高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.3.2 补集及综合应用课件 新人教A版必修1.ppt

第2课时补集及综合应用 主题全集 补集的概念1 根据方程 x 3 x2 2 0在不同范围内的解集 完成下面的问题 该方程在有理数集内的解集为 在实数集内的解集为 提示 方程在有理数集内的解集为 3 实数集内的解集为 3 答案 3 3 2 观察下面三个集合a 1 2 3 4 b 5 6 7 8 u 1 2 3 4 5 6 7 8 1 集合a b u有什么关系 提示 au bu a b u 2 b中元素与u和a有何关系 提示 b中元素都属于集合u 它是由u中不属于a的元素构成的 结论 1 全集的定义如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的 元素 那么就称这个集合为全集 通常记作u 所有 2 补集的定义对于一个集合a 由全集u中 集合a的所有元素组成的集合称为集合a相对于全集u的补集 记作a 即a 不属于 x x u 且x a venn图表示 微思考 1 全集一定包含任何元素吗 提示 不一定 全集仅包含我们所要研究问题中涉及的全部元素 而非任何元素 2 两个不同的集合a b在同一个全集u中的补集可能相等吗 提示 不可能相等 因为集合a b是两个不同的集合 所以必定存在元素在集合a的补集中 但不在集合b的补集中 3 a a 吗 提示 根据补集的定义 a x x u 且x a 故a a 预习自测 1 设集合u 1 2 3 4 5 a 1 2 3 b 2 3 4 则 a b a 2 3 b 1 4 5 c 4 5 d 1 5 解析 选b 因为a b 2 3 所以 a b 1 4 5 2 全集u x x 2 集合a x 22 b x x 4 c x x 2 d x x 4 解析 选b 由补集的定义知a x x 4 3 已知全集u x 1 x 5 a x 1 x a 若a x 2 x 5 则a 解析 因为a a u 所以a x 1 x 2 所以a 2 答案 2 4 已知集合a 3 4 m 集合b 3 4 若b 5 则实数m 解析 因为b 5 故5 a 所以m 5 答案 5 类型一全集 补集的运算 典例1 1 2016 全国卷 设集合a 0 2 4 6 8 10 b 4 8 则b a 4 8 b 0 2 6 c 0 2 6 10 d 0 2 4 6 8 10 2 2016 南京高一检测 已知u x 0 x 1 a x 0 x 1 则a 解题指南 1 根据补集的概念求解 2 根据u x 0 x 1 a x 0 x 1 及补集概念求解 解析 1 选c 由补集的定义知b 0 2 6 10 2 因为u x 0 x 1 a x 0 x 1 故a 0 答案 0 方法总结 求集合补集的处理思路 1 当集合用列举法表示时 直接利用定义或借助venn图求解 2 当集合是用描述法表示的连续数集时 可借助于数轴 利用数轴分析法求解 巩固训练 1 已知u 0 1 2 3 若a 0 3 则a等于 a 0 3 b 1 2 c 0 1 2 d 1 2 3 解析 选b 因为u 0 1 2 3 a 0 3 所以a 1 2 2 设全集u z a x z x 4 b x z x 2 则a与b的关系是 解析 因为u z a x z x 4 b x z x 2 所以a 4 5 6 b 3 4 5 6 故ab 答案 ab 补偿训练 设全集u r 集合a x 2 x 5 则a 解析 用数轴表示集合a如图 所以a x x 2或x 5 答案 x x 2或x 5 类型二并集 交集 补集的综合运算 典例2 2017 长春高一检测 已知集合a x 1 x 7 b x 2 x 10 c x x a 全集为实数集r 1 求a b a b 2 如果a c 求a的取值范围 解题指南 1 利用数轴根据交集 并集的定义可求得a b a b 2 先表示出c 再借助数轴利用集合间的关系求出a的取值范围 解析 1 因为a x 1 x 7 b x 2 x 10 所以a b x 1 x 10 a b x x 1或x 7 x 2 x 10 x 7 x 10 2 由题意知c x x a 又a c 故a 1 延伸探究 1 本例 2 条件不变 求 a b 并探究 a b 与 a b 的关系 解析 a x x 1或x 7 b x x 2或x 10 所以 a b x x 1或x 7 x x 2或x 10 x x 1或x 10 由a b x 1 x 10 故 a b x x 1或x 10 故 a b a b 2 将本例中条件 c x x a 改为 c x a 3 x 2a 1 且 a c r 求a的取值范围 解析 由题意得a x x 1或x 7 又 a c r 即 x x 1或x 7 x a 3 x 2a 1 r 所以a 3 1 2a 1 7 所以3 a 4 方法总结 1 求解与不等式有关集合问题的方法解决与不等式有关的集合问题时 借助于数轴 这也是集合语言转化为图形语言的常用方法 可以使问题变得形象直观 要注意求解时端点的值是否能取到 2 求解集合混合运算问题的一般顺序解决集合的混合运算时 一般先运算括号内的部分 然后再运算其他 如求 a b时 可先求出a 再求交集 补偿训练 1 设全集为r a x 3 x 7 b x 2 x 10 求b a b 及 a b 解析 把集合a b在数轴上表示如图所示 由图知b x x 2 或x 10 a b x 2 x 10 所以 a b x x 2 或x 10 因为a x x 3 或x 7 所以 a b x 2 x 3 或7 x 10 2 2017 淮南高一检测 已知集合a x 2 x 4 b x 2 x 1 u r 1 求a b 2 求a b 解析 1 因为b x 2 x1 a x 2 x 4 所以a b x 1 x 4 2 因为b x x 1 所以a b x x 4 类型三补集的综合应用 典例3 2017 遵义高一检测 已知集合a x x2 4mx 2m 6 0 x r b x x 0 x r 若a b 求实数m的取值范围 解题指南 如果从正面直接求解情况较多 不易求解 那么可以从反面来考虑 解析 设全集u m 4m 2 4 2m 6 0 若a b 则方程x2 4mx 2m 6 0的两根x1 x2均非负 则有解得m 因为m 关于u的补集为m m m 1 所以实数m的取值范围为m 1 方法总结 运用补集思想求参数范围的方法 1 把已知的条件否定 考虑反面问题 2 求解反面问题对应的参数范围 3 将反面问题对应参数的范围取补集 巩固训练 若集合 x x2 x a 0 中 至少有一个元素为非负实数 求实数a的取值范围 解题指南 先求出方程无非负实根 或有两个负实根时a的取值范围 再由补集思想求出至少有一个元素为非负实数时a的取值范围 解析 由题意知 方程x2 x a 0至少有一个非负实根 若方程无非负实根 即方程无实根 或有两个负实根x1 x2 则 1 4a 或解得00 记a a a 0 所以满足题意的实数a的取值范围是a a a 0 补偿训练 已知全集u r 集合a x x 1 b x 2a x a 3