高中数学 第一章 立体几何 1.2.1 平面的基本性质与推论课件 新人教B版必修2.ppt

1 2 1平面的基本性质与推论 一 二 三 四 一 点 线 面之间的位置关系及表示 问题思考 1 直线l不在平面 内 就是说 直线l与平面 平行 对吗 提示 不对 直线l不在平面 内说明直线l与平面 平行或者直线l与平面 相交 2 填写下表 一 二 三 四 一 二 三 四 3 做一做 下列图形中 满足 ab a b a ab b ab的图形是 解析 可以根据图形的特点及直线与平面的位置关系进行判断 答案 c 一 二 三 四 二 平面的基本性质 问题思考 1 经过空间中的三点 能作出几个平面 提示 当三点共线时 能作出无数个平面 当三点不共线时 只能过该三点作出唯一的一个平面 2 填写下表 一 二 三 四 一 二 三 四 3 做一做 如果直线a 平面 直线b 平面 m a n b 且m l n l 那么 a l b l c l md l n解析 因为m a n b a b 所以m n 根据基本性质1可知l 故选a 答案 a 一 二 三 四 4 做一做 若两个不重合的平面有公共点 则公共点有 a 1个b 2个c 1个或无数个d 无数个且在同一条直线上解析 利用基本性质3可知若两个平面有一个公共点 则它们就一定有一条交线 而线是由无数个点构成的 所以这两个平面有无数个在同一直线上的交点 答案 d 一 二 三 四 三 平面基本性质的推论 问题思考 1 对于基本性质2及平面基本性质的三个推论你是怎样理解的 提示 基本性质2和平面基本性质的三个推论可作为确定平面的依据 还可作为判定两个平面重合的依据 确定 和 有且只有一个 是同义词 有 说明存在性 只有一个 说明唯一性 数学中的 只有一个 并不保证符合条件的图形一定存在 所以不能用 只有一个 来代替 有且只有一个 符合某一条件的图形既存在 而且只能有一个 就说明这个图形是完全确定的 一 二 三 四 2 填写下表 一 二 三 四 四 空间两条直线的位置关系 问题思考 1 如图所示长方体abcd a1b1c1d1 你能找出一个平面能同时经过棱ab和棱b1c1所在的直线吗 提示 找不到 因为这两条棱所在的直线既不平行 也不相交 它们是不能同在任何一个平面内的 这样的两条直线就是本节所要研究的异面直线 一 二 三 四 2 填写下表 一 二 三 四 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 如果直线a与直线b是异面直线 直线b与直线c也是异面直线 那么直线a与直线c也一定是异面直线 2 如果两个平面有三个公共点 那么这两个平面必重合 3 平面 与平面 只有一个公共点 4 不共线的四点最多可确定4个平面 5 两两相交的三条直线必共面 答案 1 2 3 4 5 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 文字语言 图形语言和符号语言的转换 例1 如图所示 写出图形中的点 直线和平面之间的关系 图 1 可以用几何符号表示为 图 2 可以用几何符号表示为 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 解析 图 1 可以用几何符号表示为 ab a b a ab b ab 即平面 与平面 相交于直线ab 直线a在平面 内 直线b在平面 内 直线a平行于直线ab 直线b平行于直线ab 图 2 可以用几何符号表示为 mn abc的三个顶点满足条件a mn b c b mn c mn 即平面 与平面 相交于直线mn abc的顶点a在直线mn上 点b在 内但不在直线mn上 点c在平面 内但不在直线mn上 答案 ab a b a ab b ab mn abc的三个顶点满足条件a mn b c b mn c mn 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟在立体几何中使用符号语言时 应明确符号语言在代数与几何中的差异 首先是结合集合知识了解规定符号的背景 然后找出它们的区别与联系 1 等符号来源于集合符号 但在读法上用几何语言 例如 a 读作 点a在平面 内 a 读作 直线a在平面 内 l读作 平面 相交于直线l 2 在 a a l l 中 a 视为平面 集合 内的点 元素 直线l 集合 视为平面 集合 的子集 明确这一点 才能正确使用集合符号 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 点线共面问题 例2 1 有下列四个说法 过三点确定一个平面 矩形是平面图形 三条直线两两相交则确定一个平面 两个相交平面把空间分成四个区域 其中错误的序号是 a 和 b 和 c 和 d 和 2 如图所示 已知直线a与两平行直线b c都相交 求证 a b c三线共面 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 1 解析 不共线的三点确定一个平面 故 错 三条直线两两相交 交于三点时 确定一个平面 交于一点时 可确定一个或三个平面 故 错 答案 b 2 思路分析 有两种方法 先用两平行直线b c确定一个平面 再证a也在这个平面内 先由两条相交直线a b确定一个平面 再证c也在这个平面内 证法一因为b c 所以b c确定一个平面 设为 如图 令a b a a c b 所以a b 所以ab 即直线a 所以a b c三线共面 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 证法二因为a与b是相交直线 所以a b确定一个平面 设为 如图 设a c a 过a点在 内作直线c b 因为c b c b 所以c c 又因为c与c 相交于点a 所以c与c 重合 所以a b c三线共面 反思感悟1 本题为我们证明共面问题提供了多角度的思维模式 但整体套路都是先用部分对象确定一个平面 再证明剩余对象都在这个平面内 2 证明点线共面还可以先证明有关的点 线确定平面 再证明其余元素确定平面 最后证明平面 重合 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练求证 两两相交且不共点的四条直线共面 解 已知 a b c d是两两相交且不共点的四条直线 求证 a b c d共面 证明 1 无三线共点情况 如图 1 所示 设a d m b d n c d p a b q a c r b c s 则由a d m 知a d可确定一个平面 因为n d q a 所以n q 所以nq 即b 同理c 所以a b c d共面 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 2 有三线共点的情况 如图 2 所示 设b c d三线相交于点k 与a分别交于n p m 且k a 因为k a 所以k和a确定一个平面 设为 因为n a a 所以n 所以nk 即b 同理c d 所以a b c d共面 由 1 2 知 a b c d共面 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 线共点问题 例3 1 在空间四边形abcd的各边ab bc cd da上依次取点e f g h 若eh fg所在直线相交于点p 则 a 点p必在直线ac上b 点p必在直线bd上c 点p必在平面bcd外d 点p必在平面abc内 2 如图 在四面体abcd中 e g分别为bc ab的中点 f在cd上 h在ad上 且有df fc dh ha 2 3 求证 ef gh bd交于一点 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 思路分析 1 根据基本性质3易知点d 交线bp 2 先设gh与ef交于o 再说明o bd即可 1 答案 b 2 解 如图可知 平面abd 平面bcd bd 所以fh ge且gh ef交于点o 因为gh 平面abd o gh 所以o 平面abd 因为ef 平面bcd o ef 所以o 平面bcd 所以o bd 所以ef gh bd交于一点 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟证明三线共点常用的方法1 先说明两条直线共面且交于一点 再说明这个点在两个平面内 于是该点在这两个平面的交线上 从而得到三线共点 2 先说明a b相交于一点a b与c相交于一点b 再说明a b是同一点 从而得到a b c三线共点 注意 证明线共点主要利用基本性质1 基本性质3作为推理的依据 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 1 例3 2 中将证明ef gh bd交于一点改为判断e f g h四点是否共面并证明 2 例3 2 中如果将条件改为在ab bc cd da上分别取点g e f h并且满足gh与ef相交于一点o 结论如何 解 1 因为df fc dh ha 2 3 所以fh ac且fh ac 因为点e g分别为bc ab的中点 所以ge ac且ge ac 故ge hf且ge hf 所以e f g h四点共面且组成梯形 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 2 ef gh bd交于点o 证明 因为gh与ef相交于一点o gh在平面abd内 ef在平面bcd内 所以o在两平面的交线上 而平面abd与平面bcd交于直线bd 所以o在bd上 即ef gh bd交于点o 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 交线问题 例4 如图所示 g是正方体abcd a1b1c1d1的棱dd1延长线上一点 e f是棱ab bc的中点 试分别画出过下列点 直线的平面与正方体表面的交线 1 过点g及直线ac 2 过三点e f d1 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 思路分析 找出两个平面的两个公共点 则过这两个公共点的直线为两平面的交线 解 1 画法 连接ga交a1d1于点m 连接gc交c1d1于点n 连接mn ac 则ma cn mn ac为所求平面与正方体表面的交线 如图 所示 2 画法 连接ef交dc的延长线于点p 交da的延长线于点q 连接d1p交cc1于点m 连接d1q交aa1于点n 连接mf ne 则d1m mf fe en nd1为所求平面与正方体表面的交线 如图 所示 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟1 画两平面的交线时 关键是找到这两个平面的两个公共点 这两个公共点的连线即是 在找公共点的过程中往往要借助于基本性质1和基本性质3 一般是用基本性质1找到 再用基本性质3证明 2 还要注意 1 在平面几何中 凡是所引的辅助线都要画成虚线 2 在立体几何中 被遮挡的部分画成虚线 没被遮挡的部分则画成实线 在学习时 一定要正确添加辅助线 否则将影响空间立体感的形成 不利于空间想象力的培养 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 对点 线 面的位置关系考虑不全而致误 典例 在空间四点中 如果任意三点都不共线 那么由这四点可以确定多少个平面 说明理由 错解在因为不共线的三点确定一个平面 所以由题设条件中的四点可确定四个平面 以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何订正 你怎么防范 提示 错解考虑的不全面 仅考虑了四个点不共面的情况 而遗漏了四点共面的情形 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 正解 空间任意三点都不共线的四个点有两种位置关系 第一种 当由其中任意不共线的三点所确定的平面都过第四个点时 由这四个点只能确定一个平面 第二种 当由其中任意不共线的三点所确定的平面都不过第四个点时 由这四个点可确定四个平面 综上所述 由题设条件中的四点可确定一个或四个平面 防范措施1 对于确定平面个数问题 在讨论中要考虑全面 尤其要分清给出几个点的可能的位置关系 进行分类讨论 2 可借助正方体 三棱锥等特殊几何体进行直观观察 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练有空间不同的五个点 1 若有某四点共面 则这五点最多可确定多少个平面 2 若任意四点都在同一平面内 则这五点共能确定多少个平面 并证明你的结论 解 1 当共面的四点任意三点不共线 另一点不在该平面内时 这五点确定的平面最多 如图所示 最多可确定5个平面 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 2 若任意四点都在同一平面内 这五点必共面 证明如下 若a b c d四点在平面 内 a b c p在同一平面内 可分如下情况证明 若a b c三点不共线 则平面 为a b c确定的平面 所以点p在平面内 故五点共面 若a b c三点在直线l上 则当点d或p也在l上时 五点共面 若点d p都不在l上 则直线dp与直线ab必在a b d p所在的平面内 点c也在这一平面内 从而五点也共面 1 2 3 4 5 6 1 下面空间图形画法错误的是 答案 d 1 2 3 4 5 6 2 平面 l 点a 点b 且c l 但c 又ab l r 如图 由a b c三点确定的平面为 则 是 a 直线acb 直线bcc 直线crd 直线ar解析 由已知条件可知c a b 所以ab 而r ab 所以r 又因为c r 故cr 答案 c 1 2 3 4 5 6 3 空间中可以确定一个平面的条件是 a 两两相交的三条直线b 三条直线 其中的一条与另外两条直线分别相交c 三个点d 三条直线 它们两两相交 但不交于同一点 1 2 3 4 5 6 解析 a中两两相交的三条直线 它们可能相交于同一点 也可能不交于同一点 若交于同一点 则三条直线不一定在同一个平面内 故应排除a b中另外两条直线可能共面 也可能不共面 当另外两条直线不共面时 三条直线是不能确定一个平面的 故应排除b 对于c来说 三个点可能不在同一直线上 也可能在同一直线上 只有前者才能确定一个平面 后者是不能确定平面的 故应排除c 只有条件d中三条直线 它们两两相交且不交于同一点 可确定一个平面 故选d 答案 d 1 2 3 4 5 6 4 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 下列叙述正确的是 只填序号 1 直线ac1 平面cc1b1b 2 设正方形abcd与a1b1c1d1的中心分别为o o1 则平面aa1c1c 平面bb1d1d oo1 3 点a o c只能确定一个平面 4 由点a c1 b1确定的平面是adc1b1 5 由点a c1 b1确定的平面和由点a c1 d确定的平面是同一平面 答案 2 4 5 1 2 3