高中数学 第一章 基本初等函数（Ⅱ）1.2 任意角的三角函数 1.2.1 三角函数的定义课件 新人教B版必修4.ppt

1 2任意角的三角函数 1 2 1三角函数的定义 1 掌握任意角的正弦 余弦 正切的定义 了解任意角的正割 余割 余切的定义 会根据定义求角的正弦 余弦 正切值 2 掌握正弦函数 余弦函数 正切函数的定义域 并知道三角函数在各象限内的符号 3 使学生认识到现在三角函数的定义是初中所学锐角三角函数的推广 加深对从特殊到一般的认识规律的理解 1 2 1 三角函数的定义和定义域在平面直角坐标系中 设角 的终边上任意一点p的坐标是 x y 它与原点o的距离是 1 2 归纳总结由定义可知 这六个比值的大小与在终边上所取的点p的位置无关 只与角 的大小有关 即它们都是以角 为自变量 以比值为函数值的函数 定义中的 是任意角 但对于一个确定的角 只要各个三角函数有意义 其值就是唯一的 另外 还应注意到此处定义三角函数的方法是坐标法 这与初中所学的在直角三角形中的定义相统一 1 2 做一做1 1 若角 的终边过点p a 8 且则a的值是 a 6b 6c 10d 10解析 由任意角的三角函数的定义可知 解得a 6 显然a 6时不成立 所以a 6 答案 b 做一做1 2 若角 终边上有一点p 2 0 则下列函数值不存在的是 a sin b cos c tan d cot 答案 d 1 2 2 三角函数在各象限的符号 1 用图形表示 如图所示 2 用表格表示 如下表 1 2 归纳总结三角函数值在各象限的符号可简记为 一全正 二正弦 三两切 四余弦 正 余割同余 正弦 即第一象限角的正弦 余弦 正切 余切值都为正 第二象限角的正弦值为正 第三象限角的正切 余切值为正 第四象限角的余弦值为正 角的正割 余割的符号与角的余弦 正弦的符号相同 1 2 做一做2 1 若sin cos 0 则角 的终边在 a 第一 二象限b 第一 三象限c 第一 四象限d 第二 四象限解析 由sin cos 0 可知若sin 0 则cos 0 则角 的终边位于第一象限 若sin 0 则cos 0 则角 的终边位于第三象限 综上可知 角 的终边位于第一或第三象限 答案 b 做一做2 2 已知点p tan cos 在第三象限 则角 的终边在第象限 解析 因为点p tan cos 在第三象限 所以tan 0 cos 0 所以角 的终边在第二象限 答案 二 锐角三角函数推广为任意角的三角函数的过程剖析角的概念推广后 我们利用直角坐标系把锐角三角函数推广到任意角的三角函数 如图所示 射线op在第一象限 p x y 是该射线上的任意一点 mp ox于点m 记 mop 则om x mp y 下面我们来研究任意角的三角函数 如图所示 已知任意角 以角 的顶点o为坐标原点 以角 的始边的方向作为x轴的正方向 建立直角坐标系xoy 在角 的终边上取点a 使oa 1 设点a的坐标为 l m 再任取一点p x y 设op r r 0 由相似三角形的对应边成比例 得因为点a p在同一象限内 所以它们的坐标符号相同 由图可以看出 当 为锐角时 上述所定义的三角函数与在直角三角形中定义的三角函数是一致的 这样就把锐角三角函数推广为任意角的三角函数 名师点拨1 角的正弦 余弦 正切可分别看成一个角的集合到一个比值的集合的映射 它们都是以角为自变量 以比值为函数值的函数 称为三角函数 2 三角函数值是比值 是一个实数 这个实数的大小和点p x y 在终边上的位置无关 而由角 的终边的位置决定 对于确定的角 其终边的位置也唯一确定 因此 三角函数是角的函数 题型一 题型二 题型三 分析充分利用正弦函数 余弦函数的定义 并注意分类讨论 题型一 题型二 题型三 反思当所给角的终边上的点含有字母时 一定要注意分类讨论 并结合函数值的正负进行取舍 题型一 题型二 题型三 变式训练1 已知角 的终边经过点p 4a 3a a 0 求sin cos tan 的值 题型一 题型二 题型三 例2 判断下列三角函数值的符号 2 sin3 cos4 tan5 cot6 分析确定一个角的某一三角函数值的符号 关键要看角的终边在哪一个象限 确定一个式子的符号 则需要观察构成该式的结构特点及每部分的符号 题型一 题型二 题型三 解 1 是第二象限的角 sin3 0 cos4 0 tan5 0 cot6 0 sin3 cos4 tan5 cot6 0 反思这里的sin3就是 sin3 rad 将弧度省略了 在第 1 小题中解题的关键是分别判断出sin cos 的符号 题型一 题型二 题型三 答案 b 题型一 题型二 题型三 例3 求下列函数的定义域 分析根据三角函数的定义 并结合求函数定义域的要领列不等式或不等式组进行求解即可 题型一 题型二 题型三 解 1 sinx tanx 0 sinx与tanx同号或sinx tanx 0 x是第一 四象限的角或终边在x轴上的角 函数的定义域为由sinx 0 得2k x 2k k z 由9 x2 0 得 3 x 3 由 得0 x 3 故函数的定义域为 x 0 x 3 题型一 题型二 题型三 反思求解含有三角函数式的函数的定义域问题 和我们以前学过的求定义域的问题的解决方法是一致的 即通过列不等式或不等式组 然后解不等式或不等式组 最后写出函数的定义域 凡涉及三角函数的定义域问题 在求解时 必须考虑到三角函数本身一定要有意义 在求一个固定的集合与一个含有无限多段的集合的交集时 可以通过取特殊值或画数轴的方法来解决 题型一 题型二 题型三 解析 要使函数有意义 应使 sinx 0 即sinx 0 因此x应该是第三 四象限的角或终边落在y轴负半轴上的角 即2k x 2k k z 故函数定义域是 x 2k x 2k k z 答案 x 2k x 2k k z 1 2 3 4 5 6 答案 c 1 2 3 4 5 6 答案 d 1 2 3 4 5 6 3 下列函数中 与函数y tan 有相同定义域的个数为 a 1b 2c 3d 4解析 要使y tan 有意义 只需角 的终边上异于原点的点p x y 的横坐标x 0 显然函数 的定义域与之相同 答案 b 1 2 3 4 5 6 4 点 cos2017 sin2017 位于第象限 解析 因为2017 5