南京航空航天大学《高等数学》127可降阶的高阶微分方程.pdf

1 一阶线性方程 伯努利 一阶线性方程 伯努利 Bernoulli 方程方程 2 1 定义定义 0 0 均为一次的线性指关于 为齐次 非齐次指其中 均为一次的线性指关于 为齐次 非齐次指其中 yy xQxQ 1 0 称一阶非齐次线性方程 形如 称一阶非齐次线性方程 形如 xQxQyxP dx dy 的一阶齐次线性方程称相对于 的一阶齐次线性方程称相对于 1 20 yxP dx dy 一 线性方程一 线性方程 3 2 3 ln ln 1 2 2 2 1 的通解方程 或 两端积分 分离变量后 将 为可分离变量 的解先来求的解为了求 的通解方程 或 两端积分 分离变量后 将 为可分离变量 的解先来求的解为了求 dxxP cey cdxxPy dxxPdy y 2 解法解法 y dxxQ dxxP y dy xyy 1 1 1 则的解是设 解的形式分析方程考察方程 则的解是设 解的形式分析方程考察方程 4 y dxxQ dxxPy ln 两边积分两边积分 xce eey dx y xQ dxxP dx y xQ 记记 1 4 3 4 4 xc xcxc c xcexcy dxxP 关键能否解出可求解 就方程定出代入将视为待定函数 要将任意常数比较 形式相类似 只与 为待定函数故 关键能否解出可求解 就方程定出代入将视为待定函数 要将任意常数比较 形式相类似 只与 为待定函数故 常数变易法常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法 5 xQexcxPexPxcexc dxxPdxxPdxxP 5 cdxexQey cdxexQxc exQxc dxxPdxxP dxxP dxxP 积分得即 积分得即 y x y x 解解令方程令方程 1 的解 即的解 即 4 dxxP excy dxxPdxxP exPxcexcy 代入原方程和将代入原方程和将yy 6 一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为 dxxPdxxP eCdxexQy dxexQeCe dxxPdxxPdxxP 对应齐次 方程通解 非齐次方程特解对应齐次 方程通解 非齐次方程特解 7 x cy 1 1 sin 2 x y xyxy 求解初值问题 求解初值问题 cxydx xy x y y lnlnln 11 0 分离变量 的解先求齐次方程 分离变量 的解先求齐次方程 cxxcxxc x x xc x xc y cos sin sin 2 代入原方程得代入原方程得 令用常变易法令用常变易法 x xcy 1 cos 1 cx x y 故 故 例例1 解解 8 2 cos 1 2 1 2 x x y cy x 得代入初始条件得代入初始条件 sin 5 11 cdxe x x ey dx x dx x 直接代公式直接代公式另解另解 cos 1 cx x 9 例例2 如图所示 平行与轴的动直线被曲 线与截下的线段 如图所示 平行与轴的动直线被曲 线与截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积 之 长数值上等于阴影部分的面积 求曲线求曲线 y xfy 0 3 xxy xf 23 0 yxdxxf x x yxydx 0 3 两边求导得两边求导得 3 2 xyy 解解 解此微分方程解此微分方程 x y ox P Q 3 xy xfy 10 dxexCey dxdx 2 3 663 2 xxCe x 0 0 x y由由 6 C得得 所求曲线为所求曲线为 22 3 2 xxey x 2 3xyy 11 2 2 21 yyx y dx dy 改写原方程 改写原方程 0 2 22 dyyxyxdxy解方程 解方程 1 21 21 22 2 x y y y yyx dy dx 1 2 ln2 2112 11 22 dy y ece dyecex yy y dy y y dy y y 例例3 解解 1 1 1 1 22 y y y ceyecey 12 1 定义定义 也是一阶齐次线性方程 可分离方程 线性方程 称贝努利方程 形如 也是一阶齐次线性方程 可分离方程 线性方程 称贝努利方程 形如 1 0 10 1 0 nn nyxQyxP dx dy n 2 解法解法 成线性方程但可通过变量代换转化 不是线性方程 分析 虽然方程 成线性方程但可通过变量代换转化 不是线性方程 分析 虽然方程 10 二 伯努利二 伯努利 Bernoulli 方程方程 13 一阶非齐次线性方程 一阶非齐次线性方程 12 1 1 xQnzxPn dx dz 恒等变形 两端得除方程 用 恒等变形 两端得除方程 用 11 1 10 1 xQyxP dx dy y y n n n 1 1 1 1 xQyxP dx dy n n n 即 变为则 令 即 变为则 令 1 1 11 1 xQzxP dx dz n zy n 14 1 1 1 cdxexQnez dxxPndxxPn 解 回代 得原方程的通 解 回代 得原方程的通 13 1 1 1 1 cdxexQney dxxPndxxPn n 的通解为的通解为 12 15 xy dx dy xyyy y 2 2 1 2 2 2 2 变形为 得将方程两端乘以 利方程已知该微分方程是贝努 变形为 得将方程两端乘以 利方程已知该微分方程是贝努 通解求通解求 y x yy 2 4 42 2 2 1 22 2 dxxecez xzzxz dx dz zy dxdx 解方程得 即令 解方程得 即令 例例4 12 4 2222 xcedxxecey xxx 得回代 得回代 解解 16 4 2 的通解求方程的通解求方程yxy xdx dy 41 2 xy xdx dy y yz 令 令 4 2 2 xz xdx dz 2 2 C x xz解得解得 2 2 4 C x xy即即 解解 得两端除以 得两端除以y 例5例5 4 2 2 xy xdx yd 17 小结小结 1 线性非齐次方程