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2.4逆变换和逆矩阵第一课时 逆变换与逆矩阵教学目标一、知识与技能：会用代数或几何方法判断一个二阶矩阵是否存在逆矩阵，存在情况下，会求逆矩阵二、过程与方法：讲练结合法三、情感态度和价值观：体会问题的探究与深入方法教学难点、重点求二阶逆矩阵教学过程一、问题情景 （1）这个对应终归是什么对应？ （2）这个对应是否一定可以实现？在学过的恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换中，哪些可以实现，那些不能？由此得到能实现此这种变换的条件是什么？（不一定能实现；恒等、伸压、反射、旋转、切变可以实现，投影不能实现；是一一对应的变换可以实现，不是一一对应的不能实现） （3）对应的矩阵如何表示？若T1对应变换矩阵为A，T2对应的变换矩阵为B，BA=E二、问题的深入 1、相关定义 以上变换T2、T1称作对方的逆变换，T1、T2称互逆的相应的矩阵A、B满足：AB=BA=E，称A是可逆的，B称A的逆矩阵例1、A=,B=,C=,问B、C是否为A的逆矩阵？解答：B不是，C是思考1：一个矩阵A存在逆矩阵，逆矩阵唯一吗？ 从直观角度上看，逆变换是唯一的，逆矩阵也应该唯一；可以进行验证：设A的逆矩阵为B1、B2，则有：B1=B1E=B1（AB2）=（B1A）B2=EB2=B2 这样，一个矩阵A存在逆矩阵，则其逆矩阵唯一，记为A-1思考2：如何判断一个二阶矩阵存在逆矩阵，又如何求呢？ 从几何角度是一个办法，但不是最家办法，因为许多矩阵不能看出是什么变换。所以从一般的角度加以考虑。首先，零矩阵一定没有逆矩阵设二阶非零矩阵的逆矩阵为，则=即方程组 有解，组成的x1,y1的方程组要有解；组成的x2、y2的方程组也要有解现用消去法解方程组。d得：adx1+bdy1=d b得：cbx1+bdy1=0 两式作差得到(ad-bc)x1=d,要有解，必须ad-bc0，此时x1=,将之代入得y1=- 对于，实质是将中a与c,b与d互换，从而x2=,y2=- 2、结论：一个二阶非零矩阵存在逆矩阵的条件是ad-bc0（主对角线积与副对角线积的差不为0），此时-1=与原矩阵比较：分母都是ad-bc，分子主对角线互换，副对角线变为其相反数即：主角对角积相减，四元分母尽一般；分子主角两相换，副角分子数相反这样判断及求逆矩阵方法有几何法和代数法两个方法例2、判断下列矩阵是否存在逆矩阵，存在条件下，求其逆矩阵(1) (2) (3) 解：（1）存在逆矩阵，-1= （2）不存在逆矩阵（3）存在逆矩阵，-1=思考3：A=，B= 求A-1、B-1、(AB)-1及B-1A-1，由此看出什么规律，这个规律是否对一般的情况仍然成立？A-1=,B-1=,(AB)-1=-1=,B-1A-1=,(AB)-1=B-1A-1对于一般的，对应矩阵也应有(AB)-1=B-1A-1这个结论还可以用代数方法证明：(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E，同理(B-1A-1)(AB)=E根据定义有(AB)-1=B-1A-1例3、求的逆矩阵 （）例4、A、B、C为二阶矩阵，AB=AC，A存在逆矩阵，则B与C是否相等，证明你的结论解：AB=ACA-1AB=A-1ACEB=ECB=C这一结论可以回答：矩阵乘法的消去律在有逆矩阵条件下成立练习：A、B、C为二阶矩阵，BA=CA，A存在逆矩阵，则B与C是否相等，证明你的结论（相等）三、小结：1、一个二阶非零矩阵存在逆矩阵的条件是ad-bc0（主对角线积与副对角线积的差不为0），此时-1=2、(AB)-1=B-1A-13、A存在逆矩阵时，AB=AC或BA=CA，则B=C四、作业：教材P63-1,2,3,6补充习题1、讨论矩阵存在逆矩阵的条件，当它可逆时求其逆矩阵2、求的逆矩阵补充习题答案1、d=0时不存在逆矩阵；d0时，存在逆矩阵2、情况反馈第二课时 二阶矩阵与二元一次方程组教学目标一、知识与技能：了解二阶行列式的定义，会用行列式和矩阵的方法求二元一次方程组的解，能用变换和映射的观点认识方程组解的意义二、过程与方法：讲授法三、情感态度和价值观：体会不同方法解题的优越性教学难点、重点矩阵法解方程组原理教学过程一、情景引入消元法二求解元一次方程组当adbc0时，方程组的解为问题：此结论有什么规律，能否进行简单记忆？二、新课内容1、二阶行列式有关定义定义：det(A) adbc因此方程组的解为 记：D，Dx，Dy，所以，方程组的解为这里Dx是将右边的常数列代替了x列，Dy是将y列用常数列代替思考：二阶矩阵与二阶行列式有什么不同？（矩阵是数表，行列式是一个数值）例1 求方程组的解解：方法一原方程可以化为，D=-2,Dx=-13,Dy=8所以，方程组的解为分析二：原方程化成 之后，可以用矩阵表示为AX=B,这样A-1AX=A-1B,X=A-1B方法二 原方程可以化为,即=-1=，故方程组的解为 说明：方法二的解法为矩阵法，对一般的存在逆矩阵的方程组解法有直接解方法、行列式法、矩阵法，有的还有几何法练习1：解方程组 （x=2,y=2）练习2：解方程= (x=4,y=1)练习3：在矩阵M=对应的变换TM作用下，求点P(1,0)、Q(0,1)的原象点的坐标 例2、给定一个二阶A，=，=， 求证（1）若A可逆，则有AA (2)若A=A，则A不可逆，并说明其几何意义 证明：(1)假设A=A，则A-1 A=A-1A，=与已知矛盾，故AA(2)若A可逆，设为A-1，则A-1 A=A-1A，=与已知矛盾，故A不可呢。几何意义，当一个矩阵将两个不同元素变为同一元素时，必非一一对应，矩阵不可逆例3、研究=的解解：是将平面上所有的点都垂直于x轴投影到y=x上，通过运算也可以得到=，x=2所以方程组有无数多个解，满足x=2直线上所有点都是其解 说明：不可逆，不能用行列式或逆矩阵方法求解 三、小结：方程组解法直接法、行列式法、逆矩阵法、几何变换法 四、作业：教材P63-4,5,7,8,9 补充习题1、对于二元一次方程组A=,其中A=,若A1=,A2=,用A、A1、A2的行列式表示方程组的解2、TA是绕原点旋转600的旋转变换，TB是切变角为450沿O