高中数学 第一讲 坐标系 1.1 平面直角坐标系课件 新人教A版选修44.ppt

第一讲坐标系 一平面直角坐标系 1 坐标法根据几何对象的特征 选择适当的坐标系 建立它的方程 通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系 这就是研究几何问题的坐标法 名师点拨用坐标法解决几何问题的步骤1 建立适当的坐标系 用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素 将几何问题转化为代数问题 2 通过代数运算解决代数问题 3 把代数运算结果翻译成几何结论 2 平面直角坐标系中的伸缩变换设点p x y 是平面直角坐标系中的任意一点 在变换 的作用下 点p x y 对应到点p x y 称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 简称伸缩变换 名师点拨1 理解伸缩变换 应注意以下几点 1 0 0 2 把图形看成点的运动轨迹 平面图形的伸缩变换可以用点的坐标的伸缩变换得到 3 在伸缩变换下 平面直角坐标系不变 即在同一平面直角坐标系中进行伸缩变换 2 伸缩变换对图形的影响 1 由伸缩变换公式知 当01时 原图形上点的横坐标伸长为原来的 倍 当01时 原图形上点的纵坐标伸长为原来的 倍 2 因为伸缩变换把直线变成直线 所以伸缩变换把多边形变成边数一致的多边形 伸缩变换不能实现曲线段与直线段的互变 换句话说 它不能把圆变成正方形 做一做 1 将一条射线作伸缩变换后得到的图形的形状可能是 a 射线b 圆c 椭圆d 抛物线 2 将点 2 3 变成点 3 2 的伸缩变换是 解析 1 射线在伸缩变换前后图形的形状不发生变化 2 由题意知x 2 y 3 x 3 y 2 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 在平面直角坐标系中 线段通过伸缩变换后还是线段 2 在平面直角坐标系中 通过伸缩变换可以把圆变成椭圆 3 在平面直角坐标系中 通过伸缩变换可以把双曲线变成抛物线 4 等腰三角形abc的底边为ab 且a 1 1 b 3 7 则顶点c的轨迹方程为x 2y 7 0 探究一 探究二 探究三 思维辨析 应用坐标法解决有关问题 例1 求证 任意平面四边形两组对边中点的连线及两条对角线的中点连线三线共点 且互相平分 分析 建立坐标系 只需证明三条连线的中点的坐标相同即可 证明 建立如图所示的平面直角坐标系 设四边形各顶点的坐标分别为a 0 0 b a 0 c b c d d e 探究一 探究二 探究三 思维辨析 若点e f g h m n分别为线段ab bc cd da ac bd的中点 连接eg fh mn 则 由中点坐标公式求得线段eg fh mn的中点坐标都是 三条连线的中点的坐标完全相同 说明三条线段eg fh mn均相交于此点 且互相平分 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟建立平面直角坐标系的规律技巧坐标系建立的是否恰当 直接影响到方程的繁简 因此 在建立平面直角坐标系时 要尽量研究所给图形的对称性 若是轴对称图形 一般选取对称轴为坐标轴 若是中心对称图形 一般以对称中心为原点 若存在两条互相垂直的直线 一般以这两条直线为坐标轴 总之 在建立平面直角坐标系时 原则是使尽可能多的点落在坐标轴上 有对称性的尽可能使它们关于坐标轴或原点对称 在解题时 注意不断归纳总结 积累经验方法 针对题设条件建立恰当的坐标系 使运算简便 求得的方程形式简单 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1在 abc中 oa是bc边上的中线 求证 ab 2 ac 2 2 ao 2 oc 2 证明 取bc边所在的直线为x轴 线段bc的中点o为原点建立如图所示的平面直角坐标系 设点a的坐标为 b c 点c的坐标为 a 0 则点b的坐标为 a 0 ab 2 a b 2 c2 ac 2 a b 2 c2 ao 2 b2 c2 oc 2 a2 ab 2 ac 2 2 a2 b2 c2 又 ao 2 oc 2 a2 b2 c2 ab 2 ac 2 2 ao 2 oc 2 探究一 探究二 探究三 思维辨析 求曲线的轨迹方程 例2 已知线段ab的两个端点分别在两条互相垂直的直线上滑动 且 ab 4 求ab的中点p的轨迹方程 分析 题目未给出坐标系 因此 应先建立适当的平面直角坐标系 显然以互相垂直的两条直线分别为x轴 y轴最合适 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 方法一 以两条互相垂直的直线分别为x轴 y轴建立平面直角坐标系 如图所示 设p x y 由于三角形oab是直角三角形 点p为线段ab的中点 故点p的轨迹方程为x2 y2 4 方法二 建立平面直角坐标系 同方法一 又点p为线段ab的中点 所以x1 2x y2 2y 将其代入 得4x2 4y2 16 故点p的轨迹方程为x2 y2 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟求轨迹的常用方法1 直接法 如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系 那么可用求曲线方程的步骤直接求解 2 定义法 如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义 那么可依据定义写出轨迹方程 3 代入法 如果动点p x y 依赖于另一动点q x1 y1 而q x1 y1 又在某条已知曲线上 那么可先列出关于x y x1 y1的方程组 利用x y分别表示出x1 y1 把x1 y1代入已知曲线方程即可求解 4 参数法 动点p x y 的横 纵坐标用一个或几个参数来表示 消去参数即得其轨迹方程 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2已知动点m x y 到直线l x 4的距离是它到点n 1 0 的距离的2倍 则动点m的轨迹方程是 探究一 探究二 探究三 思维辨析 平面直角坐标系中的伸缩变换 例3 1 在同一平面直角坐标系中 求将直线x 2y 2变成直线2x y 4的伸缩变换 2 在同一平面直角坐标系中 求曲线x2 y2 4经过伸缩变换后的曲线的方程 分析 利用伸缩变换公式代入求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 则点的坐标与曲线的方程间的关系为 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3在同一平面直角坐标系中 经过伸缩变换后 曲线c变为曲线x 2 9y 2 1 求曲线c的方程 解 将伸缩变换代入方程x 2 9y 2 1 得 3x 2 9y2 1 整理得9x2 9y2 1 故曲线c的方程为9x2 9y2 1 探究一 探究二 探究三 思维辨析 对伸缩变换公式理解不清致误典例在同一平面直角坐标系中 圆x2 y2 4 经过伸缩变换后的图形分别是什么 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得点 x y 在变换前的图形上 点 x y 在变换后的图形上 因此点 x y 的坐标满足变换前的图形对应的方程 点 x y 的坐标满足变换后的图形对应的方程 错解中混淆了 x y 和 x y 的含义 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练在同一平面直角坐标系中 求方程x y 2 0所对应的图形经过伸缩变换后的图形 12345 1 一条双曲线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后的图形的形状可能是 a 双曲线b 圆c 椭圆d 抛物线解析 双曲线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后 图形的形状是不会发生变化的 答案 a 12345 2 将点p 2 2 变换为p 6 1 的伸缩变换公式为 答案 c 12345 3 已知动点p到直线x y 4 0的距离等于它到点m 2 2 的距离 则点p的轨迹是 a 直线b 椭圆c 双曲线d 抛物线解析 由于点m 2 2 在直线x y 4 0上 而 pm 等于点p到直线x y 4 0的距离 所以动点p的轨迹为过点m垂直于直线x y 4 0的直线