概率统计3随机向量.ppt

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第三章随机向量第一节二维随机向量及其分布第二节边缘分布第三节条件分布第四节随机变量的独立性第五节两个随机变量的函数的分布 1 二维随机向量及其分布函数定义1 设E是一个随机试验它的样本空间是设X 与Y 是定义在同一样本空间上的两个随机变量则称 X Y 为上的二维随机向量或二维随机变量简记为 X Y 定义2 设 X Y 是二维随机向量对于任意实数x y 称二元函数F x y P X x Y y 为二维随机向量 X Y 的分布函数或联合分布函数第一节二维随机向量及其分布上一页下一页返回上一页下一页返回从几何图形上看二维随机变量可看作是平面上的随机点 X Y 它的分布函数F x y 表示随机点 X Y 落入以 x y 为顶点的无穷矩形区域的概率二维随机变量 X Y 的分布函数F x y 的性质 1 单调性 F x y 是x的不减函数同时也是y的不减函数事实上固定y 当上一页下一页返回 2 有界性 3 右连续性上一页下一页返回 4 对任意的a b c d 有事实上注一个二元函数F x y 若同时具有上述四条性质它必为某一二维随机变量的分布函数上一页下一页返回 2 二维离散型随机变量定义3 若二维随机变量 X Y 的所有可能取值是有限对或无限可列多对则称 X Y 为二维离散型随机变量设 X Y 的一切可能值为 xi yj i j 1 2 且 X Y 取各对可能值的概率为P X xi Y yj pij i j 1 2 称式为 X Y 的联合概率分布或联合分布律 X Y 的分布律也可用表格形式表示上一页下一页返回上一页下一页返回分布律的性质 1 非负性 2 规范性上一页下一页返回例1设二维离散型随机变量 X Y 的分布律如下表求P X 1 Y 3 及P X 1 解 P X 1 Y 3 P X 2 Y 3 P X 2 Y 4 P X 3 Y 3 P X 3 Y 4 0 3 P X 1 P X 1 Y 1 P X 1 Y 2 P X 1 Y 3 P X 1 Y 4 0 2 上一页下一页返回例2 一整数X随机地在1 2 3三个整数中取一个值另一个整数Y随机地在1 X中取一个值试求 X Y 的分布律及P X Y 解上一页下一页返回 3 二维连续型随机变量定义4 设 X Y 为二维随机变量 X Y 的分布函数为F x y 若存在非负二元函数f x y 对于任意实数x y 有上一页下一页返回 z f x y 的图形称为分布曲面上一页下一页返回 1 联合密度函数f x y 的性质 1 非负性 f x y 0 即分布曲面在xoy平面的上方 2 规范性 2 设G是平面上的一个区域则几何意义上一页下一页返回 f x y 3 若f x y 在点 x y 处连续则有常用多维分布设G是平面上的有界区域其面积为A 若二维随机变量 X Y 的概率密度为二维均匀分布则称 X Y 在区域G上服从均匀分布上一页下一页返回二维正态分布若 X Y 的密度函数为上一页下一页返回二维正态分布的分布曲面形状像个山岗在点处达到最高峰上一页下一页返回二维正态分布图上一页下一页返回例3 设 X Y 在圆域x2 y2 4上服从均匀分布求 1 X Y 的概率密度 2 P 0 X 1 0 Y 1 解 1 圆域x2 y2 4的面积A 4 故 X Y 的概率密度为 f x y 2 G为不等式0 x 1 0 y 1所确定的区域所以 P 0 X 1 0 Y 1 上一页下一页返回例4设二维随机变量 X Y 的概率密度为 1 确定常数k 2 求 X Y 的分布函数 f x y 3 求P X Y 1 k 6 解 1 于是 k 6 上一页下一页返回 F x y 2 由定义有 3 P X Y 上一页下一页返回例5设 X Y N 0 0 2 2 0 求P X Y 解f x y x y 所以 P X Y 令x rcos y rsin P X Y 则 4 n维随机变量设E是一个随机试验它的样本空间是设随机变量是定义在同一样本空间上的n个随机变量则称向量为n维随机向量或n维随机变量简记为设是n维随机变量对于任意实数称n元函数为n维随机变量的联合分布函数上一页下一页返回 X和Y自身的分布函数分别称为二维随机向量 X Y 关于X和Y的边缘分布函数分别记为FX x FY y 当已知 X Y 的联合分布函数F x y 时可通过求得两个边缘分布函数第二节边缘分布上一页下一页返回例1 设二维随机向量 X Y 的联合分布函数为上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回 1 二维离散型随机变量的边缘分布设二维离散随机变量 X Y 的分布律为上一页下一页返回此为概率分布表中第i行的概率之和 Y的分布律为此为概率分布表中第j列的概率之和上一页下一页返回 X和自身的分布律分别称为 X Y 关于X和Y的边缘分布律上一页下一页返回例2 袋内装2个白球3个黑球采用放回摸球和不放回摸球两种方式定义下列随机变量求两种摸球方式下 X Y 的联合分布及边缘分布解 X Y 的分布律及边际分布律如下表放回摸球不放回摸球上一页下一页返回该例说明联合分布可唯一确定边缘分布反之边缘分布一般不能确定联合分布 2 二维连续型随机变量的边缘分布设 X Y 为二维连续型随机向量具有概率密度f x y 则从而知 X为连续型随机变量且概率密度为同理 Y也是连续型随机变量其概率密度为上一页下一页返回例3设随机变量X和Y具有联合概率密度 f x y 求边缘概率密度fX x fY y fX x 解 fY y 上一页下一页返回例4 解上一页下一页返回同理上一页下一页返回这说明注 X与Y的边缘分布一般不能确定联合分布分布的两个边缘分布都是一维正态分布即二维正态第三节条件分布 1 二维离散型随机变量的条件分布律定义1 上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回解 1 由联合分布律表可知边缘分布律于是上一页下一页返回 P X 1 Y 1 12 25 P X 2 Y 1 6 25 P X 3 Y 1 4 25 P X 4 Y 1 3 25 上一页下一页返回即在Y 1的条件下X的条件分布律为 2 同理可求得在X 2的条件下Y的条件分布律为上一页下一页返回例2 一射手进行射击每次射击击中目标的概率均为p 0 p 1 且假设各次击中目标与否相互独立射击到击中目标两次为止记X表示首次击中目标所需要的射击次数 Y表示总共进行的射击次数试求 X Y 的联合分布律和条件分布律解由题意 X i 表示首次击中目标射击了i次 Y j 表示第二次击中目标共射击了j次因而i j X i Y j 表示第i次和第j次击中目标而其余j 2次均未击中目标于是 X Y 的联合分布律为上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回 2 二维连续型随机变量的条件分布定义2 对固定的实数y 设对于任意给定的正数 P y 0 且若对于任意实数x 极限存在则称此极限为在Y y的条件下X的条件分布函数记作P或记为同样在X x条件下随机变量Y的条件分布函数为上一页下一页返回设 X Y 的分布函数为F x y 概率密度为f x y 若在点 x y 处f x y 连续边缘概率密度fY y 连续且fY y 0 则有亦即上一页下一页返回类似地在相应条件下可得在X x条件下Y的条件分布密度为若记为条件Y y下X的条件分布密度则由上式知上一页下一页返回且有边缘概率密度当 1 y 1时有解 X Y 的概率密度为例3 设随机变量 X Y 在区域D x y x2 y2 1 上服从均匀分布求条件概率密度上一页下一页返回特别y 0和y 时条件概率密度分别为类似于条件概率的乘法公式也有上一页下一页返回例4设 X Y N 0 0 1 1 求fX Y x y 与fY X y x 解易知f x y x y fX Y x y fY X y x 上一页下一页返回例5设随机变量X U 0 1 当观察到X x 0 x 1 时 Y U x 1 求Y的概率密度fY y 解按题意 X具有概率密度 fX x 类似地对于任意给定的值x 0 x 1 在X x的条件下 Y的条件概率密度 fY X y x 上一页下一页返回因此 X和Y的联合概率密度为 f x y fY X y x fX x 于是得关于Y的边缘概率密度为 fY y 上一页下一页返回定义设X Y是两个随机变量若对任意的实数x y 事件 X x 与 Y y 相互独立即 P X x Y y P X x P Y y 则称X与Y相互独立式即为第四节随机变量的独立性上一页下一页返回 1 2 例1 一整数X随机地在1 2 3三个整数中取一个值另一个整数Y随机地在1 X中取一个值求得 X Y 的联合分布律及边际分布律如下表上一页下一页返回上一页下一页返回例2设 X Y 在圆域x2 y2 1上服从均匀分布问X和Y是否相互独立解 X Y 的联合分布密度为 f x y 由此可得 fX x fY y 在圆域x2 y2 1上 f x y fX x fY y 故X和Y不相互独立上一页下一页返回例3 设X和Y分别表示两个元件的寿命单位小时又设X与Y相互独立且它们的概率密度分别为 fX x fY y 求X和Y的联合概率密度f x y 解由X和Y相互独立可知 f x y fX x fY y 于是上一页下一页返回第五节两个随机变量函数的分布设 X Y 是二维随机变量则Z g X Y 是一维随机变量本节问题如何由 X Y 的分布求出Z g X Y 的分布 1 二维离散随机变量函数的分布例1设 X Y 的分布律为求X Y X Y XY及X Y的分布 X 上一页下一页返回解先列出下表于是X Y的分布律为上一页下一页返回同理X Y的分布律为 XY及X Y的分布律分别为上一页下一页返回例2 解依题意得将同一类分布的独立随机变量之和的分布仍为这类分布的这种性质称为分布具有可加性因此泊松分布和二项分布都具有可加性上一页下一页返回设 X Y 为二维连续型随机变量具有概率密度f x y 若Z g X Y 为连续随机变量求Z的概率密度为求Z的概率密度可先求出Z的分布函数 2 二维连续型随机变量函数的分布上一页下一页返回求解过程中关键在于将事件 Z z 等价地转化为用 X Y 表示的事件 g X Y z X Y 其中即首先找出上式右端的积分区域Dz 如果求得了FZ z 那么可通过求出Z的概率密度上一页下一页返回例3 设且X与Y相互独立求的概率密度由于X与Y相互独立于是 X Y 的概率密度为解 X和Y的概率密度分别为先求Z的分布函数FZ z 当z 0时 FZ z 0 当z 0时上一页下一页返回所以于是可得上一页下一页返回的概率密度为如果一随机变量的概率密度为上式称该随机变量服从参数为的瑞利分布由题可知若X Y独立服从同一分布则服从参数为的瑞利分布设 X Y 的联合概率密度为f x y 求Z X Y的概率密度 1 和的分布上一页下一页返回令则Z的分布函数为固定z和y对积分作换元法令x y u得于是由概率密度定义即得Z的概率密度为由X与Y的对称性又可得当X与Y相互独立时有其中分别是X和Y的密度函数上一页下一页返回卷积公式上一页下一页返回例4设X和Y是两个相互独立的随机变量它们都服从N 0 1 求Z X Y的概率分布密度解由题设知X Y的分布密度分别为 fX x x fY y y 由卷积公式知 fZ z 上一页下一页返回设t 得 fZ z 即Z服从N 0 2 分布一般设X Y相互独立且X N 1 12 Y N 2 22 则Z X Y N 1 2 12 22 这个结论还能推广到n个独立正态随机变量之和的情况即若Xi N i i2 i 1 2 n 且它们相互独立则它们的和Z X1 X2 Xn N 更一般地可以证明有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍服从正态分布上一页下一页返回例5设X和Y是两个相互独立的随机变量其概率密度分别为 fX x fY y 求随机变量Z X Y的分布密度解X Y相互独立所以由卷积公式知 fZ z 由题设可知fX x fY z x 只有当0 x 1 z x 0时才不等于零现在所求的积分变量为x z当作参数当积分变量满足x的不等式组0 x 1 被积函数fX x fY z x 0 x z时上一页下一页返回当z

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