韩信点兵与中国剩余定理.doc

趣题找次品： 1）有5个外形相同的乒乓球，其中只有 1个重量不标准的次品乒乓球。 现再给你一个标准球；请用一架不带砝码的天平，最多两次使用该天平，找出上述次品乒乓球。 第四节韩信点兵与中国剩余定理 一、“韩信点兵”的故事和孙子算经中的题目 1.“韩信点兵”的故事 韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这队士兵6人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（5人）；再让这队士兵7人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（4人），再让这队士兵11人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（10人）。 然后韩信就凭这些数，可以求得这队士兵的总人数。 这里面有什么秘密呢？ 韩信好像非常重视作除法时的余数 2.孙子算经中的题目 我国古代数学名著孙子算经中有“物不知数”的 题目： 今有物不知其数， 三三数之剩2， 五五数之剩3， 七七数之剩2， 问物几何？ 这里面又有什么秘密呢？ 题目给出的条件， 也仅仅是作除法时的余数 孙子算经 二问题的解答 1从另一个问题入手 问题：今有物不知其数，二二数之剩1，三三数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六数之剩5，七七数之剩6，八八数之剩7，九九数之剩8，问物几何？ 1）筛法 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19， 21，23，25， （ 用2除余1） 5， 11， 17， 23， （ 用3除余2） 11， 23， （ 用4除余3） 再从中挑“用5除余4”的数， 一直筛选下去，舍得下功夫，就一定可得结果。 并且看起来，解，还不是唯一的；可能有无穷多个解。 化繁为简的思想 当问题中有很多类似的条件时，我们先只看其中两三个条件，这就是化繁为简。 一个复杂的问题，如果在简化时仍然保留了原来问题的特点和本质，那么简化就“不失一般性”。 学会“简化问题”与学会“推广问题”一样，是一种重要的数学能力。 寻找规律的思想 把我们的解题方法总结为筛法，是重要的进步，是质的飞跃： 找到规律了。 筛法是一般性方法，还可以用来解决其他类似的问题。 所谓“带余除法”，是指整数的如下 “除法”： 被除数 ，除数 , 必唯一存在商 和余 ，使 当余 时，则 ，称为 “ 整除”，或 “ 整除 ”，这是通常除法“ ” 的另一种表达形式。所以，带余 除法是通常除法的推广。 回到求“用2除余1的数”的问题。设这 样的数为 ，则 。这里 是 被除数，2是除数， 是商，1是余， 且 。 这就是“带余除 法”的式子。当取 时， 用上式求得的 正好组成上述数列 1，3，5，7，9，11，13，15， 17，19，21，23，25， 接着从中筛选出“用3除余2”的 数，就是挑出符合下面“带余除法”表达式 的数，这里 可取0，1，2，3，4， 再继续做下去。 如果我们不分上面两步，而是一上来就综合考虑两者，则就是要解联立方程组 于是把上边每个方程两边都加上1，成为 这说明， 既是2的倍数，又是3的 倍数，因此，它是2与3的公倍数。由此想到 对整个问题寻找规律 问题： 今有物不知其数，二二数之剩1，三三数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六数之剩5，七七数之剩6，八八数之剩7，九九数之剩8，问物几何？ 寻找规律 设问题中，需要求的数是 ，则 被2，3，4，5，6，7，8，9去除，所得的余数都是比除数少1，于是我们把被除数 再加1， 则 就可被2，3，4，5，6，7，8，9均整除。也就是说， 是2,3,4,5,6,7,8,9的公倍数，从而是其最小公倍数2,3,4,5,6,7,8,9的倍数。 即 这就是原问题的全部解，有无穷多个解，其中第一个解是2519；我们只取正数解，因为“物体的 个数”总是正整数。 思： 求“用2除余1，3除余2， 用m除余 m 1”的数。 求“用a除余a 1，用b除余b1，用c除余c1”的数。 （a,b,c是任意大于1的自然数） 求“用2，3，4，5，6，7，8，9除 都余1”的数。 求“用5，7，9，11 除都余2”的数。 2孙子算经中“有物不知其数” 问题的解答 问题：今有物不知其数， 三三数之剩2， 五五数之剩3， 七七数之剩2， 问物几何？ 1）筛法. 2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，（用3除余2） 8，23， （用5除余3） 23， （用7除余2） 由此得到，23是最小的一个解。 至于下一个解是什么，要把“”写出来才知道； 实践以后发现，是要费一点儿功夫的。 2）公倍数法 现在仿照上边用过的“公倍数法”，设要求的数为 ，则依题意，得联立方程组 一种试算的方法 从第三个等式入手，两边加5（或减2）则 得 则右边是7的倍数了，但两边加5（或减2）并不能使前两式的右边分别是3的倍数和5的倍数，所以两边加5（或减2）并不能使右边成为3，5，7的公倍数。再继续从第三个等式入手，为使第三个等式右边仍然保持是7的倍数，可再加 （或再减 ），则 （或 ） 将 代入试算、分 析， 最后发现，为达到目的 （三个等式的右边分别是3，5，7的倍 数），最小的加数是82（ 时 ）（或最小的减数是23，即 时 ）。 用等式两边加82来求解，有 用等式两边减23来求解，有 多了一个“ ” ，因这时 也是正数，合 要求。 这两组解是一样的，都是“23，23+105，23+2105，”。 原因是82+23=105，故令 第一组解就成为 便转化成第二组解。 但是，这82和23来之不易；并且如果 题目中的余数变了，就得重新试算，所以 这方法缺少一般性，为使它具有一般性， 要做根本的修改。 3）单因子构件凑成法 我们先对前几页（*）式作两个方面的简化：一方面是每次只考虑“一个除式”有余数的情况（即另两个除式都是整除的情况）；另一方面是把余数都简化为最简单的1。这样得到三组方程。 （1）式意味着，在5和7的公倍数中（35，70，105，）寻找被3除余1的数； （2）式意味着，在3和7的公倍数中（21，42，63，）寻找被5除余1的数； （3）式意味着，在3和5的公倍数中（15，30，45，）寻找被7除余1的数。 对（1）式而言，这个数可以取70，对（2）式而言，这个数可以取21，对（3）式而言，这个数可以取15。 于是（1）式两边同减70变为这样：第二式右边仍是5的倍数，第三式右边仍是7的倍数，而第一式右边因为减的70是“用3除余1”的数，正好原来也多一个1，减没了。第一式右边也成为了倍数，是3的倍数。 （2）式两边同减21变为 （3）式两边同减15变为 于是得到 现在重复一下：所得的x是被3除余1，被5和7除余0的数；y是被5除余1，被3和7除余0的数；z是被7除余1，被3和5除余0的数。 那么，凑出 ， s 不就是我们需要求的数吗？ 因为，用3去除s时，除y及除z均余0 除3y及除2z均余0， 又除x余1 除2x余2，用3除s时余2。 用5去除s时，除x及除z均余0 除2x及除2z均余0， 又除y余1