南京航空航天大学《高等数学》第03章中值定理习题课.pdf

1 熟记三个微分中值定理的条件与结论 理解它们之间的蕴涵关系 并注意它们 各自的几何解释 熟记三个微分中值定理的条件与结论 理解它们之间的蕴涵关系 并注意它们 各自的几何解释 2 Lagrange中值定理的结果有哪些不同的 表现形式 Lagrange中值定理的结果有哪些不同的 表现形式 3 能提出与课本上不同的辅助函数来证明 Lagrange和Cauchy中值定理吗 能提出与课本上不同的辅助函数来证明 Lagrange和Cauchy中值定理吗 4 举例说明中值定理的条件是充分的 但若去掉 其中任一条件 都不能保证定理的结论成立 举例说明中值定理的条件是充分的 但若去掉 其中任一条件 都不能保证定理的结论成立 思考以下问题思考以下问题 00 0 fxfx 号别 吗为 5 符与分表示什么 是一回事 什么 号别 吗为 5 符与分表示什么 是一回事 什么 6 哪些类型的极限称为是未定式 这里 哪些类型的极限称为是未定式 这里 未定未定 指什么 指什么 7 满足什么条件的极限问题 可应用L满足什么条件的极限问题 可应用L Hospital 法则 Hospital 法则 8 怎样将未定式极限 转化为 怎样将未定式极限 转化为 9 带Peano余项的Taylor公式和带Lagrange余项 的Taylor公式有什么差别 有什么应用 带Peano余项的Taylor公式和带Lagrange余项 的Taylor公式有什么差别 有什么应用 10 什么叫Maclaurin公式 并写出其余项的相应 形式 什么叫Maclaurin公式 并写出其余项的相应 形式 00 0 0 1 型 型 0 0 型未定式 型未定式 0 00 xxfx xxfxxf 时证明 当 是等价无穷小 与时当设 时证明 当 是等价无穷小 与时当设 例1例1 证证有展成一阶泰勒公式处把在有展成一阶泰勒公式处把在 0 xfx 2 0000 2 1 xxfxxxfxfxf 则有令则有令 1 0 xx 2 01000 2 1 0 xfxxfxff 2 02000 1 2 1 1 1 xfxxfxff 1 0 0 x设设 1 0 2 1 1 1 0 1 0 xxfxff fxf 证明 且上二阶可微在若函数 证明 且上二阶可微在若函数例2例2 2 02 2 010 1 2 1 2 1 xfxfxf 两式相减两式相减 1 0 ff 注意到注意到则有则有 1 x f 2 0 2 00 1 2 1 2 1 xxxf 4 1 2 1 2 0 x 1 0 0 知又由 知又由 x 2 1 2 1 0 x 2 1 0 x f于是有于是有 0 可知命题成立的任意性由可知命题成立的任意性由 x 0 1 0 1 2 2 f x f xa fxba b b xfxa 若函数在上二阶可微 且 其中是非负数 证 若函数在上二阶可微 且 其中是非负数 证 类类 明有明有 似地似地 例3例3 0 0 01 lim1 2 h f xU a faahU a f ahf ahfah 设在内具有二阶连续导数 且 证明 设在内具有二阶连续导数 且 证明 2 22 1 01 2 f ahf ahfafah h 又 又 11 01 f ahf ahfah f ah fafahh 证明证明 两式相减 得两式相减 得 12 00 1 lim lim 2 hh fahfxh 令令h 0 两边取极限 利用 0 两边取极限 利用f a 的连续性得的连续性得 00 11 lim 0lim 22 hh fafafa 又 得 又 得 22 12 1 2 h fahh fxh 1 1 0 0 1 01 1 lim 1 n n n n n h f xS an faahS a h f ahf ahfafa n h fah n n 设在内具有 1阶连续 设在内具有 1阶连续推推导 证明 导 证明 广广数 且 数 且 1 f xRf x f xfx 设在 上可微 证明的两个 零点之间一定有的零点 设在 上可微 证明的两个 零点之间一定有的零点 分析分析 设设 1212 0 f xf xxx 设在上可微 且 证明至多只有一个零点 设在上可微 且 证明至多只有一个零点 证明证明 反证法反证法 由第由第1题题 1 f xRf x f xfx 设在 上可微 证明的两个 零点之间一定有的零点 设在 上可微 证明的两个 零点之间一定有的零点 若将第若将第1题改为题改为 0f af b 0 1 2 kk fafbkn a b 存在 存在 1 n ff 进一步考虑进一步考虑 求证存在求证存在 1 0 0 ffn使使 2 设设 1 0 可导 且可导 且 0 1 f 在连续 在连续 1 0 xf 证明证明 xfxx n 1 0 因此至少存在 显然 因此至少存在 显然 x 在上满足罗尔定理条件在上满足罗尔定理条件 1 0 即即0 ffn 设辅助函数 使得 设辅助函数 使得 1 ffn nn 0 在在 2 f x 1 0 内可导内可导 且且 0 1 f证明至少存在一点证明至少存在一点 f 1 0 使 上连续 使 上连续 在在 1 0 2 f 证明 第证明 第2题的特殊情况题的特殊情况 n 2 3 0 0 1 0 2 f x g xa bx f af bg ag b a bg x ff a b gg 设在上二阶可导 且g 证明 在内 设在上二阶可导 且g 证明 在内 证明证明 12 0 xx 1221 f xxf xf x 1112 xfxf 121 0 x f 1212 f xxf xf x 2122 xxx 不妨设不妨设 0 1221 fxfxfxxf 12 0 11 x 0 0 0fxf xx有有 2121 xfxfxxf 4 5 设函数设函数 f x 在在 0 3 上连续上连续 在在 0 3 内可导内可导 且且 1 3 3 2 1 0 ffff使 3 0 0 f 试证必存在试证必存在 分析 所给条件可写为1 3 1 3 2 1 0 f fff 想到找一点 c 使 3 2 1 0 fff cf 证明证明 因因 f x 在在 0 3 上连续上连续 所以在所以在 0 2 上连续上连续 且在且在 0 2 上有最大值上有最大值 M 与最小值与最小值 m 故故 Mfffm 2 1 0 Mm fff 3 2 1 0 由介值定理由介值定理 至少存在一点至少存在一点 使 2 0 c 3 2 1 0 fff cf 1 1 3 fcf 3 3 内可导在上连续在且ccxf 由罗尔定理知由罗尔定理知 必存在必存在 0 3 0 3 fc使 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 2 0 1 1 f xCf x ff f ff 6 已知在 内可导 且 证明 并且 6 已知在 内可导 且 证明 并且 证明证明 1 1 0 1 0 1 0 1 1 10 0 1 0 1 F xf xxF xC FFff F f 令 又零点定理 即 令 又零点定理 即 1 1 0 1 0 1 0 1 1 10 0 1 0 1 F xf xxF xC FFff F f 令 又零点定理 即 令 又零点定理 即 2 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 fff fff fff fff ff 又 又 证明证明 均为正数与均为正数与ba 10 ba a 1 0 上连续在又上连续在又xf 由介值定理由介值定理 1 ab ff abab 使得 使得 1 0 存在 有上分别用拉氏中值定理在 存在 有上分别用拉氏中值定理在 1 0 xf 7 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 f x ffa b ab ab ff 设在上连续 在内可导 且 试证 对任意给定的正数 在内存在不同的使 设在上连续 在内可导 且 试证 对任意给定的正数 在内存在不同的使 1 1 abab abfabfabab 分析 分析 0 0 0 fff 1 1 1 fff 1 2 1 1 0 0 ff注意到由注意到由 1 2 有有 1 baf b baf a f ba a 3 4 1 1 f f f ba b 3 4 得得 f f ba f b f a 8 内可导 在 上连续在设babaxf且且 0ba 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 3 f x ffff f 证明 若函数在上三阶可微 且 则 证明 若函数在上三阶可微 且 则 f xMaclaurin 提示 将展开成二阶公式 提示 将展开成二阶公式 补充题补充题 2 2 0 4 2 f xa bfafb a bff bf a b f xxaxbTaylor ab a x 提示 分别写出在提示 分别写出在 若函数在上二阶可微若函数在上二阶可微 和处的一阶公式 并取 和处的一阶公式 并取 且 证明 且 证明 2 2 0 2 4 ab f xa bf a