八年级数学上册 13.1 三角形中的边角关系 13.1.3 三角形中几条重要线段课件 （新版）沪科版.ppt

第13章三角形中的边角关系 命题与证明 13 1三角形中的边角关系 第3课时三角形中几条重要线段 1 课堂讲解 三角形的角平分线三角形的中线三角形的高定义 2 课时流程 逐点导讲练 课堂小结 作业提升 三角形中 三条边 三个角是它的基本元素 此外 三角形还有如下一些重要元素 1 知识点 三角形的角平分线 1 定义 三角形一个内角的平分线与它的对边相交 顶点和交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线 2 位置图例 任何三角形的三条角平分线都交于一点 且该点在三角形的内部 这点叫这个三角形的内心 如图 知1 讲 知1 讲 3 表达方式 1 ad是 abc的角平分线 2 ad平分 bac交bc于点d 3 bad cad 注 上述三种情况都表示同一意义 即ad是 abc的角平分线 选用哪种表示法 应根据解题需要来定 4 易错警示 角平分线是一条射线 而三角形的角平分线是一条线段 不要混淆 例1关于三角形的角平分线 下列说法正确的是 a 是线段b 是射线c 是直线d 是射线或线段导引 三角形的角平分线是一条线段 故选a 知1 讲 a 来自 点拨 三角形的角平分线与角的平分线是不同的两个概念 三角形的角平分线是一条线段 而角的平分线是一条射线 一个三角形的角平分线有三条 一个角的平分线只有一条 在三角形中 三角形的角平分线是三角形的内角平分线上的一部分 本题易因混淆概念而错选d 总结 知1 讲 来自 点拨 例2如图所示 ad是 abc的角平分线 ae是 abd的角平分线 bac 80 则 ead的度数是 a 20 b 30 c 45 d 60 知1 讲 a 导引 由角平分线的定义 可得出 ead与 bad bac之间的数量关系 因为ad平分 bac bac 80 所以 bad 40 又因为ae平分 bad 所以 ead 20 知1 讲 来自 点拨 三角形的角平分线将三角形的内角分成相等的两部分 特别是两角之间的数量关系在求角的度数时起着关键作用 总结 知1 讲 来自 点拨 例3如图 在 abc中 ad是 abc的角平分线 de ac df ab ef交ad于点o 请问do是 def的角平分线吗 说明理由 导引 要知道do是不是 def的角平分线 只需要知道 edo与 fdo是否相等 若相等 根据三角形的角平分线的定义即可判定 知1 讲 解 do是 def的角平分线 理由如下 因为ad是 abc的角平分线 所以 dab dac 角平分线定义 因为de ac df ab 所以 dac ade dab adf 两直线平行 内错角相等 所以 ade adf 等量代换 所以do是 def的角平分线 知1 讲 来自 点拨 本例在解题过程中 先利用角平分线的定义 得出相等的角 再结合相关条件 如平行等 推出新的一组相等的角 最后由角平分线的定义证明角平分线 它经历了定义 条件 定义的过程 这就是定义法 总结 知1 讲 来自 点拨 1如图 1 2 3 4 下列结论中错误的是 a bd是 abc的角平分线b ce是 bcd的角平分线c d ce是 abc的角平分线 知1 练 来自 典中点 2如图 在 abc中 b 67 c 33 ad是 abc的角平分线 则 cad的度数为 a 40 b 45 c 50 d 55 知1 练 来自 典中点 2 知识点 三角形的中线 知2 讲 1 定义 连接三角形一个顶点和它对边的中点 所得的线段叫做该三角形这条边上的中线 2 位置图例 任何三角形的三条中线都交于一点 且该点在三角形内部 如图 这个点叫做三角形的重心 知2 讲 3 表达方式 1 ad是 abc中bc边上的中线 2 d是bc边的中点 3 bd dc 注 上述三种情况都表示ad是中线 选用哪种表示法 应根据解题需要来定 4 易错警示 中线是线段 不要将它与线段所在直线混淆 例4 动手操作题 在 abc中 ab ac ac边上的中线bd把 abc的周长分为12cm和15cm两部分 求 abc的各边长 导引 因为中线bd将 abc的周长分成两部分 bc cd 和 ad ab 无法确定谁为12cm 谁为15cm 故应分类讨论 另外题中涉及线段较多 因此可建立方程的模型 利用设未知数来求解 知2 讲 解 设ab xcm 则ad cd 1 如图 若ab ad 12cm 则即ab ac 8cm 则cd 4cm 故bc 15 4 11 cm 此时ab ac bc 三角形存在 所以 abc三边长分别为8cm 8cm 11cm 知2 讲 解得x 8 2 如图 若ab ad 15cm 则解得x 10 即ab ac 10cm 则cd 5cm 故bc 12 5 7 cm 显然此时三角形存在 所以 abc三边长分别为10cm 10cm 7cm 综上所述 abc的三边长分别为8cm 8cm 11cm或10cm 10cm 7cm 知2 讲 来自 点拨 1 本例中由于条件不确定 因此我们针对因条件的不确定性导致图形出现不同的情况 运用分类讨论思想对题目进行分类讨论 解答中 针对题中涉及的线段这个 形 较多 为了使解答更简练 我们将它们建立方程这个 数 的模型 因此本例的解答过程体现了 分类讨论思想 建模思想 数形结合思想 方程思想等 2 警示 求三角形的边时 要注意隐含条件 三角形的三边关系 总结 知2 讲 来自 点拨 例5张大爷的两个儿子都长大成人了 也该分家了 于是张大爷准备把如图所示的一块三角形田地平均分给两个儿子 两个儿子要求分成的两块田地的形状仍然是三角形 请你帮助张大爷提出一种平分的方案 知2 讲 知2 讲 导引 根据等底等高的三角形的面积相等 要等分三角形的面积 只需要作出一条边上的中线即可 解 根据要求 平分田地的直线一定经过三角形的顶点 画 abc的中线ad 如上页图 则ad就把 abc的面积平分成两份 这是因为ad是 abc的中线 所以bd dc 过点a作ae bc于点e 知2 讲 在 abd和 acd中 因为bd cd边上的高都是ae 所以由三角形的面积公式 知 abd和 acd的面积相等 因此 要把 abc平分成两个三角形 只需画中线ad即可 这是一种平分的方案 本题答案不唯一 作ab ac边上的中线也可以 来自 点拨 总结 知2 讲 来自 点拨 1 三角形的任意一条中线都能把三角形分成面积相等的两部分 即等底等高的三角形面积相等 2 拓展 在两个三角形中 底 高 面积这三个量 如果有其中的两个量分别相等 那么第三个量也相等 1三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个 a 形状相同的三角形b 面积相等的三角形c 直角三角形d 周长相等的三角形 知2 练 来自 典中点 2如图 已知bd是 abc的中线 ab 5 bc 3 abd和 bcd的周长的差是 a 2b 3c 6d 不能确定 3如图 在 abc中 d e分别为bc ad的中点 且s abc 4 则s阴影为 a 2b 1c d 知2 练 来自 典中点 3 知识点 三角形的高 知3 讲 1 定义 从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作垂线 顶点和垂足之间的线段叫做该三角形这条边上的高 一个三角形有三条高 2 位置图例 1 锐角三角形 三条高都在三角形内部 其交点也在三角形内部 如图 知3 讲 2 直角三角形 一条高在三角形内部 两条高在三角形边上 其交点为直角顶点 如图1 3 钝角三角形 一条高在三角形内部 两条高在三角形外部 其交点在三角形外部 如图2 图1 图2 知3 讲 3 表达方式 1 ad是 abc的边bc上的高 2 ad bc于d 3 adc 90 adb 90 或 adc adb 90 注 上述三种情况都表示ad是高 选用哪种表示法 应根据解题需要来定 知3 讲 4 易错警示 1 三角形中大于90 的角的两边上的高的作法 高均在三角形外部 2 任何三角形的三条高所在直线交于一点 垂心 例6 动手操作题 易错题 画出图中 abc的三条高 要标明字母 不写画法 知3 讲 导引 作一边上的高 可看作 过一点 这边所对角的顶点 作已知直线 这边所在直线 的垂线 按照 过一点作已知直线的垂线 进行作图 顶点与垂足之间的线段即为该边上的高 需注意ab bc边上的高在三角形的外部 作高时先延长ab与cb 知3 讲 解 如图所示 知3 讲 来自 点拨 1 作三角形的高时 找准顶点和对边是关键 作高的步骤就是 过一点作已知直线的垂线 的步骤 一靠 三角尺的一条直角边靠在要作高的边上 二找 移动三角尺使另一条直角边通过要作高的顶点 三画线 画垂线段 如图 2 注意 高是线段 垂线是直线 总结 知3 讲 来自 点拨 例7 动手操作题 如图 在3 2的正方形网格中 小正方形的边长为1 以图中a b c d e中的三点为顶点的三角形中 面积为1的三角形有哪些 知3 讲 导引 首先要清楚以五点中的三点为顶点的三角形有多少个 注意c d e三点在一条直线上 不能组成三角形 再从这些三角形中找出面积为1的三角形 而要找面积为1的三角形 根据这些三角形的特征 实质上是要找底为1 高为2和底为2 高为1的所有三角形 知3 讲 解 以a b c d e中的三点为顶点的三角形有 abc abd abe acd ace ade bcd bce bde 其中面积为1的有 abc ade bce acd 知3 讲 来自 点拨 1 三角形的面积与高是密不可分的 只要涉及三角形的面积就要联想到高 因为三角形的面积等于底与高乘积的一半 2 解答本例的关键是找准底和高 注意钝角三角形中大于90 的角的两边上的高在三角形外部 这是难点 也是易错点 总结 知3 讲 来自 点拨 例8如图 在 abc中 bc 4cm ac 5cm 1 若bc边上的高ad 4cm 试求 abc的面积及ac边上的高be的长 2 试求ad be的值 导引 利用三角形的面积公式及等积原理求解 知3 讲 解 1 s abc 因为s abc 所以所以 2 ad be 4 知3 讲 来自 点拨 求三角形的面积联想三角形的高 求三角形的高联想三角形的面积是解三角形问题中常用的思想方法之一 用同一个三角形不同的面积表达式建立求线段长度的等量关系是一种很重要的数学方法 等积法 总结 知3 讲 来自 点拨 操作 1 分别画出图中各个三角形三条边上的高 2 任意画一个三角形 画出三边上的中线 再任意画一个三角形 画出三角形三个角的平分线 知3 讲 一个三角形中共有几条角平分线 它们是否交于一点 同样 各有几条中线 几条高 它们是否各交于一点 知3 讲 1 中考 长沙 过 abc的顶点a 作bc边上的高 以下作法正确的是 知3 练 来自 典中点 2下列说法中正确的是 a 三角形的三条高都在三角形内b 直角三角形只有一条高c 锐角三角形的三条高都在三角形内d 三角形每一边上的高都小于其他两边 知3 练 来自 典中点 3下列结论 三角形的角平分线 中线 高都是线段 直角三角形只有一条高 三角形的中线可能在三角形外部 三角形的高都在三角形内部 其中正确的有 a 1个b 2个c 3个d 4个 知3 练 来自 典中点 4 知识点 定义 知4 讲 像这样能明确界定某个对象含义的语句叫做定义 今后我们