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第一章 矢量分析与场论基础内容提要1） 正交曲线坐标系：设有三组互相正交的曲面族由下列方程定义： 在正交曲线坐标中的线元、面元、体元分别为式中、代表循环量1、2、3，称拉梅系数。三种坐标系中坐标单位矢量间的关系：柱坐标与直角坐标球坐标与柱坐标球坐标与直角坐标 2） 矢量及其运算：直角坐标中算符的定义：一个标量函数的梯度为：梯度给出了一点上函数随距离变化的最大速率，它指向增大的方向。一个矢量穿过一个曲面的通量为对一个闭合曲面而言，向外为正。直角坐标系中的散度表示在这一点上每单位体积向外发散的的通量。散度定理： 散度的体积分=矢量的面积分其中是由所包围的体积。斯托克斯定理： 旋度的面积分=矢量的线积分其中是由所包围的面积。直角坐标系中的旋度拉普拉辛是梯度的散度在直角坐标系中：一个矢量的拉普拉辛定义为：其它坐标也可写成：柱坐标系中球坐标系中 3） 亥姆霍兹定理：矢量场可表示为一个无旋场分量和一个无散场分量之和其中 因此一个矢量场要从散度和旋度两个方面去研究 4） 函数定义： 性质 a）偶函数：b）取样性： 有机会用到的表达式： 1-1. 证明： =18+6-24=0 说明相互垂直1-2. 空白1-3. 证明： 说明相互垂直1-4. 解：当坐标变量沿坐标轴由增至时，相应的线元矢量为： = =其中弧长 其中 令则1-5. 解：(1) 据算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有 其中、暂时视为常矢，再根据二重矢量积公式 将上式右端项的常矢轮换到的前面，使变矢都留在的后面 则 除去下标c即可 (2) 利用(1)式的结果即可。(3) 据算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有 再算子的矢量性，并据公式 将常矢轮换到的前面 代入得： 1-6.(1) 证：(2) 证： 右边第一项的分量同理 则 (3) 1-7.证：所以 据公式 所以 （梯度的旋度等于零） 同理 1-8. 解： 1-9. 证： 用常矢量点乘式子两边得 上式左边：利用矢量恒等式： 因为为任意常矢量，则 设为任意常矢量，令,代入Stokes定理 上式左边 上面用到： 右边 则得：因为是任意的，所以 1-10. 证：据矢量场的散度定理令，和为空间区域中两个任意的标量函数则上式左边所以1-11. 函数在M点的散度从它的定义推出 如图，考虑的两个端面左端面位于，右端面位于取曲面外
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