并讨论f（x）的单调性；（2）证明：当四、选做题（以下两题考生任选一题，每题10分，若多做，以第一题计分）【选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分】22（10分）设函数f（x）=（1）当a=5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为r，试求a的取值范围【选修4-4坐标系与参数方程(本小题满分0分)】23已知直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半径为极轴）中，曲线c的极坐标方程为=4cos（1）分别将直线l和曲线c的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）设直线l与曲线c交于p、q两点，求|pq|山西省太原市现代双语学校2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题12个，每小题5分，共60分）1（5分）设p和q是两个集合，定义集合pq=x|xp，且xq，如果p=x|log2x1，x|x2|1，那么pq=（）ax|0x1bx|xx1cx|1x2dx|2x3考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：求解对数不等式和绝对值的不等式化简集合p，q，然后直接利用定义得答案解答：解：p=x|log2x1=x|0x2，q=x|x2|1=x|1x3，由pq=x|xp，且xq，得pq=x|xx1故选：b点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了对数不等式和绝对值不等式的解法，是基础题2（5分）已知a、b、c满足abc，且a+b+c=0，那么下列选项中不一定成立的是（）aabacbc（ba）0ccb2ab2dac（ac）0考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：不等式的解法及应用分析：由a、b、c满足abc，且a+b+c=0，可得a0，c0，b可以为任意实数即可得出解答：解：a、b、c满足abc，且a+b+c=0，a0，c0，b可以为任意实数当b=0时，cb2=ab2=0，因此c不一定成立故选：c点评：本题考查了不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题3（5分）下列几个命题；是一元二次不等式ax2+bx+c0的解集为r的充要条件；设函数y=f（x）的定义域为r，则函数f（x）与f（x）的图象关于y轴对称；若函数y=acos（x+）（a0）为奇函数，则=+k（kz）；已知x（0，），则y=sinx+的最小值为2；期中正确的有（）a0个b1个c2个d3个考点：命题的真假判断与应用 专题：函数的性质及应用分析：，利用二次函数的性质及充分必要条件的概念及应用可判断；，构造函数y=f（x）=sinx与y=sin（x），则函数f（x）与f（x）的图象关于x轴对称，可判断；，利用定义域为r上的奇函数的性质可知f（0）=0，易得=+k（kz），可判断；，令t=sinx，则0t1，由双钩函数y=t+的单调性可知，y=t+在区间（0，1上单调递减，可判断解答：解：对于，是一元二次不等式ax2+bx+c0的解集为r的充要条件，故正确；对于，y=sinx与y=sin（x）的定义域均为r，但二者的图象关于x轴对称，故错误；设函数y=f（x）的定义域为r，则函数f（x）与f（x）的图象关于y轴对称；对于，若函数y=acos（x+）（a0）为奇函数，则f（0）=acos=0，=+k（kz），故正确；对于，x（0，），sinx（0，1，令t=sinx，则0t1，由双钩函数y=t+的单调性可知，y=t+在区间（0，1上单调递减，ymin=1+=3，即y=sinx+的最小值为3，故错误；综上所述，正确的命题为，故选：c点评：本题考查函数的性质，主要考查函数的奇偶性、单调性、对称性的综合应用，考查二次函数的性质及充分必要条件的概念及应用，属于中档题4（5分）复数（）2=（）a34ib3+4ic34id3+4i考点：复数代数形式的混合运算 专题：计算题分析：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果解答：解：（）2=2=（12i）2=34i故选a点评：本题主要考查复数的除法和乘方运算，是一个基础题，解题时没有规律和技巧可寻，只要认真完成，则一定会得分5（5分）已知函数y=x33x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）a2或2b9或3c1或1d3或1考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系 专题：计算题分析：求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x33x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值解答：解：求导函数可得y=3（x+1）（x1），令y0，可得x1或x1；令y0，可得1x1；函数在（，1），（1，+）上单调增，（1，1）上单调减，函数在x=1处取得极大值，在x=1处取得极小值函数y=x33x+c的图象与x轴恰有两个公共点，极大值等于0或极小值等于013+c=0或1+3+c=0，c=2或2故选：a点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于06（5分）在abc中，sin2asin2b+sin2csinbsinc，则a的取值范围是（）a（0，b，）c（0，d，）考点：正弦定理；余弦定理 专题：三角函数的求值分析：先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosa的范围，进而求得a的范围解答：解：由正弦定理可知a=2rsina，b=2rsinb，c=2rsinc，sin2asin2b+sin2csinbsinc，a2b2+c2bc，bcb2+c2a2cosa=aa0a的取值范围是（0，故选c点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆7（5分）下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）abcd考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：压轴题分析：先根据图象求出函数的最小正周期，从而可得w的值，再根据正弦函数的平移变化确定函数的解析式为，最后根据诱导公式可确定答案解答：解：从图象看出，t=，所以函数的最小正周期为，函数应为y=sin2x向左平移了个单位，即=，故选d点评：本题考查正弦函数平移变换和最小正周期的求法、根据图象求函数解析式考查学生的看图能力8（5分）设m1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（）a（1，）b（，+）c（1，3）d（3，+）考点：简单线性规划的应用 专题：压轴题；数形结合分析：根据m1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（，）上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此构造出关于m的不等式组，解不等式组即可求出m 的取值范围解答：解：m1故直线y=mx与直线x+y=1交于点，目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在点，取得最大值其关系如下图所示：即，解得1m又m1解得m（1，）故选：a点评：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中根据平面直线方程判断出目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在点取得最大值，并由此构造出关于m的不等式组是解答本题的关键9（5分）已知非零向量与满足且= 则abc为（）a等边三角形b直角三角形c等腰非等边三角形d三边均不相等的三角形考点：三角形的形状判断 专题：计算题分析：通过向量的数量积为0，判断三角形是等腰三角形，通过=求出等腰三角形的顶角，然后判断三角形的形状解答：解：因为，所以bac的平分线与bc垂直，三角形是等腰三角形又因为，所以bac=60，所以三角形是正三角形故选a点评：本题考查向量的数量积的应用，考查三角形的判断，注意单位向量的应用，考查计算能力10（5分）已知等比数列an中，a2a8=4a5，等差数列bn中，b4+b6=a5，则数列bn的前9项和s9等于（）a9b18c36d72考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由等比数列的性质结合已知求得a5=4，代入b4+b6=a5，进一步代入等差数列的求和公式得答案解答：解：数列an是等比数列，a2a8=，又a2a8=4a5，解得a5=4b4+b6=a5=4数列bn是等差数列，数列bn的前9项和s9=故选：b点评：本题考查了等比数列和等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题11（5分）已知数列an的首项a1=1，an+1=3sn（n1），则下列结论正确的是（）a数列an是等比数列b数列a2，a3，an是等比数列c数列an是等差数列d数列a2，a3，an是等差数列考点：数列递推式 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：在数列递推式中取n=n1得另一递推式，作差后得到an+1=4an（n2），由已知求得a2=3，说明数列从第二项起是公比为4的等比数列解答：解：由an+1=3sn（n1），得an=3sn1（n2），两式作差得：an+1an=3an（n2），即an+1=4an（n2），a1=1，an+1=3sn（n1），a2=3数列a2，a3，an是公比为4的等比数列故选：b点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，是基础题12（5分）若函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c0）没有零点，则的取值范围是（）a（1，+）b1，+）c（2，+）d2，+）考点：函数的零点与方程根的关系 专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：利用函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c0）没有零点，可得b24ac，再利用基本不等式，即可求得的取值范围解答：解：函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c0）没有零点b24ac0b24aca，c0，（a+c）2=a2+c2+2ac4ac（a+c）2b2a+cb01的取值范围是（1，+）故选a点评：本题考查函数的零点，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题二、填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，br）的值域为0，+），若关于x的不等式f（x）c的解集为（m，m+6），则实数c的值为9考点：一元二次不等式的应用 专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m，m+6，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可解答：解：函数f（x）=x2+ax+b（a，br）的值域为0，+），f（x）=x2+ax+b=0只有一个根，即=a24b=0则b=不等式f（x）c的解集为（m，m+6），即为x2+ax+c解集为（m，m+6），则x2+ax+c=0的两个根为m，m+6|m+6m|=6解得c=9故答案为：9点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题14（5分）关于函数，有下列命题其图象关于y轴对称；当x0时，f（x）是增函数；当x0时，f（x）是减函数；f（x）的最小值是lg2；f（x）在区间（1，0）、（2，+）上是增函数；f（x）无最大值，也无最小值其中所有正确结论的序号是考点：对数函数的值域与最值；对数函数的单调性与特殊点 专题：探究型分析：判断函数是否为偶函数即可将复合函数转化为两个基本函数，令t=（x0），易知在（0，1上是减函数，在1，+）上是增函数因为t=2（x0），再由偶函数，可知正确当1x0或x1时函数t=是增函数，再根据复合函数判断用来判断解答：解：定义域为r，又满足f（x）=f（x），所以函数y=f（x）的图象关于y轴对称，正确令t=（x0），在（0，1上是减函数，在1，+）上是增函数，不正确t=2，又是偶函数，所以函数f（x）的最小值是lg2，正确当1x0或x1时函数t=是增函数，根据复合函数知，f（x）是增函数，正确由知，不正确故答案为：点评：本小题主要考查对数函数的单调性与特殊点、对数函数的值域与最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想属于基础题15（5分）设曲线y=xn+1（nn*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an=lgxn，则a1+a2+a99的值为2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和 专题：计算题分析：由曲线y=xn+1（nn*），知y=（n+1）xn，故f（1）=n+1，所以曲线y=xn+1（nn*）在（1，1）处的切线方程为y1=（n+1）（x1），该切线与x轴的交点的横坐标为xn=，故an=lgnlg（n+1），由此能求出a1+a2+a99解答：解：曲线y=xn+1（nn*），y=（n+1）xn，f（1）=n+1，曲线y=xn+1（nn*）在（1，1）处的切线方程为y1=（n+1）（x1），该切线与x轴的交点的横坐标为xn=，an=lgxn，an=lgnlg（n+1），a1+a2+a99=（lg1lg2）+（lg2lg3）+（lg3lg4）+（lg4lg5）+（lg5lg6）+（lg99lg100）=lg1lg100=2故答案为：2点评：本题考查利用导数求曲线的切线方程的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答16（5分）已知定义在r上的函数f（x），g（x）满足，且f（x）g（x）f（x）g（x），若有穷数列的前n项和等于，则n=5考点：数列与函数的综合 专题：综合题；压轴题；等差数列与等比数列分析：根据函数商的导数公式确定a的范围，利用方程求得a值，从而可得有穷数列是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式，即可求得结论解答：解：函数f（x），g（x）满足，f（x）g（x）f（x）g（x），（ax）0（ax）=axlna0，0a1，a+=a=或a=2（舍去）有穷数列是以为首项，为公比的等比数列有穷数列的前n项和等于，=n=5故答案为：5点评：本题考查数列与函数的综合，考查导数知识的运用，确定有穷数列是以为首项，为公比的等比数列是关键三、解答题（本大题共5小题，共70分，应写出文字说明，演算过程，把答案填在答题卡上）17（12分）已知向量=（sinx，），=（cosx，1）（1）当时，求2cos2xsin2x的值；（2）求f（x）=（+）在，0上的最大值考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：（1）当时可得tanx=，可得2cos2xsin2x=，化为切函数，代值计算可得；（2）由向量和三角函数的知识可得f（x）=sin（2x+），由x的范围可得解答：解：（1）当时，sinx=cosx，tanx=，2cos2xsin2x=；（2）f（x）=（+）=+=sinxcosx+cos2x+1=sin2x+1=sin2x+cos2x=sin（2x+），x，0，2x+，sin（2x+），当sin（2x+）=时，f（x）=（+）取最大值点评：本题考查平面向量与三角函数的综合应用，熟练掌握公式是解决问题的关键，属中档题18（12分）在abc中，a，b，c分别为内角a，b，c的对边，abc的面积是30，cosa=（1）求； （2）若cb=1，求a的值考点：平面向量数量积的运算；余弦定理 专题：平面向量及应用分析：（1）由同角三角函数的基本关系可得sina=，结合面积可得bc=156，由数量积的定义可得；（2）由余弦定理可得a2=b2+c22bccosa=（cb）2+2bc（1cosa），代值计算可得解答：解：（1）在abc中，cosa=，sina=，abc的面积s=bcsina=bc=30，解得bc=156，=bccosa=156=144，（2）由余弦定理可得a2=b2+c22bccosa=（cb）2+2bc（1cosa）=1+2156（1）=25a=5点评：本题考查平面向量的数量积，涉及解三角形，属基础题19（12分）已知等差数列an满足a3=7，a5+a7=26，an的前n项和为sn（1）求an及sn；（2）令bn=（nn），求数列bn的前n项和tn考点：数列的求和；等差数列的性质 专题：计算题分析：（1）根据等差数列的两项之和的值，根据等差数列等差中项的性质得到a6，根据连续两项得到数列的公差，根据通项写出要求的第四项和数列的前n项和（2）本题需要根据上一问的结果构造新数列，把第一问做出的通项代入，整理出结果，发现这是一个裂项求和的问题，得到前n项和解答：解（1）a3=7，a5+a7=26，an=2n+1sn=（2）由第一问可以看出an=2n+1=tn=点评：本题考查等差数列的性质，考查数列的构造，解题的关键是看清新构造的数列是一个用什么方法来求和的数列，注意选择应用合适的方法20（12分）已知单调递增的等比数列an满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=anan，sn=b1+b2+bn，求使sn+n2n+150成立的正整数n的最小值考点：数列的求和；等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：（1）设等比数列an的首项为a1，公比为q，依题意，可得到关于a1与q的方程组，解之即可求得数列an的通项公式；（2）（1）得an=2n，再由bn=anan，可得bn=n2n，于是sn=（12+222+n2n），利用错位相减法即可求得sn=2+22+23+2nn2n+1=2n+12n2n+1，解不等式sn+n2pn+1p50即可求得使之成立的正整数n的最小值解答：解：（1）设等比数列an的首项为a1，公比为q依题意，有2（a3+2）=a2+a4，代入a2+a3+a4=28，可得a3=8，a2+a4=20，（2分）即，解之得或 （4分）又数列an单调递增，所以q=2，a1=2，数列an的通项公式为an=2n （6分）（2）因为，所以sn=（12+222+n2n），2sn=122+223+（n1）2n+n2n+1，两式相减，得sn=2+22+23+2nn2n+1=2n+12n2n+1 （10分）要使sn+n2n+150，即2n+1250，即2n+152易知：当n4时，2n+125=3252；当n5时，2n+126=6452故使sn+n2n+150成立的正整数n的最小值为5（12分）点评：本题考查数列的求和，着重考查等比数列的通项公式的应用，突出考查错位相减法求和，考查运算、分析、求解的能力，属于中档题21（12分）设f（x）=ex（ax2+x+1），且曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行（1）求a的值，并讨论f（x）的单调性；（2）证明：当考点：利用导数研究函数的单调性 专题：压轴题分析：（1）先对函数f（x）进行求导，然后根据在x=1处的导数值等于其切线的斜率可求a的值，然后当f（x）0时可求函数的单调递减区间，当f（x）0时可求函数的单调递增区间（2）先确定函数f（x）在0，1单调增，求出最大值和最小值，故根据任意x1，x20，1，有|f（x1）f（x2）|e12，将cos、sin代入即可得到答案解答：解：（）f（x）=ex（ax2+x+1+2ax+1）由条件知，f（1）=0，故a+3+2a=0a=1于是f（x）=ex（x2x+2）=ex（x+2）（x1）故当x（，2）或（1，+）时，f（x）0；当x（2，1）时，f（x）0从而f（x）在（，2），（1，+）单调减少，在（2，1）单调增加（）由（）知f（x）在0，1单调增加，故f（x）在0，1的最大值为f（1）=e，最小值为f（0）=1从而对任意x1，x20，1，有|f（x1）f（x2